2021-2022学年河南省洛阳市涧河路小学高三数学文模拟试卷含解析

1、2021-2022学年河南省洛阳市涧河路小学高三数学文模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f(x)为偶函数，且函数f(x)与g(x)的图象关于直线对称，若，则（ ）A2B2C3D3 参考答案：Bf（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，且g（2）=3, f（3）=2,f（x）为偶函数,f（3）=f（3）=2故答案为：B2. 已知函数f（x）=，则关于方程f（|x|）=a，（aR）实根个数不可能为（）A2B3C4D5参考答案：D【考点】分段函数的应用【分析】由题意可得求函数y=f（|x|）的图象和直

2、线y=a的交点个数作出函数y=f（|x|）的图象，平移直线y=a，即可得到所求交点个数，进而得到结论【解答】解：方程f（|x|）=a，（aR）实根个数即为函数y=f（|x|）和直线y=a的交点个数由y=f（|x|）为偶函数，可得图象关于y轴对称作出函数y=f（|x|）的图象，如图，平移直线y=a，可得它们有2个、3个、4个交点不可能有5个交点，即不可能有5个实根故选：D3. 已知点P是双曲线=1（a0，b0）左支上一点，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，且?=0，线段PF2的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为( )ABC2D参考答案：D【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；圆

3、锥曲线的定义、性质与方程【分析】在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，根据三角形的中位线定理得出ONPF1，从而得到PF1F2正切值，可设PF2=btPF1=at，再根据双曲线的定义可知|PF2|PF1|=2a，进而根据勾股定理建立等式求得a和b的关系，则离心率可得【解答】解：在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，ONPF1，又ON的斜率为，tanPF1F2=，在三角形F1F2P中，设PF2=btPF1=at，根据双曲线的定义可知|PF2|PF1|=2a，btat=2a，在直角三角形F1F2P中，|PF2|2+|PF1|2=4

4、c2，b2t2+a2t2=4c2，由消去t，得，又c2=a2+b2，a2=（ba）2，即b=2a，双曲线的离心率是=，故选：D【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握，属于中档题4. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为yx2，值域为（1,4）的“同族函数”共有（）A、7个B、8个C、9个D、10个参考答案：C 由题意，问题的关键在于确定函数定义域的个数：函数解析式为，值域为，那么定义域内的元素可为，则定义域可为下列的9种：，因此“同族函数”有9个.5. 复数 （i为虚数单位）在复平面内对应点的坐

5、标是 A.(3,3) B.(-1,3) C(3,-1) D.(2,4)参考答案：B略6. 给出下列命题： 若直线上有两个点到平面的距离相等，则直线平面； 长方体是直四棱柱； 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥.其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：B【分析】由线面平行的判定定理即可判定；由长方体与直棱柱的定义即可判定；构建特殊的例子，如图即可判定.【详解】该直线与平面可能相交，位于平面两侧的两个点到平面的距离也是相等的，故错误；显然长方体的侧棱是垂直于底面的，故正确；两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥就不是正棱锥，故错误.

6、故选：B【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，直棱锥和正棱锥的定义，属于简单题.7. 函数f（x）的图象如图，f（x）是f（x）的导函数，则下列数值排列正确的是（）A0f（2）f（3）f（3）f（2）B0f（3）f（3）f（2）f（2）C0f（3）f（2）f（3）f（2）D0f（3）f（2）f（2）f（3）参考答案：B【考点】导数的运算；函数的图象【分析】由图象可知，函数f（x）随着x增加函数值增加的越来越慢，即导函数是减函数，据此即可得出答案【解答】解：由图象可知，函数f（x）随着x增加函数值增加的越来越慢，而f（3）f（2）可看作过点（2，f（2）与点（3，f（3）的割线的斜率，由导数的几

7、何意义可知0f（3）f（3）f（2）f（2）故选B8. 已知，若（其中为虚数单位），则 （ ） A B C D参考答案：C略9. 若实数x,y满足，则的最小值是（ ）A B C. D参考答案：C10. 定义在上的函数是最小正周期为的偶函数，当时，且在上单调递减，在上单调递增，则函数在上的零点的个数为_.参考答案：二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是 参考答案：12. 已知在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在该四棱锥内部或表面任取一点O，则三棱锥OPAB的体积不小于的概率为参考答案：【考点】几何概

8、型【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用对应的体积比值求出对应的概率【解答】解：如图所示，AD、BC、PC、PD的中点分别为E、F、G、H，当点O在几何体CDEFGH内部或表面上时，V三棱锥OPAB；在几何体CDEFGH中，连接GD、GE，则V多面体CDEFGH=V四棱锥GCDEF+V三棱锥GDEH=，又V四棱锥PABCD=，则所求的概率为P=故答案为：【点评】本题考查了空间几何体体积的计算问题，也考查了几何概型的应用问题，是综合性题目13. 在的二项式展开式中，常数项等于 参考答案：20.=，令=0，得r=3。故常数项为=20.14. 设是定义在上的偶函数，其图像关于直线对称，对任意，有，

9、则（） ；（）若记，那么 参考答案：答案:（）； （） 0 15. 已知函数（其中e为自然对数的底数）为偶函数，则实数a的值为_参考答案：1【分析】利用恒成立可得实数的值【详解】因为为偶函数，所以恒成立即，整理得到恒成立，故，填.【点睛】含参数的偶函数（或奇函数），可通过取自变量的特殊值来求参数的大小，注意最后检验必不可少，也可以利用（或）恒成立来求参数的大小.16. 右方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为l5，乙组数据的平均数为168，则x+y的值为 参考答案：1317. 已知函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围是_. 参考答

10、案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数f（x）=+alnx（a0，aR）（1）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（2）若在区间（0，e上至少存在一点x0，使得f（x0）0成立，求实数a的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求函数f（x）的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若在区间（0，e上存在一点x0，使得f（x0）0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e上的最小值小于0即可利用导数研究函数在闭

11、区（0，e上的最小值，先求出导函数f（x），然后讨论研究函数在（0，e上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值【解答】解：（1）因为f（x）=+=，当a=1，f（x）=，令f（x）=0，得x=1，又f（x）的定义域为（0，+），f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）极小值所以x=1时，f（x）的极小值为1f（x）的单调递增区间为（1，+），单调递减区间为（0，1）；（6分（2）f（x）=，（a0，aR）令f（x）=0，得到x=，若在区间0，e上存在一点x0，使得f（x0）0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e

12、上的最小值小于0即可（i）当x=0，即a0时，f（x）0对x（0，+）成立，f（x）在区间（0，e上单调递减，故f（x）在区间（0，e上的最小值为f（e）=+alne=+a，由+a0，得a；（ii）当x=0，即a0时，若e，则f（x）0对x（0，e成立，f（x）在区间（0，e上单调递减，f（x）在区间（0，e上的最小值为f（e）=+alne=+a0，显然，f（x）在区间（0，e上的最小值小于0不成立若1e，即a时，则有x（0，）（，e）f（x）0+f（x）极小值f（x）在区间0，e上的最小值为f（）=a+aln，由f（）=a+aln=a（1lna）0，得1lna0，解得ae，即a（e，+）综上

13、，由（1）（2）可知：a（，）（e，+）19. 四棱台被过点的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形是边长为2的菱形，平面，.（）求证：平面平面；（）若与底面所成角的正切值为2，求二面角的余弦值.参考答案：（）平面，.在菱形中，KS5UKS5UKS5U又，平面，平面，平面平面.（）平面与底面所成角为，设,交于点，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.则，,.，同理，.设平面的法向量，则，设平面的法向量，则，设二面角为，.20. 如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上 （I）求边所在直线的方程； （II）求矩形外接圆的方程； （III）若动圆过点，且与矩

14、形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程参考答案：解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为（II）由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为所以为矩形外接圆的圆心又从而矩形外接圆的方程为（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切， 所以，即故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支略21. 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AC1平面ABC，D是AA1的中点（1）求证：CD平面AB1；（2）在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角的大小为参考答案：（1）证：面面，,面，即有；又，为中点，则.面.（2）如图所示以点为

15、坐标系原点，为轴，过C点平行于AB的直线为y轴,CA1为轴，建立空间直角坐标系，则有，设，且，即有，所以点坐标为.由条件易得面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，由可得，令，则有，则 ，得.所以，当时，二面角的大小为.22. （16分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C（1）当a=2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1

16、，l2的斜率分别为k1，k2问：是否存在常数，使得k2=k1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：压轴题；导数的综合应用分析：（1）先求原函数的导数，根据f（x）0求得的区间是单调减区间，即可；（2）由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，则存在唯一的实数根x0，即b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，就把问题转化为求函数最值问题；（3）假设存在常数，依据曲线C在点A处的切线l1与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线l2，得到关于的方程，有解则存在，无解则不存在解答：解：（1

17、）当a=2时，函数f（x）=x3+x22x+b则f（x）=3x2+5x2=（3x1）（x+2）令f（x）0，解得2x，所以f（x）的单调递减区间为（2，）；（2）函数f（x）的导函数为由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，则即x3+x2+（3x25x1）x+b=0存在唯一的实数根x0，故b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，令y=2x3+x2+x，则y=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=或x=，则函数y=2x3+x2+x在（，），（，+）上是增函数，在（，）上是减函数，由于x=时，y=；x=时，y=；故实数b的取值范围为：（，）（，+）；（3）设点A（x0，f（x0），则在点A处的切线l1的切线方程为yf（x0）=f（x0）（xx0），与曲线C联立得到f（x）f（x0）=f（x0）（xx0），即（x3+x2+ax+b）（x03+x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（xx0），整理