D10-4重积分的应用课件

1、第四节一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 下页 返回 结束 重积分的应用 第十章 一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为上页 下页 返回 结束 面上的圆周为底，而以曲面为顶的曲顶柱体的体积.例(补). 计算以解: 曲面在 xoy 面上投影为则围成的闭区域上页 下页 返回 结束 例4(P163). 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解: 在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为上页 下页 返回 结束 二、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积

2、累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素)则上页 下页 返回 结束 若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有且上页 下页 返回 结束 例 (补). 计算双曲抛物面被柱面所截解: 曲面在 xoy 面上投影为则出的面积 A .上页 下页 返回 结束 三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知, 该质点系的质心坐标设物体占有空间域 ,有连续密度函数则 公式 ,分别位于为为即:采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 上页 下页 返回 结束 将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点

3、,即得此质点在第 k 块上任取一点上页 下页 返回 结束 同理可得则得形心坐标：上页 下页 返回 结束 例(补). 计算二重积分其中D 是由曲所围成的平面域 .解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标上页 下页 返回 结束 例3. 求位于两圆和的质心. 解: 利用对称性可知而之间均匀薄片上页 下页 返回 结束 质心坐标为四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数该物体位于(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 上页 下页 返回 结束 类似

4、可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量上页 下页 返回 结束 如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.上页 下页 返回 结束 例5.求半径为 a 的均匀半圆薄片(面密度为常量)解: 建立坐标系如图,半圆薄片的质量对其直径的转动惯量.上页 下页 返回 结束 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则球体的质量例6.求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标) 上页 下页 返回 结束 G 为引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域 ,利用元素法,其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为物体对位于外的点 的单位质量的质点的引力上页 下页

5、 返回 结束 例(补).设面密度为 ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解: 由对称性知引力处的单位质量质点的引力. 。上页 下页 返回 结束 例7. 求半径 R 的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解: 利用对称性知引力分量点上页 下页 返回 结束 作业P175 1，5, 9(2)上页 下页 返回 结束 二重积分的计算X型（）直角坐标系下Y型上页 下页 返回 结束 补例：解X-型上页 下页 返回 结束 （）极坐标系下上页 下页 返回 结束 补例.计算二重积分其中D 为圆周所围成的闭区域.提示: 利用极坐标原式上页 下页 返回 结束 例(补).计算积分其中D 由所围成 .提示:如图所示连续,所以上页 下页 返回 结束 例(补). 计算二重积分其中:(1) D为圆域(2) D由直线解: (1) 利用对称性.围成 .上页 下页 返回 结束 (2) 积分域如图:将D 分为添加辅助线利用对称性 , 得上页 下页 返回 结束 例(补).证明证:左端= 右端上页 下页 返回 结束 三重积分的计算() 直角坐标上页 下页 返回 结束 利用“先二后一”计算.补例. 试计算椭球体的体积 V.解上页 下页 返回 结束 () 柱面坐标上页 下页 返回 结束 8 (3).计算三重积分其中是由 xoy平面上曲