高中数学必修4第二章平面向量教案

1、第 1 课时 2.1 平面对量的实际背景及基本概念教学目标：1.明白向量的实际背景,懂得平面对量的概念和向量的几何表示；把握向量的模、 零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共 线向量 . 2.通过对向量的学习,使同学初步熟识现实生活中的向量和数量的本质区分. . .3.通过同学对向量与数量的识别才能的训练,培育同学熟识客观事物的数学本质的才能教学重点： 懂得并把握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量教学难点： 平行向量、相等向量和共线向量的区分和联系. 学法： 本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.同学可依据在原有的位移

2、、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪,尺规授课类型： 新授课 教学思路：一、情形设置：如图,老鼠由A 向西北逃跑,猫在B 处向东追去,设问：猫能否C A B D 追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用,由于方向错了. 分析：老鼠逃跑的路线AC 、猫追赶的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量 . 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1、数量与向量有何区分？2、如何表示向量？3、有向

3、线段和线段有何区分和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1 的向量叫什么向量？5、满意什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？7、假如把一组平行向量的起点全部移到一点 量的终点之间有什么关系？（三）探究学习O,这是它们是不是平行向量？这时各向1、数量与向量的区分：数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向,大小,双重性,不能比较大小 . 2.向量的表示方法：用有向线段表示；a B A 起点 （终点）用字母 、（黑体,印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ；起点

4、、方向、长度. 向量 AB 的大小 长度称为向量的模,记作| AB |. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素：向量与有向线段的区分：（1）向量只有大小和方向两个要素,就是相同的向量；与起点无关, 只要大小和方向相同,就这两个向量（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段 . 4、零向量、单位向量概念：长度为 0 的向量叫零向量,记作 0. 0 的方向是任意的 . 留意 0 与 0 的含义与书写区分 . 长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量 . 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小 . 5、平行向量定义：方向相同或相反

5、的非零向量叫平行向量；我们规定0 与任一向量平行. 说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义； . 6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 . （2）向量 、平行,记作 说明：（ 1）向量 与相等,记作 ；（2）零向量与零向量相等；（ 3）任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关. 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量,这是由于任一组平行向量都可移到同始终线上（与有向线段的起点无关）. 说明：（ 1）平行向量可以在同始终线上,要区分于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行,要区分于在同始终线上的线段的位置关系 . （四）懂得

6、和巩固：例 1 书本 86 页例 1. 例 2 判定：（1）平行向量是否肯定方向相同？（不肯定）（2）不相等的向量是否肯定不平行？（不肯定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）如两个向量在同始终线上,就这两个向量肯定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量肯定在同始终线上吗？（不肯定）例 3 以下命题正确选项（）A.与共线, 与共线,就 与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形 的四顶点C.向量 与不共线,就 与 都是非零向量 D.有相同起

7、点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线,所以A 不正确；由于数学中讨论的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同始终线上,而此时就构不成四边形,根本不行能是一个平行四边形的四个顶点,所以 B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以不正确；对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假如 与不都是非零向量, 即与至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有 与 共线,不符合已知条件,所以有 与都是非零向量,所以应选 C. 例 4 如图, 设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心, 分别写出图中与向量 OA 、OB 、OC 相

8、等的向量 . 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11 个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB ,DO,FE）课堂练习 ：1判定以下命题是否正确,如不正确,请简述理由 .向量 AB 与 CD 是共线向量,就 单位向量都相等；A、B、 C、D 四点必在始终线上；任一向量与它的相反向量不相等；四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB DC一个向量方向不确定当且仅当模为 0；共线的向量,如起点不同,就终点肯定不同 . 解：不正确 .共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量AB 、 AC 在同始终线上 . 不正确

9、 .单位向量模均相等且为 1,但方向并不确定 . 不正确 .零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的 . 、正确 .不正确 .如图 AC 与 BC 共线,虽起点不同, 但其终点却相 同. 2书本 88 页练习三、小结：1、 描述向量的两个指标：模和方向 . 2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简洁类比 . 3、 向量的图示,要标上箭头和始点、终点 . 四、课后作业 ：书本 88 页习题 2.1 第 3、5 题第 2 课时 2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、 把握向量的加法运算,并懂得其几何意义；2、 会用向量加法的三角形法就和平行四边形法就作两个向量的和向量,

10、培育数形结合解决问题的才能；3、 通过将向量运算与熟识的数的运算进行类比,使同学把握向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量运算,渗透类比的数学方法；教学重点： 会用向量加法的三角形法就和平行四边形法就作两个向量的和向量 .教学难点： 懂得向量加法的定义 . 学 法：数能进行运算, 向量是否也能进行运算呢？数的加法启示我们,从运算的角度看, 位移的合成、力的合成可看作向量的加法 法,让同学顺理成章接受向量的加法定义.借助于物理中位移的合成、力的合成来懂得向量的加 .结合图形把握向量加法的三角形法就和平行四边形法就 .联系数的运算律懂得和把握向量加法运算的交换律和结合律 . 教 具：多媒

11、体或实物投影仪,尺规授课类型： 新授课教学思路：一、设置情形：1、 复习：向量的定义以及有关概念强调： 向量是既有大小又有方向的量.长度相等、 方向相同的向量相等.因此, 我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不转变它的方向和大小的前提下,移到任何位置2、 情形设置：（1）某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到C,C,A B A B C B C 就两次的位移和：ABBCACC （2）如上题改为从A 到 B,再从 B 按反方向到就两次的位移和：ABBCACABA （3）某车从 A 到 B,再从 B 转变方向到C,C AC就两次的位移和：ABBCAC（4）船速为 AB ,水速为

12、BC ,就两速度和：BC二、探究讨论：、向量的加法：求两个向量和的运算,叫做向量的加法 . A B 、 三角形法就（ “ 首尾相接,首尾连”）如图,已知向量 a、 .在平面内任取一点 A ,作 AB a, BC ,就向量 AC 叫做a 与的和,记作 a ,即 a AB BC AC,规定：a + 0-= 0 + a a a a C b b a+ b A a a+ b B 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向不同向,且|a + b |b |,a 就 a +b 的方向与 a 相同,且 | a + b |=| a |-|b |；如|a |0 时

13、 a 与 a 方向相同； 0内分 外分 0 -1 外分 0 -1 0, a b = |a|b|cos ,a b = |a|b|cos ,a b = |a|b|cos ,如 0, a b =| a|b|cos = |a|b| cos = |a|b|cos ,a b = |a|b|cos ,a b =|a| b|cos = |a|b| cos = |a|b|cos . 3安排律： a + b c = a c + b c在平面内取一点O,作 OA = a,AB = b, OC = c,a + b （即 OB ）在 c 方向上的投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和,即|a + b| cos = |

14、a| cos 1 + |b| cos 2| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos 2, c a + b = c a + c b即：a + b c = a c + b c说明：（1）一般地, （ ）（2）, 0 （3）有如下常用性质： ,（）（） 三、讲解范例：例 1 已知 a、b 都是非零向量,且a + 3b 与 7a 5b 垂直, a 4b 与 7a 2b 垂直,求 a 与 b的夹角 . 解：由 a + 3b7a 5b = 0 7a2 + 16a b15b2 = 0 a 4b7a 2b = 0 7a 2 30a b + 8b2 = 0 两式相

15、减： 2a b = b2代入或得：a2 = b 2AB2 |AD设 a、b 的夹角为,就 cos =|a|b|2b22 |1 = 60ab|b2例 2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和. 解：如图：平行四边形ABCD 中,ABDC,ADBC, AC =AD| AC |2=|ABAD2 |AB2AD22ABAD而 BD =ABAD,| BD |2=|ABAD2 |AB2AD22ABAD| AC |2 + | BD | 2 = 2AB22AD2= |AB|2|BC|2|DC|2|例 3 四边形 ABCD 中, AB , BC , CD , DA ,且 ,试问四边形ABCD 是什么

16、图形 . . 分析：四边形的外形由边角关系确定,关键是由题设条件演化、推算该四边形的边角量解：四边形ABCD 是矩形,这是由于：一方面： 0, （ ）, （ ）即 由于 , 同理有 由可得 ,且 即四边形ABCD 两组对边分别相等. 四边形 ABCD 是平行四边形另一方面,由 ,有 （）,而由平行四边形 ABCD 可得 ,代入上式得 2,即 , 也即 ABBC. 综上所述,四边形 ABCD 是矩形 . 评述： 1在四边形中,AB , BC , CD , DA 是顺次首尾相接向量,就其和向量是零向量,即 0,应留意这一隐含条件应用；2由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,由于数量积的定义式中含

17、有边、角两 种关系 . 四、课堂练习：1.以下表达不正确选项（）A. 向量的数量积满意交换律B.向量的数量积满意安排律C.向量的数量积满意结合律D.ab 是一个实数. ）2.已知 |a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为 ,就 a+2b a-3b等于（A.72 B.-72 C.36 D.-36 3.|a|=3, |b|=4,向量 a+3b 与 a-3b 的位置关系为（）44A. 平行B.垂直C.夹角为3D. 不平行也不垂直4.已知 |a|=3,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为 150,就 a+b5.已知 |a|=2,|b|=5,ab=-3,就 |a+b|=_,|a-b|= . 6.设|

18、a|=3,|b|=5,且 a+ b与 a b垂直,就 . 五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：第 9课时三、平面对量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：要求同学把握平面对量数量积的坐标表示 把握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式 . 能用所学学问解决有关综合问题 . 教学重点：平面对量数量积的坐标表示 教学难点：平面对量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量 与,作 OA , OB ,就 （ ）叫 与的 夹角 . 2平面对量数量积（内积）的定义：已知两个

19、非零向量与,它们的夹角是 ,就数量|a|b|cos 叫 与的数量积,记作a b,即有 a b = |a|b|cos ,（ ）.并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 3向量的数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 |b|cos 的乘积 . C 4两个向量的数量积的性质：设 a、 b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. |a|b|. 特殊的 a a = |a|2 或1e a = a e =|a|cos ；2a ba b = 0 3当 a 与 b 同向时, a b = |a|b|；当 a 与 b 反向时, a b = |a |aa4cos =|a|

20、b|；5 |a b| |a|b| ab5平面对量数量积的运算律交换律： a b = baa b = a b 数乘结合律： a b =安排律： a + b c = a c + b c 二、讲解新课： 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量ax1y 1,bx2y2,试用a和 b 的坐标表示ab. x 2iy2j设 i 是 x 轴上的单位向量,j 是 y 轴上的单位向量,那么ax 1iy1jb,所以abx 1iy1jx2iy2jx 1x2i2x1y2ijx2y 1ijy1y2j2y 1y2又ii1,jj1,ijji0,所以abx1x2y 1y22这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的

21、和.即abx1x2. 平面内两点间的距离公式八、 设ax,y,就|a2|x2y2或|a|x2y2. x1y 1、x2y2,那么（2）假如表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为|a|x 1x22y 1y 22平面内两点间的距离公式 九、 向量垂直的判定设 a x 1y 1 ,b x 2y 2 ,就 a b x 1 x 2 y 1 y 2 0十、 两向量夹角的余弦（0）a b x 1 x 2 y 1 y 2cos =| a | | b | x 1 2y 1 2x 2 2y 2 2十一、讲解范例：十二、设 a = 5,7,b = 6,4,求 ab 及 a、b 间的夹角 精确到 1o 例 2

22、已知 A1, 2,B2, 3,C 2, 5,试判定ABC 的外形,并给出证明 . 例 3 已知 a = 3,1,b = 1, 2,求满意 x a = 9 与 x b = 4 的向量 x. 解：设 x = t, s,x a 9 3 t s 9 t 2由x = 2,3 x b 4 t 2 s 4 s 3例 4 已知 a（,3 ）,b（3 ,3 ）,就 a 与 b 的夹角是多少 . 分析：为求 a 与 b 夹角,需先求 ab 及 a b,再结合夹角 的范畴确定其值 . 解：由 a（,3 ）,b（3 ,3 ）有 ab3 3 （3 ）,a, b 2 记 a 与 b 的夹角为 ,就 a b 2a b 2又

23、 , 4评述：已知三角形函数值求角时,应留意角的范畴的确定 . 例 5 如图, 以原点和 A5, 2为顶点作等腰直角OAB,使 B = 90 ,求点 B 和向量 AB 的坐标 . 解：设 B 点坐标 x, y,就 OB = x, y, AB = x 5, y 2 OBABxx 5 + yy 2 = 0 即： x2 + y25x 2y = 0 又 |OB | = | AB | x2 + y2 = x 52 + y 22 即： 10 x + 4y = 29 由x2xy2y5x2y0 x173或x2322 710429y1y222B 点坐标7,3或3,7 2； AB =3,7或7,32222222例

24、 6 在 ABC 中, AB =2, 3, AC =1, k,且 ABC 的一个内角为直角,求 k 值. 解：当 A = 90 时, ABAC = 0, 2 1 +3 k = 0 k =32当 B = 90 时, AB BC = 0, BC = ACAB = 1 2, k 3 = 1, k 3 2 1 +3 k 3 = 0 k =11x= . 3当 C = 90 时, AC BC = 0,1 + kk 3 = 0 k =3213十三、课堂练习：1.如 a=-4,3,b=5,6,就 3|a| ab（）A.23 B.57 C.63 D.83 2.已知 A1,2,B2,3, C-2,5,就 ABC

25、为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3.已知 a=4,3,向量 b 是垂直 a 的单位向量,就b 等于（）A.3,4或4,3B.3,4或3,455555555C.3,4或4,3D.3,4或3,4555555554.a=2,3, b=-2,4,就 a+b a-b= . 5.已知 A3,2,B-1,-1,如点 Px, -1在线段 AB 的中垂线上,就26.已知 A1,0,B3,1, C2,0,且 a= BC ,b= CA ,就 a 与 b 的夹角为 . 十四、小结（略）十五、课后作业（略）十六、板书设计（略）十七、课后记：第 12 课时复习课一、教学目标1. 懂得向量

26、.零向量 .向量的模 .单位向量 .平行向量 .反向量 .相等向量 .两向量的夹角等概念；2. 明白平面对量基本定理 . 3. 向量的加法的平行四边形法就（共起点）和三角形法就（首尾相接）；4. 明白向量形式的三角形不等式：| a |-| b | | a b | | a |+| b | 试问：取等号的条件是什么 . 和向量形式的平行四边形定理：2| a | 2 +| b | 2 =| a b | 2 +| a +b | 2 . 5. 明白实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加 .减.实数和向量的乘法 .数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念

27、,a b =| a |b |cos =x 1x 2 +y 1y 2留意区分“ 实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、学问与方法向量学问,向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用,而它具有代数形式和几何形式的 “ 双重身份”能融数形于一体, 能与中学数学教学内容的很多主干学问综合,形成学问交汇点, 所以高考中应引起足够的重视 . 数量积的主要应用：求模长； 求夹角；判垂直 三、典型例题例 1. 对于任意非零向量a 与 b ,求证：a - b a b a + b 证明： 1 两个非零向量a 与 b 不共线时, a +b 的方向与 a , b 的方向都不同,并且a - b a b a + b 3 两个非零向量 a 与 b 共线时, a 与 b 同向,就 a +b 的方向与 a . b 相同且 a +b =ab. a与b异向时,就a+b的方向与模较大的向量方向相同,设 |a| | b | ,就 | a + b |=| a |-| b |. 同理可证另一种情形也成立；例 2 已知 O 为 ABC 内部一点, AOB=150 ,B