电磁场与电磁波西安交通大学出版社冯恩信习题解4a

1、第四章习题4-1、电量为500nC的点电荷，在磁场 B 1.2氢T）中运动，经过点（3,4,5）4-1、500及2000?m/s 。求电荷在该点所受的磁场力。 解：根据洛仑兹力公式F qv B 500 10 9 （500? 2000/ Z1.2 y3 10 4 例2 10 4 N4（4父仍3 10 N4-2、真空中边长为 a的正方形导线回路，电流为 I,求回路中心的磁场。解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。长为a的线电流I在平分线上距离为 a/2的点上的磁感应强度为B1?2 a因而，边长为a的正方形导线回路在中心点上的磁感应强度为B 4B1B 4B1电流为 I,求回路中心的磁场.由例4-1知，

2、长为a的线电流I在平分线上距离为Bi? 0I L电流为 I,求回路中心的磁场.由例4-1知，长为a的线电流I在平分线上距离为Bi? 0I Lb b2所以3ab2 (；)2a ,、2tg(6)4-4、真空中导线绕成的回路形状如图所示,电流为I。求半圆中心处的磁场。4-3、真空中边长为a的正三角形导线回路, 解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。b的点上的磁感应强度为题4-4图解：设垂直于纸面向内的方向为z方向。由例4-2知，半径为a的半圆中心处的磁场为B1今4a(1)因为在载流长直导线的延长线上磁场为零，因此(2)由例B2?4a4-1知，本题半无限长的载流长直导线在距离为a处的磁场为2M4 aB1

3、今4a(1)因为在载流长直导线的延长线上磁场为零，因此(2)由例B2?4a4-1知，本题半无限长的载流长直导线在距离为a处的磁场为2M4 a因此本题磁场为半圆环的磁场与两半无限长的直导线的磁场之和B?(2)4 a(3)本题磁场为电流方向相反的两不同半径的半圆环的磁场之和，即4-5、B 2f (1 1)4 a b在真空中将一个半径为 a的导线圆环沿直径对折，使这两半圆成一直角。电流为 求半圆弧心处的磁场。I,解：本题磁场为两相同半径但平面法线垂直的半圆环的磁场之和0IB会欠?)4a? ?分别为两半圆环平面的法向单位矢。4-6、 _ ii .一一,在氢原子中，电子绕半径为5.3 10 m的圆轨道运

4、动，速度为轨道的圆心点的磁场。2200 m/s,求圆解：分子电流vI e -Lv 1.62 a192200610 191r 1.06 10 6A6.28 5.3 10 11式中e为电子的电量,v为电子运动速度,L为圆轨道运动的周长。半径为a ,电流强度为I的圆环电流在轴线上的磁场为B 2 2(a2 在圆心点的磁场为B？ 2a 4-7B 2 2(a2 在圆心点的磁场为B？ 2a 4-7、对于以速度 度。J2、3/2 乙z ）210 7 - 2av运动的点电荷，证明107 1.06 10 62171.256 105.3 10 1100V E,其中E为此点电荷产生的电场强解：以速度v运动的点电荷q

5、,可以看成一电流元Idl JdV vdVqv电流元的磁场为0 0v E4-8、4-8、.半径为a的均匀带电圆盘上电荷密度为 任一点的磁感应强度。0,圆盘绕其轴以角速度旋转，求轴线上解：带电圆盘绕其轴以角速度旋转，其上电流密度为Jssvsr ?。在带电圆盘上取宽度为dr的小环，电流为dI s rdr ,由例4-2知，在轴线上产生的磁场为 TOC o 1-5 h z dB ? N1夕 2(r z )2(r旋转带电圆盘在轴线上产生的磁场为 a3c 0 s r dr 八 0 HYPERLINK l bookmark9 o Current Document B 2 2z c/ 22x3/2z0 2(r

6、z )s r3dr2、3/2 z )s a2 2z2s r3dr2、3/2 z )s a2 2z22z2a2 z2XZX题4-9图解：在空间取场点（x,z）,在导电平板上 x位置取宽度为dx的细长电流，在场点产生的磁 场为x)X z?0Jdx2T,y (xx)X z?2 (x x) z 导电平板上的电流产生的总场为B dB0J0 W/B dB0J0 W/2 (x x)z 自0J2ln2 HYPERLINK l bookmark15 o Current Document 22w/2(x x)z_ 22(x W/2)z(x W/2)2z2dxx2(arctgJW arctg 42)4-10、计算半

7、径为a、电流为I的电流圆环在其轴线z4-10、B Zdz。解：半径为a ,电流强度为I的圆环电流在轴线上的磁场为B22(a20-z2B22(a20-z2x3/2 zz )B Zdz4-11、 解： 因为 所以4-12、如果B0jadzJ2(a2 z2)3/212收 25 y? cz2;求：c12 25 c 036真空中半径为a的无限长导电圆筒上电流均匀分布，电流面密度为Js,沿轴向流动。求圆筒内外的磁场。解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布。因此无限长导电圆筒内的磁场为零；无限长导电圆筒外的磁场可用安培环路定律计算。 的圆环，利用安培环路定律求圆筒内外的磁场。解：由题意，电流具

8、有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布。因此无限长导电圆筒内的磁场为零；无限长导电圆筒外的磁场可用安培环路定律计算。 的圆环，利用安培环路定律B dl 0Il围绕无限长导电圆筒做一半径为在圆环上磁场B B ?相等，在圆环上磁场B B ?相等，I 2 aJ因此010 aJ sb 24-13、如果上题中电流沿圆周方向流动，求圆筒内外的磁场。解：由于导电圆筒内为无限长，且电流沿圆周方向流动，因此导电圆筒外磁场为零，导电圆筒内磁场为匀强磁场，且方向沿导电圆筒轴向，设为 z方向。利用安培环路定律，取闭合回路为如图所示的矩形,B dlBz010 aJ sb 24-13、如果上题中电流沿圆周方向流动，求圆筒内外

9、的磁场。解：由于导电圆筒内为无限长，且电流沿圆周方向流动，因此导电圆筒外磁场为零，导电圆筒内磁场为匀强磁场，且方向沿导电圆筒轴向，设为 z方向。利用安培环路定律，取闭合回路为如图所示的矩形,B dlBzLi而 I JsL因此Bz 0Js4-14、真空中一半径为2J zJ0,a求磁感应强度。解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布,场可用安培环路定律计算。 定律围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为因此无限长载流导电圆柱的磁的圆环，利用安培环路左边右边dldldS2 0 -2- a2 0 -2 aJ0 42a2Ja2因此有4a2 2因此有0 J0 a44-15、在真空中，电流分布为 TOC

10、 o 1-5 h z 0aJ0abJ- zbJs JzbJ0求磁感应强度。因此磁场可用安培环路定律计解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布,因此磁场可用安培环路定律计算。围绕z算。围绕z轴线做一半径为的圆环，利用安培环路定律-B dl -B dl 0Il左边B左边Bldl B0；右边I330；右边I33、2( a ).;3b因此有因此有Js 2Js 22 (b3 a3b3)2 bJo；0；023 a ) 一；a4-160；023 a ) 一；a4-16、J3bb3 a30（bJ。）/ ;3b在真空中，有一很长的、半径为10cm的圆柱导体内电流分布为200e 0.5 A/m2,计算

11、空间任意点的磁感应强度。解：由题意，电流具有轴对称分布， 磁场也具有轴对称分布, 场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为定律（和4- 14重复）因此无限长载流导电圆柱的磁的圆环，利用安培环路左边dldl B 2左边dldl B 2右边J dSS200e0a200e00.5右边J dSS200e0a200e00.5 2 d 1600 e0.5 2 d ;0.5 (0.51) 1;10cm10cm因此有4-17因此有4-17、已知无限长导体圆柱半径为a,其内部有一圆柱形空腔半径为圆柱形空腔的轴线相距为c,如图所示。若导体中均匀分布的电流密度为腔中的磁感应强度。b,导体圆柱的轴线与

12、J J0z ,试求空YB为解：利用叠加原理，空腔中的磁感应强度B BYB为解：利用叠加原理，空腔中的磁感应强度B B1 B2B1为电流均匀分布的实圆柱的磁感应强度;B2为与此圆柱形空腔互补而电流密度与实圆柱的电流密度相反的载流圆柱的磁感应强度。利用安培环流定律BiB20 J BiB20 J 020 J 021122？20 J 022分别为从圆柱中心轴和圆柱空腔中心轴指向场点的矢量。因此业？（ 12） X? C22c为从圆柱中心轴指向圆柱空腔中心轴的矢量。4-18、已知真空中位于 xy平面的表面电流为 人 Jx,求磁感应强度。解：由于在无限大的平面上有均匀电流，因此产生匀强磁场。 磁场方向在y方

13、向，跨电流面 取一长为L的矩形回路，利用安培环路定律得B2L 0LJ0因此B 写成矢量形式为?9z 0B 2j?;z 0题4-18题4-18图4-19、一长螺线管，每毫米绕两圈，在螺线管内部的磁感应强度为 强度。解：单位长度线圈匝数为N = 2000,根据安培环路定律可得Bz 0Js其中JS NI 2000IS0.5T ,求线圈上的电流所以B2000 00.5200 410 7199A4-20、壁很薄的、半径为10cm的导体圆筒导体圆筒上的电流面密度上的电流在圆筒外产生10 ,的磁场为B 3A/m ,求导体圆筒上的电流面密度。（少一条件）解：当导体圆筒上的电流面密度为JS JS02,由安培环路

14、定律S S0所以B2000 00.5200 410 7199A4-20、壁很薄的、半径为10cm的导体圆筒导体圆筒上的电流面密度上的电流在圆筒外产生10 ,的磁场为B 3A/m ,求导体圆筒上的电流面密度。（少一条件）解：当导体圆筒上的电流面密度为JS JS02,由安培环路定律S S0B dl 0Il当l为以导体圆筒上的电流面密度的轴线为中心，半径为 的圆时2 B 02 Js00J S0 10 0因此 JS0 10 A/mS 04-21、真空中边长为 a的正方形导线回路，电流为I,求回路中心的矢量磁位。解：首先计算载电流为I、长度为L1 12的直线在距离为d处的矢量磁位。设电流方向为？,如图所

15、示。矢量磁位为dlRL1L2工口L2题4-21图当LiL2 di?_o!4a / 2 时，12ln12dzz2d2? 0I Illn4Li . L2d2L2 L l2d2正方形导线回路的回路中心的矢量磁位为A A A2A3A 04-22、真空中边长为 a的正三角形导线回路，电流为I,求回路中心的矢量磁位。解：由上题可知，三角形导线的回路中心的矢量磁位也为0。题 4.23(L/2 z) ,.(L/2 z)z L/22 (z L/2)2(L/2 z) ,.(L/2 z)z L/22 (z L/2)222(L/2z) . (L/2z)224-23两根长直导线，平行放置，每个长度为10m,携载相等的电

16、流10A,方向相反，间距为2m。取坐标系，使两根长直导线在yz面，且平行于z轴，原点在两根长直导线之间的中点。右侧的导线电流为 z向，左侧的导线电流为z向。计算在点（3,4,0）m的（1）矢量磁位；（2）磁感应强度。解：长度为L的电流在（，0,z）处的磁感应强度和矢量磁位分别为B ?-0-Iz L/2222 (z L/2)2在(3,4,0)点BiL/212 (L/2)2L/212(L/2)2dL4 . 112B2当 L/2厂,BiL/212 (L/2)2L/212(L/2)2dL4 . 112B2当 L/2厂,22 (L/2)2L/2(L/2)2? ?24(L)22 0ILAiA2也？I?_0

17、.14In?1.12-22 (1)2? 01 .IIn4241n(L/2)(L/222(L/2) ,(L/2)2(L/2)(L/222(L/2),(L/2)2(L/2) . (L/22(L/2) , (L/2)2212122222121In-(L/2)(L/222(L/2) , (L/2)2-.(3 0)2 (4 1)2-.(3 0)2 (4 1)2.(3 0)2 (4 1)23723父 5?10 A4-24导线紧绕504-24导线紧绕50圈,形成面积为220cm的线圈，电流强度为10A,位于4y 12z 26 12?3?4y 12z 26 12?3?4y 12今1693x 4y 12z 26

18、的平面，方向离开原点。求此线圈的磁矩。解：f（x,y,z） 3x f 3 4? 该面的法线方向为此线圈的磁矩为4 30 4? 12令 3? 4? 122,169169M NIS? 50 10 20 10 4y = y,1691694-25、一块半径为a长为d的圆柱形导磁体沿轴向均匀磁化，磁化强度为M Mz,求磁化电流及磁化电流在轴线上产生的磁感应强度。解：由于均匀磁化，圆柱形导磁体中的磁化体电流为零。圆柱形导磁体侧面的磁化面电流密度为Js M ? M0 ?在圆柱形导磁体表面取一宽度为dz的电流环带，先计算此电流环带在轴线上的磁场，然后对dz积分2d 0a2M 0dz? 72z lx2-13/2

19、0 2a (z z)积分得4-26、M? 0M 0z2 7z2-a2段截面为4-26、M? 0M 0z2 7z2-a2段截面为a a长为d的方柱形导磁体沿长度方向均匀磁化，磁化强度为M 0Z ,求磁化电流及磁化电流在轴线上产生的磁感应强度。解：由于均匀磁化，圆柱形导磁体中的磁化体电流为零。 度为方柱形导磁体侧面的磁化面电流密JsM n?M02, I?为方柱形回路的方向。0 Ia4z? y?z2 y?2 （a）21（2）a?4-27、在某种媒质中，当 H 300A/m时，B 1.2T ;当H增加到1500A/m时，B4-27、加到1.5T ；求对应的磁化强度的变化值。解：B0解：B0(HBM)1

20、M2M1一(B2 B1) (H2 HM2M101-一石7(1.5 1.2) (1500 300) 238853.5 1200 237653.5 A4-28、一铁磁芯环，内半径为 30cm,外半径为40cm ,截面为矩形，高为 5cm ,相对磁导 率为500。均匀绕线圈500匝，电流强度为1A。分别计算磁芯中的最大和最小磁感应强度， 以及穿过磁芯截面的磁通量。解：在铁磁芯环中取半径为R的同心圆环，对于该圆环回路利用安培环路定律，得RH NINI 2 RNI 2 R当R 30cm,磁感应强度最大NI410 7 NI410 7 500 500 1_2230 100.1667 T当R 40 cm ,磁

21、感应强度最小NI410 7 500 500 1NI410 7 500 500 12 R240穿过磁芯截面的磁通量为10 20.125 T0.4,0.4,B dS-dRS0.3 2 RNI2 10 7 500 5000.05 0.2877_47.2 10 4 Wb4-29、 在z解：z0,0是两种媒质的分界面。1 , B 1.50 0.8? 0.6?mT，求(1)100的磁感应强度；（2）每个区域的磁化强度和界面磁化面电流密度。(1)1, B11.5? 0.8? 0.6ZmT ,r2有边界条件BmB2B2x?B2y? B2 10 7 500 5000.05 0.2877_47.2 10 4 Wb

22、4-29、 在z解：z0,0是两种媒质的分界面。1 , B 1.50 0.8? 0.6?mT，求(1)100的磁感应强度；（2）每个区域的磁化强度和界面磁化面电流密度。(1)1, B11.5? 0.8? 0.6ZmT ,r2有边界条件BmB2B2x?B2y? B2z?H1tB2xB2yB2M1M2B2n,B2zB2tB1zB1t0.6 mTB2t100B 仅100B1y1150 mT80 mT150?80? 0.6?B Br1r21 B111一B2992界面磁化面电流密度100 0JS M ?S99100B1t 100 B1t1(150欠 80? 0.6?)一 (150及 80? 0.6z)

23、?=099100一(150y0 80X)04-30、z 0的两种媒质的分界面上有面电流，其电流面密度为Js 12nA/m。在z 0,r 200 , H 40及 50? 12ZkA/m,求在 z 0, r 1000 中的磁场强度。解：根据边界条件(1) n (Hi H2) Js? (Hix? Hiy? HizZ) (H2X：? Gy? H2zZ) Js H2x? Hzy2 12k? Hix? Hiy?H 2x H1x 12k (40 12)k 28k H 2y Hiy 50k BinB2n TOC o 1-5 h z 1H 2z 1Hlz12k HYPERLINK l bookmark21 o

24、Current Document 5H 2 (28及 50y 12/50kA/m4-31、.在磁导率为1的媒质1及磁导率为2的媒质2中，距边界面为h处，分别平行于边界平面放置相互平行的电流11、I 2,如图所示，求单位长度的载流导线所受的力。I1h h一白I2 题4-31图解：用镜像法。在计算媒质 1中的磁场时，在2区的镜像位置放置镜像电流 |2；在计算媒 质2中的磁场时，在1区的镜像位置放置镜像电流 I 1。利用边界条件 H1t H 2t、B1n B2n ,可得方程Ii I2 Ii I2i(Ii(Ii I2)解此方程得2(Ii Ti2 TOC o 1-5 h z I - II 2I 112电

25、流11所受的力为F1F1 I1? B2山上(?)4 h电流I 2所受的力为f2 i2? b1211 ( I?)4 hf?为引力方向。4-32、4-32、证明在两种媒质界面上的磁化电流面密度为Js n (Bi B2)/ 0解：跨两种均匀媒质的分界面取矩形回路l ,如图所示，对矩形回路题4.32图 当h 0时，得Bit l B2t l oJs l 由此得,1 ，-、J S(BitB2t )0 写成矢量形式就是Js n (Bi B2)/ 04-33、如图所示的磁路， 匝，导线电流为0.2A。2000 。线圈为4-33、如图所示的磁路， 匝，导线电流为0.2A。2000 。线圈为1000r2 A-M题

26、4-33图图中所标尺寸为厘米， 厚度均为2厘米， 求磁路中的磁通。解：根据磁路的欧姆定律mmR .i miVmnlnlmLi isi jNILL2L3L4S1 S2S3S4410 7 2000 1000 0.20.4 0.080.60.4 0.081.96 10 4Wb0.02 0.024-34、紧绕的矩形线圈有 势。2 0.04 0.02 0.06 0.02N匝，如图所示，在匀强磁场B中以角速度旋转。求感应电动题4-34图解：与回路电流交链的磁链为m NSB 2NBDRcos感应电动势为d m 2NBDRsin dt4-35、N匝矩形线圈放在一对平行传输线之间，如图所示，求线圈中的感应电动势

27、。题4-35图解：矩形线圈放在一对平行传输线之间距两导线距离相等， 形线圈中产生的磁链相同，但方向相反，因此总磁链为零,零。题4-35图解：矩形线圈放在一对平行传输线之间距两导线距离相等， 形线圈中产生的磁链相同，但方向相反，因此总磁链为零,零。4-36、一宽度为w、厚度为d的矩形导体条放在匀强磁场可以看出，两导线上的电流在矩 那么线圈中的感应电动势也就为B中，磁场垂直穿过导体宽度为 w的导体面，如果流过导体条的电流强度为I ,导体条中的载流子密度为 n ,每个载流子电量为e,证明矩形导体条宽边两侧的霍耳电压为V ned解：题4.36图电子垂直于磁场运动，单位正电荷受到磁场力为E v B vB

28、?I JS Jwd envwdIv enwdc IB 小E vB)?enwd矩形导体条宽边两侧的电压为IBend4-37、计算正方形截面的环形螺线管上绕N匝线圈的自感。螺线管的内半径为R ,外半径为R2 ,相对磁导率为解：在环形螺线管中取半径为R解：在环形螺线管中取半径为R的圆环，根据安培环路定律RH NININI2 R磁链为R2B dS N(RR2B dS N(R2 Ri)RiNI dR2 R21R2N I(R2 Ri)In 2R1自感为, _ 2(R2 R)1啧2Ri4-38、计算真空中放置的一对平行传输线单位长度的外自感。自感为, _ 2(R2 R)1啧2Ri4-38、计算真空中放置的一对平行传输线单位长度的外自感。导线半径为a ,中心间距为D 。解：设平行传输线电流为B - ?2在平行传输线之间的磁通为那么在一根导线上的电流在平行传输线之间的磁场为m 2 B dSS平行传输线单位长度的外自感为mo . D a一Ina4-39、在截面为正方形a a半径为R(R 匝，另一个线圈为 n匝。磁芯的磁导率为a)的磁环上，密绕了两个线圈，一个线圈为m100,分别