经济数学第三章导数市公开课获奖课件

1、3.1 导数概念3.2 求导基本公式与求导运算法则3.3 微分3.4 高阶导数和高阶微分第三章 导数与微分3.5 边际与弹性本章计划学时: 14学时1微积分 第三章导数与微分第1页第1页3.1 导数概念引例1、变速直线运动瞬时速度一、引例2微积分 第三章导数与微分第2页第2页（1）当物体作匀速运动时（2）当物体作变速运动时3微积分 第三章导数与微分第3页第3页引例2 平面曲线切线斜率 在点求曲线L：处切线斜率。割线 MN 斜率为： 4微积分 第三章导数与微分第4页第4页割线 MN 极限位置 MT 称为曲线 L 在点 M 处切线。切线 MT 斜率为： 当时,5微积分 第三章导数与微分第5页第5页

2、二、导数定义6微积分 第三章导数与微分第6页第6页7微积分 第三章导数与微分第7页第7页8微积分 第三章导数与微分第8页第8页9微积分 第三章导数与微分第9页第9页10微积分 第三章导数与微分第10页第10页11微积分 第三章导数与微分第11页第11页三、导数几何意义12微积分 第三章导数与微分第12页第12页四、单边（侧）导数13微积分 第三章导数与微分第13页第13页14微积分 第三章导数与微分第14页第14页同样单边导数定义式也可简化为：15微积分 第三章导数与微分第15页第15页例.求函数在处导数.解因此,函数在处不可导.思考16微积分 第三章导数与微分第16页第16页五、可导性与连续

3、性关系若函数在处可导,则必连续 .事实上, 因在处可导,即定理2.1因此,函数在处连续.17微积分 第三章导数与微分第17页第17页例.求函数在处导数.解因此,函数在处不可导.0问题：连续是否一定可导？18微积分 第三章导数与微分第18页第18页19微积分 第三章导数与微分第19页第19页1-120微积分 第三章导数与微分第20页第20页函数在其可导点处一定连续函数在其不连续点处一定不可导函数在其连续点处不一定可导结论21微积分 第三章导数与微分第21页第21页六、用定义求导数举例同样单边导数定义式也可简化为：22微积分 第三章导数与微分第22页第22页例1. 求函数(常数)导数.解常数导数等

4、于零例2. 求函数导数.解23微积分 第三章导数与微分第23页第23页例3. 求指数函数导数.解24微积分 第三章导数与微分第24页第24页例4. 设求解尤其地,25微积分 第三章导数与微分第25页第25页例5. 设求解正弦函数导数等于余弦函数.类似得,余弦函数导数等于负正弦函数.26微积分 第三章导数与微分第26页第26页注：分段函数分段点导数必须用定义求例6. 设函数解由于27微积分 第三章导数与微分第27页第27页例7. 解28微积分 第三章导数与微分第28页第28页办法一：例8. 解29微积分 第三章导数与微分第29页第29页30微积分 第三章导数与微分第30页第30页办法二：31微积

5、分 第三章导数与微分第31页第31页32微积分 第三章导数与微分第32页第32页解例9. 33微积分 第三章导数与微分第33页第33页由导数几何意义知,所求切线斜率为:所求切线方程为:即所求法线方程为:即解例11. 34微积分 第三章导数与微分第34页第34页3.2 求导基本公式与求导运算法则一、四则运算求导法则35微积分 第三章导数与微分第35页第35页证: 设则有故结论成立.推论:( C为常数 )36微积分 第三章导数与微分第36页第36页37微积分 第三章导数与微分第37页第37页证毕.38微积分 第三章导数与微分第38页第38页例1. 解39微积分 第三章导数与微分第39页第39页解:

6、例2. 40微积分 第三章导数与微分第40页第40页求解例3. 41微积分 第三章导数与微分第41页第41页例4. 解42微积分 第三章导数与微分第42页第42页解例5. 43微积分 第三章导数与微分第43页第43页惯用公式：44微积分 第三章导数与微分第44页第44页二、反函数求导法则45微积分 第三章导数与微分第45页第45页46微积分 第三章导数与微分第46页第46页解例5. 47微积分 第三章导数与微分第47页第47页解例6. 48微积分 第三章导数与微分第48页第48页三、基本导数公式49微积分 第三章导数与微分第49页第49页50微积分 第三章导数与微分第50页第50页51微积分

7、第三章导数与微分第51页第51页Guess四、复合函数求导法则52微积分 第三章导数与微分第52页第52页53微积分 第三章导数与微分第53页第53页54微积分 第三章导数与微分第54页第54页法则5(连锁法则) Outfunctioninnerfunction55微积分 第三章导数与微分第55页第55页证在点可导，由知由极限与无穷小关系知于是56微积分 第三章导数与微分第56页第56页即57微积分 第三章导数与微分第57页第57页解.例1 求下列函数导数58微积分 第三章导数与微分第58页第58页更简明过程59微积分 第三章导数与微分第59页第59页解例2. 更简明过程60微积分 第三章导数

8、与微分第60页第60页解例3. 61微积分 第三章导数与微分第61页第61页例4. 解62微积分 第三章导数与微分第62页第62页复合函数求导法则能够推广到多重复合情形.设则或63微积分 第三章导数与微分第63页第63页例.求解64微积分 第三章导数与微分第64页第64页更简明过程65微积分 第三章导数与微分第65页第65页例求解66微积分 第三章导数与微分第66页第66页例求解67微积分 第三章导数与微分第67页第67页例8解68微积分 第三章导数与微分第68页第68页形如，函数称为显函数.若与函数关系由方程所拟定,称这类函数为隐函数.五、隐函数求导法69微积分 第三章导数与微分第69页第6

9、9页解例9 70微积分 第三章导数与微分第70页第70页解例1071微积分 第三章导数与微分第71页第71页解例1172微积分 第三章导数与微分第72页第72页六、对数求导法两类函数2. 有简便求73微积分 第三章导数与微分第73页第73页对 x 求导两边取对数例1274微积分 第三章导数与微分第74页第74页75微积分 第三章导数与微分第75页第75页例13 求导数 . 解 两边取对数 , 化为隐函数两边对 x 求导76微积分 第三章导数与微分第76页第76页解法2 将函数化为复合函数77微积分 第三章导数与微分第77页第77页例12解 两边取对数 对 x 求导78微积分 第三章导数与微分第

10、78页第78页79微积分 第三章导数与微分第79页第79页引例. 一块正方形金属薄片受温度影响,其边长由变到问此薄片面积改变了多少?面积改变量：一、微分引进3.3 微分80微积分 第三章导数与微分第80页第80页81微积分 第三章导数与微分第81页第81页二、微分定义82微积分 第三章导数与微分第82页第82页证(必要性)83微积分 第三章导数与微分第83页第83页(充足性)设函数在点处可导,即与无关,是较高阶无穷小.因此函数在点处可微.且84微积分 第三章导数与微分第84页第84页阐明:时 ,因此时很小时, 有近似公式与是等价无穷小,当故当85微积分 第三章导数与微分第85页第85页86微积

11、分 第三章导数与微分第86页第86页87微积分 第三章导数与微分第87页第87页注意：88微积分 第三章导数与微分第88页第88页三、基本微分公式与微分法则依据可得基本初等函数微分公式：89微积分 第三章导数与微分第89页第89页微分法则：设都可微，则90微积分 第三章导数与微分第90页第90页微分法则：设都可微，则91微积分 第三章导数与微分第91页第91页复合函数微分法则：设而因此即微分形式不变性92微积分 第三章导数与微分第92页第92页93微积分 第三章导数与微分第93页第93页94微积分 第三章导数与微分第94页第94页95微积分 第三章导数与微分第95页第95页96微积分 第三章导

12、数与微分第96页第96页四、微分在近似计算中应用由微分定义知,当时,因此,当很小时,有近似公式:(1)即(2)(3)97微积分 第三章导数与微分第97页第97页Linear Approximations and Differentials98微积分 第三章导数与微分第98页第98页解: 设取则近似值 .例求99微积分 第三章导数与微分第99页第99页100微积分 第三章导数与微分第100页第100页即在生产100单位产品基础上再多生产一单位产品，成本会增长2.96101微积分 第三章导数与微分第101页第101页可证,当很小时,有近似公式:当很小时,(4)102微积分 第三章导数与微分第102

13、页第102页103微积分 第三章导数与微分第103页第103页解:近似值 .例. 计算104微积分 第三章导数与微分第104页第104页速度即加速度即引例：变速直线运动3.4 高阶导数105微积分 第三章导数与微分第105页第105页记作：或即二阶导数导数，叫做三阶导数，记作：或106微积分 第三章导数与微分第106页第106页三阶导数导数，叫做四阶导数，记作：或阶导数导数，叫做阶导数，记作：或函数有阶导数，也说函数为阶可导。二阶及二阶以上导数统称为高阶导数。107微积分 第三章导数与微分第107页第107页108微积分 第三章导数与微分第108页第108页109微积分 第三章导数与微分第10

14、9页第109页110微积分 第三章导数与微分第110页第110页111微积分 第三章导数与微分第111页第111页112微积分 第三章导数与微分第112页第112页113微积分 第三章导数与微分第113页第113页114微积分 第三章导数与微分第114页第114页115微积分 第三章导数与微分第115页第115页由上面各阶导数能够得到116微积分 第三章导数与微分第116页第116页二、高阶导数运算法则都有 n 阶导数 , 则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz) 公式及设函数117微积分 第三章导数与微分第117页第117页例. 求解: 设则代入莱布尼兹公式 , 得118微积分 第三章导数与

15、微分第118页第118页119微积分 第三章导数与微分第119页第119页以上这个公式称为莱布尼兹（Leibniz）公式，可用于求乘积高阶导数120微积分 第三章导数与微分第120页第120页121微积分 第三章导数与微分第121页第121页122微积分 第三章导数与微分第122页第122页123微积分 第三章导数与微分第123页第123页124微积分 第三章导数与微分第124页第124页125微积分 第三章导数与微分第125页第125页3.5 边际与弹性一、边际概念126微积分 第三章导数与微分第126页第126页127微积分 第三章导数与微分第127页第127页128微积分 第三章导数与微分第128页第128页129微积分 第三章导数与微分第129页第129页130微积分 第三章导数与微分第130页第130页131微积分 第三章导数与微分第131页第131页132微积分 第三章导数与微分第132页第132页二、弹性函数1、弹性概念弹性意义：133微积分 第三章导数与微分第133页第133页134微积分 第三章导数与微分第134页第134页幂函数在任意点弹性不变称