线性系统的数学模型市公开课获奖课件

1、第2章 线性系统数学模型 实际存在自动控制系统能够是电气、机械、热力、化工，甚至是生物学、经济学等等，然而描述这些系统数学模型却能够是相同。 本章简介了系统各类数学模型如微分方程，传递函数，方框图，信号流图求取以及它们之间互相关系。最后简介用MATLAB求取系统数学模型。 第2章 线性系统数学模型 第1页第1页 系统数学模型建立，是分析和设计系统首要任务，能够有各种形式： 时域中微分方程式 复域中传递函数，结构图 频域中频率特性u(t)y(t)系 统 描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系数学表示式，称为系统数学模型。第2章 线性系统数学模型 第2页第2页 数学模型即使有不同表示形式

2、，但它们之间能够相互转换，能够由一个形式模型转换为另一个形式模型。 建立数学模型方法 建立系统数学模型简称为建模。系统建模有两大类方法，或者说有两种不同路径。一类是机理分析建模方法，称为分析法，另一类是试验建模方法，通常称为系统辨识。第2章 线性系统数学模型 第3页第3页同一个系统，可用不同数学模型来表示。数学模型复杂程度能够不同。怎样选择：既不致造成数学处理上困难，又不致影响分析准确性而达不到分析研究目标。依据将要应用系统分析方法，建立对应形式数学模型。完全不同物理性质系统，其数学模型含有相同形式。利用电气系统来模拟机械系统进行试验研究。第2章 线性系统数学模型 第4页第4页内 容2.1 线

3、性系统微分方程2.2 微分方程线性化2.3 传递函数2.4 方框图2.5 信号流图2.6 在MATLAB中数学模型表示 小 结第2章 线性系统数学模型 第5页第5页列写系统微分方程普通环节：（1）拟定系统输入、输出变量；（2）从输入端开始，按照信号传递顺序，依据各 变量所遵循物理、化学等定律，列写各变量 之间动态方程，普通为微分方程组；（3）消去中间变量，得到输入输出变量微分方程（4）原则化：将与输入相关各项放在等号右边， 与输出相关各项放在等号左边，并且分别按 降幂排列，最后将系数归化为反应系统动态特 性参数，如时间常数等。 2.1 线性系统微分方程 第2章 线性系统数学模型 第6页第6页

4、例2.1 列写如图2.1所表示RC网络微分方程。给定输入电压 为系统输入量，电容上电压 为系统输出量。 设回路电流为i，则电阻上电压为电容上电压与电流关系为由基尔霍夫电压定律，列写回路方程式图2.1 RC电路 消去中间变量 、i 得令 为电路时间常数，则 可见RC网络是一阶常系数线性微分方程。第2章 线性系统数学模型 第7页第7页例2.2 二阶RC网络系统：令T1=R1C1，T2=R2C2，T12=R1C2 则得： 可见二阶RC网络是二阶常系数线性微分方程。第2章 线性系统数学模型 第8页第8页例2-3 图为一弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y

5、(t)之间微分方程。 第2章 线性系统数学模型 第9页第9页弹簧-质量-阻尼器机械系统：对于弹簧：对于阻尼器：对于质量m：化为原则形式：代入后得式中 k 弹簧系数 f 阻尼系数第2章 线性系统数学模型 第10页第10页整理且原则化 令 称为时间常数； 称为阻尼比； 称为放大系数。 得可见：弹簧-质量-阻尼器机械系统也是二阶常系数 线性微分方程。第2章 线性系统数学模型 第11页第11页完全不同物理性质系统，其数学模型含有相同性！弹簧-质量-阻尼器系统：二阶RC无源网络：第2章 线性系统数学模型 第12页第12页例2.4 R-L-C串联网络数学模型输入输出模型:返回第2章 线性系统数学模型 第1

6、3页第13页2.2 微分方程线性化 实际物理系统往往有间隙、死区、饱和等各类非线性现象。严格地讲，几乎全部实际物理和化学系统都是非线性。当前，线性系统理论已经相称成熟，但非线性系统理论还远不完善。因此，在工程允许范围内，尽也许对所研究系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析不失为一个有效方法。 第2章 线性系统数学模型 第14页第14页 当非线性原因对系统影响较小时，普通可直接将系统当作线性系统处理。另外，假如系统变量只发生微小偏移，则可通过切线法进行线性化，以求得其增量方程式。 第2章 线性系统数学模型 第15页第15页 非线性函数线性化，是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略掉

7、高阶无穷小量及余项，得到近似线性化方程，来替换本来非线性函数。 第2章 线性系统数学模型 第16页第16页 假如元件输出与输入之间关系x2=f(x1)曲线如图，元件工作点为(x10，x20)。将非线性函数x2= f(x1)在工作点(x10，x20)附近展开成泰勒级数 第2章 线性系统数学模型 第17页第17页当(x1x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成 其中 为工作点(x10，x20)处斜率，即此时以工作点处切线代替曲线，得到变量在工作点增量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。 第2章 线性系统数学模型 第18页第18页图2-8为一铁芯线圈，输入为ui(t)，输出为i(

8、t)。线圈微分方程为 第2章 线性系统数学模型 第19页第19页 当工作过程中线圈电压和电流只在工作点（u0,i0）附近改变时，即有 线圈中磁通 对 也有增量改变，假如在i0附近连续可微，将在i0 附近展开成泰勒级数，即 因是微小增量，将高阶无穷小量略去，得近似式 第2章 线性系统数学模型 第20页第20页 这就是铁芯线圈增量化方程，为简便起见，常略去增量符号而写成 返回第2章 线性系统数学模型 第21页第21页2.3 传递函数 2.2.1 传递函数 在零初始条件下，线性定常系统输出量拉普拉斯变换与输入量拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统传递函数。 即，第2章 线性系统数学模型 第22页第2

9、2页若已知线性定常系统微分方程为 式中c(t)为输出量，r(t)为输入量 。 设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对式(2-47)取拉氏变换，得 第2章 线性系统数学模型 第23页第23页则系统传递函数为 或写为 传递函数与输入、输出之间关系，可用图表示。 第2章 线性系统数学模型 第24页第24页2.2.2 传递函数特点 1.作为一个数学模型，传递函数只适合用于线性定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出，而拉氏变换是一个线性积分运算。 2.传递函数是以系统本身参数描述线性定常系统输入量与输出量关系式，它表示了系统内在固有特性，只与系统结构、参数相关，而与输入量或输入函数形式

10、无关。 第2章 线性系统数学模型 第25页第25页3.传递函数能够是无量纲，也能够是有量纲，视系统输入、输出量而定，它包含着联络输入量与输出量所必须单位，它不能表明系统物理特性和物理结构。许多物理性质不同系统，有着相同传递函数，正如一些不同物理现象能够用相同微分方程描述一样。 4.传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间关系，对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数阵表示。 第2章 线性系统数学模型 第26页第26页5.传递函数式(2-49)可表示成 式中p1，p2pn为分母多项式根，称为传递函数极点；z1、z2、 zn为分子多项式根，称为传递函数零点； 第2章 线性系统数学模型 第2

11、7页第27页6.传递函数分母多项式称为特性多项式，记为而D(s)=0称为特性方程。传递函数分母多项式阶次总是不小于或等于分子多项式阶次，即nm。这是由于实际系统惯性所造成。 第2章 线性系统数学模型 第28页第28页（1）传递函数只取决于系统或元件结构和参数， 与输入输出无关；（2）传递函数概念仅适合用于线性定常系统，含有复 变函数所有性质；（3）传递函数是复变量s 有理真分式，即nm；（4）传递函数是系统冲激响应拉氏变换；（5）传递函数与真正物理系统不存在一一相应关 系；（6）由于传递函数分子多项式和分母多项式系 数均为实数，故零点和极点能够是实数，也可 以是成正确共轭复数。 传递函数性质

12、第2章 线性系统数学模型 第29页第29页传递函数表示方式（1）有理分式形式（2）零极点形式第2章 线性系统数学模型 第30页第30页（3）时间常数形式第2章 线性系统数学模型 第31页第31页2.2.3 典型环节传递函数 控制系统由许多元件组合而成，这些元件物理结构和作用原理是各种多样，但抛开详细结构和物理特点，从传递函数数学模型来看，能够划分成几种典型环节，惯用典型环节有百分比环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、延迟环节等。 第2章 线性系统数学模型 第32页第32页动态方程：c(t)=Kr(t)传递函数：G(s)=K1、百分比环节r(t)c(t)KR(s)C(s)G(s)uou

13、iR1+R0Rb例：其它如齿轮系统、电位器、纯电阻电路等。百分比环节第2章 线性系统数学模型 第33页第33页2、惯性环节惯性环节r(t)c(t)G(s)R(s)C(s)例：诸多实际系统都可近似看作惯性环节。动态方程：传递函数：uoui C+R1RbR2第2章 线性系统数学模型 第34页第34页单位阶跃响应曲线T1T22T1 =T20.6321.0 t0 u(t)斜率1/TT=T1第2章 线性系统数学模型 第35页第35页 惯性环节实例诸多，如图所表示R-L网络，输入为电压u，输出为电感电流i，其传递函数式中 第2章 线性系统数学模型 第36页第36页3、积分环节积分环节r(t)c(t)G(s

14、)R(s)C(s)例：特点：输出量等于输入量对时间积分，即：假如输入量消失，则累积就停止，但输出量并不消失而是维持在原数值上。因此积分环节含有记忆功效。uouiC+RRb动态方程：传递函数：第2章 线性系统数学模型 第37页第37页积分环节单位阶跃响应为: 它随时间直线增长，当输入忽然消失，积分停止，输出维持不变，故积分环节含有记忆功效，如图所表示。 第2章 线性系统数学模型 第38页第38页4、振荡环节称为阻尼比，P=1 0 2 4 注意尽管s2项系数为0,但输入P(s)时不可缺省0。 MATLAB下多项式乘法处理函数调用格式为 C=conv(A,B) 第2章 线性系统数学模型 第81页第8

15、1页 比如给定两个多项式A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),则应先结构多项式A(s)和B(s),然后再调用conv( )函数来求C(s)A =1,3; B =10,20,3；C = conv(A,B) C = 10 50 63 9即得出C(s)多项式为10s3 +50s2 +63s +9 第2章 线性系统数学模型 第82页第82页 MATLAB提供conv( )函数调用允许多级嵌套,比如 G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)可由下列语句来输入 G=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4) 第2章 线性系统数学模型 第83页第83页 有了

16、多项式输入,系统传递函数在MATLAB下可由其分子和分母多项式唯一地拟定出来,其格式为 sys=tf(num,den) 其中num为分子多项式，den为分母多项式 num=b0,b1,b2,bm；den=a0,a1,a2,an；第2章 线性系统数学模型 第84页第84页对于其它复杂表示式,如可由下列语句来输入 num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);G=tf(num,den) Transfer function: 第2章 线性系统数学模型 第85页第85页2.6.2传递函数特性根及零极点图 传递函数G(s)

17、输入之后,分别对分子和分母多项式作因式分解,则可求出系统零极点,MATLAB提供了多项式求根函数roots(),其调用格式为 roots(p)其中p为多项式。 第2章 线性系统数学模型 第86页第86页比如,多项式p(s)=s3+3s2+4 p=1,3,0,4; %p(s)=s3+3s2+4 r=roots(p)%p(s)=0根 r=-3.3533 0.1777+1.0773i 0.1777-1.0773i 反过来,若已知特性多项式特性根,可调用MATLAB中poly( )函数,来求得多项式降幂排列时各项系数,如上例 poly(r) p = 1.0000 3.0000 0.0000 4.000

18、0第2章 线性系统数学模型 第87页第87页 而polyval函数用来求取给定变量值时多项式值,其调用格式为 polyval(p,a)其中p为多项式;a为给定变量值 比如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=5时值： n=conv(3,2,1,1,4);value=polyval(n,-5) value=66第2章 线性系统数学模型 第88页第88页p,z=pzmap(num,den)其中, p传递函数G(s)= numden极点 z传递函数G(s)= numden零点比如,传递函数 传递函数在复平面上零极点图,采用pzmap()函数来完毕,零极点图上,零点用“。”表示,极点用“”

19、表示。其调用格式为第2章 线性系统数学模型 第89页第89页 用MATLAB求出G(s)零极点,H(s)多项式形式,及G(s)H(s)零极点图 numg=6,0,1; deng=1,3,3,1;z=roots(numg) z=0+0.4082i 00.4082i %G(s)零点p=roots(deng)p=1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i %G(s)极点 1.0000+0.0000i第2章 线性系统数学模型 第90页第90页 n1=1,1;n2=1,2;d1=1,2*i; d2=1,-2*i;d3=1,3;numh=conv(n1,n2); denh=conv(d1,

20、conv(d2,d3);printsys(numh,denh)numh/denh=%H(s)表示式pzmap(num,den) %零极点图title(pole-zero Map) 第2章 线性系统数学模型 第91页第91页零极点图如图所表示 ：第2章 线性系统数学模型 第92页第92页2.6.3 控制系统方框图模型 若已知控制系统方框图,使用MATLAB函数可实现方框图转换。 1.串联 如图所表示G1(s)和G2(s)相串联,在MATLAB中可用串联函数series( )来求G1(s)G2(s),其调用格式为 num,den=series(num1,den1,num2,den2)其中：第2章

21、线性系统数学模型 第93页第93页2.并联 如图所表示G1(s)和G2(s)相并联,可由MATLAB并联函数parallel( )来实现,其调用格式为 num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)其中：第2章 线性系统数学模型 第94页第94页3.反馈 反馈连接如图所表示。使用MATLAB中feedback( )函数来实现反馈连接,其调用格式为 num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign) 式中： sign为反馈极性,若为正反馈其为1,若为负反馈其为1或缺省。第2章 线性系统数学模型 第95页第95页比如 G(s)= ,H(

22、s)= ,负反馈连接。 numg=1,1;deng=1,2;numh=1;denh=1,0;num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,1); printsys(num,den) num/den= 第2章 线性系统数学模型 第96页第96页 MATLAB中函数series,parallel和feedback可用来简化多回路方框图。另外,对于单位反馈系统,MATLAB可调用cloop( )函数求闭环传递函数,其调用格式为 num,den=cloop(num1,den1,sign) 第2章 线性系统数学模型 第97页第97页2.6.4 控制系统零极点模型 传递函数能够

23、是时间常数形式,也能够是零极点形式,零极点形式是分别对原系统传递函数分子和分母进行因式分解得到。MATLAB控制系统工具箱提供了零极点模型与时间常数模型之间转换函数,其调用格式分别为 z,p,k= tf2zp(num,den)num,den= zp2tf(z,p,k)其中第一个函数可将传递函数模型转换成零极点表示形式,而第二个函数可将零极点表示方式转换成传递函数模型。 第2章 线性系统数学模型 第98页第98页比如 G(s)= 用MATLAB语句表示：num=12241220;den=24622;z,p,k=tf2zp(num,den) z= 1.9294 0.03530.9287i 0.03

24、530.9287i 第2章 线性系统数学模型 第99页第99页p=0.95671.2272i0.95671.2272i0.04330.6412i0.04330.6412i k=6即变换后零极点模型为G(s)= 第2章 线性系统数学模型 第100页第100页 能够验证MATLAB转换函数,调用zp2tf()函数将得到原传递函数模型。 num,den=zp2tf(z,p,k) num = 0 6.0000 12.0000 6.0000 10.0000 den = 1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 1.0000 即 第2章 线性系统数学模型 第101页第101页2.6.5 状态

25、空间表示式 状态空间表示式是描述系统特性又一个数学模型,它由状态方程和输出方程构成,即 x(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t) 式中 x(t)Rn 称为状态向量,n为系统阶次; ARnn 称为系统矩阵;BRnp 称为控制矩阵,p为输入量个数;CRqn 称为输出矩阵; DRqp 称为连接矩阵,q为输出量个数。 第2章 线性系统数学模型 第102页第102页在普通情况下,控制系统状态空间表示式项简记为(A,B,C,D)。 比如：设一个双输入双输出系统状态空间表示式为第2章 线性系统数学模型 第103页第103页系统模型可由MATLAB命令直观地表示：A=1,2,4;3,2,6;0,1,5B=4,6;2,2;0,2C=0,0,1;0,2,0D= zeros(2,2) MATLAB控制系统工具箱提供了由状态空间表示式转换成传递函数或由传递函数转换成状态空间表示式转换函数ss2tf( )和tf2ss( )。其