函数模型的应用实例 省赛获奖-精讲版课件

1、3.2.2函数模型的应用实例学习目标: 通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用。1.一次函数的解析式为_ , 其图像是一条_线， 当_时，一次函数在 上为增函数，当_时， 一次函数在 上为减函数。2.二次函数的解析式为_, 其图像是一条_线，当_时，函数有最小值为_，当_时，函数有最大值为_。直抛物常见的数学函数模型:一次函数模型：注意：建立相应函数模型后，求函数解析式多采用用待定系数法.y=kx+b (k0)二次函数模型：y=ax2+bx+c (a0)指数函数模型：对数函数模型

2、：幂函数模型：分段函数模型：y=max+n(m0,a0且a1)y=mlogax+n(m0,a0且a1)y=bxa+c (b0,a1)思考1.某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步去学校，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段路后就累了，于是就走完余下的路程。如果用纵轴表示该同学去学校时离开家的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此学生走法的是( )0(A)0(B)0 (D)0(C)C 2.设计四个杯子的形状,使得在向杯中匀速注水时,杯中水面的体积V随高度h变化的图象分别与下列图象相符合.0hHvh0Hv0Hv0Hv列表法、图象法、解析法 通过上述问题的分析函数是描述事物运动变

3、化规律的数学模型，通过函数研究，我们可以认识事物的变化规律。以前我们学过哪些描述函数的具体方法？ 根据你的理解，用函数模型研究实际应用问题时我们应当注意什么？解题的基本步骤有哪些？实际问题数学模型实际问题 的解抽象概括数学模型 的解还原说明推理演算问题解决数学化数学解答符合实际(设、列)(解)(答)解决实际应用问题的一般步骤：908070605040302010vt12345例1:一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s

4、(km)与时间t (h)的函数解析式，并作出图象.解:(1)阴影部分的面积为阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km (2)根据图形可得：x13452y20002100220023002400 从这个练习我们看到，在解决实际问题的过程中，图象函数是能够发挥很大的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力。另外，在本题中我们用到了分段函数，由此我们也知道，分段函数也是刻画现实问题的重要模型。大家在运用分段函数的时候要注意它的定义域。那么应该如何解函数的应用问题呢？例2 人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经

5、济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：表3-8是19501959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；解：（1）设19511959年的人口增长率分别为 r

6、1，r2，r9.由55196 (1+r1) =56300可得1951年的人口增长率 r10.0200。同理可得，r20.0210r30.0229r40.0250r50.0197r60.0223r70.0276r80.0222r90.0184于是，19511959年期间，我国人口的年均增长率为r=（r1+r2+r9）90.0221令y0=55196，则我国在19501959年期间的人口增长模型为根据表3-8中的数据作出散点图，并作出函数的图象（图3.2-9）。由图3.2-9可以看出，所得模型与19511959年的实际人口数据基本吻合。图3.2-9ty（2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我

7、国的人口达到13亿？解：将 y=130000代入由计算器可得t38.76所以，如果按表3-8的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿。由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力。 从以上的例子可以看到，用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，因此通过模型得出的结果往往会与实际问题存在一定的误差。因此，往往需要对模型进行修正。基本步骤：第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、

8、新概念，进而把握住新信息。第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。 第四步：再转译为具体问题作出解答。 例3:某桶装水销售部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？销售单价(元)6789101112日均销量(桶)48

9、0440400360320280240解1:设在进价基础上增加x元后，日均利润为y元, 则日均销售量为 桶 而 有最大值 只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润有最大值 只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润而 解2:设每桶水定价x元时，日均利润为y元, 则日均销售量为 桶 思考:你能总结一下用函数解决应用性问题中的最值问题的一般思路吗？ 选取自变量建立函数式确定定义域回答实际问题求函数最值 例4.某地区不同身高(单位：cm)的未成年男性的体重(单位：kg)平均值如下表：55.0547.2538.8531.1126.8620.92体重170160150140130120身高

10、17.5015.0212.159.997.906.13体重11010090807060身高思考1:上表提供的数据对应的散点图大致如何？ 身高（cm）体重（kg）o55.0547.2538.8531.1126.8620.92体重170160150140130120身高17.5015.0212.159.997.906.13体重11010090807060身高思考2:根据这些点的分布情况，可以选用那个函数模型进行拟合，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y(kg)与身高 x(cm)的函数关系？ 身高（cm）体重（kg）o思考5:若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那

11、么这个地区一名身高为175cm, 体重为78kg的在校男生的体重是否正常？ 思考3:怎样确定拟合函数中参数a，b的值？ 思考4:如何检验函数 的拟合程度？ 数据代入或作出它的图象。思考6:你能总结一下用拟合函数解决应用性问题的基本过程吗？ 收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验用函数模型解释实际问题YesNo例5:一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社在一个月(以30天计算)有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最

12、大？并计算每月最多能赚多少钱？ 数量(份)价格(元)金额(元)买进30 x0.206x卖出20 x+10*2500.306x+750退回10(x-250)0.080.8x-200每月获利润: 解:(250 x400) x400份时，y取得最大值870元答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元 研究：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y(元)，存期为x(期).(1)试写出本利和y 随存期x变化的函数关系式.(2)如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？(1)解：y随x变化的函数关系式是y=a(1+r)x(2)解

13、：a=1000,r=2.25%,x=5 由y=a(1+r)x 得 y=1131.4答：5期后本利和是1131.4元。 复利是一种计算利息的方法，即 把前一期的利息和本金加在一起算做 本金，再计算下一期的利息。 小知识：1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间每天房价住房率20元18元16元14元65758595要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）A.20元 B.18元 C.16元 D.14元2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大

14、利润，每个售价应定为( ) A.95元 B.100元 C.105元 D.110元CAy=(90+x-80）（400-20 x)趣味题某商品降价20%后，欲恢复原价，则应提价多少？x= 25 % 引申：某商品升价25%后，欲恢复原价，则应降价多少？X= 20% 小结 本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数其中，最重要的是二次函数模型实际问题数学模型实际问题 的解抽象概括数学模型 的解还原说明推理演算问题解决数学化数学解答符合实际(设、列)(解)(答)解决实际问题的步骤：基本步骤：第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息。第二步：引进数学符号，建立数学模