甘肃省河西五市部分普通高中2023学年高三下学期一模考试数学试题（含解析）

1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（ ）ABCD2下列不等式成立的是（ ）ABCD3已知双曲线的焦距是虚轴长的

2、2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD4已知函数的零点为m，若存在实数n使且，则实数a的取值范围是（ ）ABCD5如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD6已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD7如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省B与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长C2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D去年同期河南省

3、的GDP总量不超过4000亿元8周易是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）ABCD9复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限10一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数的取值范围是（ ）ABCD11已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）ABCD12正方形的边

4、长为，是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且，则的最小值为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为_.14如图所示，在直角梯形中，、分别是、上的点，且（如图）.将四边形沿折起，连接、（如图）.在折起的过程中，则下列表述： 平面；四点、可能共面；若，则平面平面；平面与平面可能垂直.其中正确的是_.15点是曲线（）图象上的一个定点，过点的切线方程为，则实数k的值为_.16西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年.我们把可以构成一

5、个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13这11个数中随机抽取3个数，则这3个数能构成勾股数的概率为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（）.（1）求抛物线C的极坐标方程；（2）若抛物线C与直线l交于A，B两点，求的值.18（12分）已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）已知在处的切线与轴垂直，若方程有三个实数解、（），求证：.19（12分）己知，函数.（1）若，解不等式；（2）若函数，且

6、存在使得成立，求实数的取值范围.20（12分）在中，角的对边分别为，若.（1）求角的大小；（2）若，为外一点，求四边形面积的最大值.21（12分）已知函数，若存在实数使成立，求实数的取值范围.22（10分）已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数），若直线与圆相切，求实数的值.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值【题目详解】因为不等

7、式有正整数解，所以，于是转化为， 显然不是不等式的解，当时，所以可变形为令，则，函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以当时，故，解得故选：A【答案点睛】本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题2、D【答案解析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.【题目详解】对于，错误；对于，在上单调递减，错误；对于，错误；对于，在上单调递增，正确.故选：.【答案点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.

8、3、A【答案解析】根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出，结合，得出，即可求出双曲线的渐近线方程.【题目详解】解：由双曲线可知，焦点在轴上，则双曲线的渐近线方程为：，由于焦距是虚轴长的2倍，可得：，即：，所以双曲线的渐近线方程为：.故选：A.【答案点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.4、D【答案解析】易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.【题目详解】易知函数单调递增且有惟一的零点为，所以，问题转化为：使方程在区间上有解，即在区间上有解，而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为，.故选

9、D【答案点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.5、B【答案解析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.【题目详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设的中点为，建立空间直角坐标系如下图所示.所以，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B【答案点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.6、B【答案解析】由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用即可得解.【题目详解】平面，底面是边长为2的正方形，如图建立空间直角坐标系，由题意：，为的中点，.，

10、异面直线与所成角的余弦值为即为.故选：B.【答案点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.7、C【答案解析】利用图表中的数据进行分析即可求解.【题目详解】对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；对于

11、D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.故选：C.【答案点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.8、B【答案解析】基本事件总数为个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为个，由此求出概率.【题目详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共个，所以，所求的概率.故选：B.【答案点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题9、B【答案解析】利用复数的四

12、则运算以及几何意义即可求解.【题目详解】解：，则复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：，位于第二象限.故选：B.【答案点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.10、D【答案解析】因为双曲线分左右支，所以，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为，将其代入双曲线可解得【题目详解】因为双曲线分左右支，所以，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为，将其代入双曲线方程得：，即，由得故选：【答案点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平11、A【答案解析】化简为，求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式，利用

13、所得到的图象关于轴对称列方程即可求得，问题得解。【题目详解】函数可化为：，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，又所得到的图象关于轴对称，所以，解得：，即：，又，所以.故选：A.【答案点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题。12、C【答案解析】分别以直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据，可求，而，化简求解.【题目详解】解：建立以为原点，以直线为轴，直线为轴的平面直角坐标系.设，则，由，即，得.所以=，所以当时，的最小值为.故选：C.【答案点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小

14、题5分，共20分。13、【答案解析】求出双曲线的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数的方程.【题目详解】双曲线的半焦距为，则双曲线的右准线方程为，渐近线方程为，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为.由题意得，解得.故答案为：.【答案点睛】本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.14、【答案解析】连接、交于点，取的中点，证明四边形为平行四边形，可判断命题的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题的正误；连接，证明出，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题的正误；假设平面与平面垂直，利用面面

15、垂直的性质定理可判断命题的正误.综合可得出结论.【题目详解】对于命题，连接、交于点，取的中点、，连接、，如下图所示：则且，四边形是矩形，且，为的中点，为的中点，且，且，四边形为平行四边形，即，平面，平面，平面，命题正确；对于命题，平面，平面，平面，若四点、共面，则这四点可确定平面，则，平面平面，由线面平行的性质定理可得，则，但四边形为梯形且、为两腰，与相交，矛盾.所以，命题错误；对于命题，连接、，设，则，在中，则为等腰直角三角形，且，且，由余弦定理得，又，平面，平面，、为平面内的两条相交直线，所以，平面，平面，平面平面，命题正确；对于命题，假设平面与平面垂直，过点在平面内作，平面平面，平面平面

16、，平面，平面，平面，又，平面，平面，.，平面，平面，.，显然与不垂直，命题错误.故答案为：.【答案点睛】本题考查立体几何综合问题，涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点共面的判断，考查推理能力，属于中等题.15、1【答案解析】求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得【题目详解】设，由题意，即，故答案为：1【答案点睛】本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值本题属于基础题16、【答案解析】由组合数结合古典概型求解即可【题目详解】从11个数中随机抽取3个数有种不同的方法，其中能构成勾股数的有共三种，所以，所求概率为.故答案为【答案点睛

17、】本题考查古典概型与数学文化，考查组合问题，数据处理能力和应用意识.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【答案解析】(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式，,即可求得结果.(2) 由的几何意义得,. 将代入抛物线C的方程,利用韦达定理，即可求得结果.【题目详解】（1）因为，代入得，所以抛物线C的极坐标方程为.（2）将代入抛物线C的方程得，所以，所以，由的几何意义得，.【答案点睛】本题考查直角坐标和极坐标的转化,考查极坐标方程的综合应用,考查了学生综合分析,转化与划归,数学运算的能力,难度一般.18、（1）当时， 在单调递增,当时，单调递增区间为,单调递

18、减区间为（2）证明见解析【答案解析】（1）先求解导函数，然后对参数分类讨论，分析出每种情况下函数的单调性即可；（2）根据条件先求解出的值，然后构造函数分析出之间的关系，再构造函数分析出之间的关系，由此证明出.【题目详解】（1），当时，恒成立，则在单调递增当时，令得，解得，又，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.（2）依题意得，则由（1）得，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增若方程有三个实数解，则法一：双偏移法设，则在上单调递增，即，其中，在上单调递减，即设，在上单调递增，即，其中，在上单调递增，即.法二：直接证明法，在上单调递增，要证，即证设，则在上单调递减，在上单调递增，即（注意：若没有证明，扣3分）关于的证明：（1）且时，（需要证明），其中（2），即，则【答案点睛】本题考查函数与倒导数的综合应用，难度较难.（1）对于含参函数单调性的分析，可通过分析参数的临界值，由此分类讨论函数单调性；（2）利用导数证明不等式常用方法：构造函数，利用新函数的单调性确定函数的最值，从而达到证明不等式的目的.19、（1）；（2）【答案解析】（1）零点分段解不等式即可（2）等价于，由，