高等数下知识点归纳总结资料讲解

1、高 等 数 学 下 知 识 点 总 结 第 1 页,共 12 页精品文档 高等数学（下）学问点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 z 211旋转椭球面： a x 2 2y 2c z 22 111, 二次曲面 x 2y 21） 椭圆锥面： a 2 b 2 2） x 2 y 2z 2 c 2椭球面： a2b2a23） 单叶双曲面： x 2b y 22 c z 2 2y 2 z z 2 双叶双曲面： x 2 2aa2b22 c 椭圆抛物面： x 2 2ay 2 2 bx 2 2ay 2 2 bz 4） 双曲抛物面（马鞍面）： 5） 椭圆柱面： x 2 y 2 2 b1双曲柱面： x 2

2、2ay 21a2b26） 抛物柱面： 2 x ay （二） 平面及其方程 1, 点法式方程： A x x0 B y y0 C z 0z0 02, 法向量： n A, B, C ,过点 x0 , y0 , z0 一般式方程： Ax By Cz D0截距式方程： x y z 13, abc A1 B1 C1 两平面的夹角： n1 A1, B1, C1 , n2 A2 , B2 , C2 , A1A2 B1B2 C1C2 cos 2 A1 B1 C1 2 A2 2 B2 2 C2 12A1 A2 B1 B2 C1C2 0； 1/ 2A 2B 2C24, 点 P0 x0 , y 0 , z0 到平面

3、Ax By Cz D的距离： dAx0 By0 Cz0 D 2 A 2 B C2（三） 空间直线及其方程 收集于网络,如有侵权请联系治理员删除 第 2 页,共 12 页精品文档 1, 一般式方程： A1 x B1 y C1 z D1 0y f x0 , y0 A2 x B 2 y C 2 z D 2 02, 对称式（点向式）方程： x x0 y ny0 z z0 mp方向向量： s m, n, p ,过点 x0 , y0 , z0 3, 两直线的夹角： s1 m1 , n1 , p1 , s2 m2 , n2 , p2 , cos 2 m1 m1m2 n1n2 p1 p2 2 p2 2 n1

4、2 p1 2 m2 2 n2 L1 L2 m1m2 n1 n2 p1 p2 0； L1 / L2 m1 n1 p1 m2 n2 p2 4, 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角, sin 2 A Am Bn Cp n2p22 B C2m2L / Am Bn Cp 0； LA B Cmnp第九章 多元函数微分法及其应用 1, 连续： x, y lim x0 , y0 f x, y f x0 , y0 2, 偏导数： f x x0, y0 lim x 0 f x0 x, y0 f x0 , y0 ； f y x0, y0 lim y 0 f x0 , y0 x y 3, 方向导数： f

5、f cos f cos 其中 , 为 l 的方向角； lx y 4, 梯度： z f x, y ,就 gradf x0 , y0 f x x0 , y0 i f y x0 , y0 j ； 5, 全微分：设 z f x, y ,就 dz z dx x z dy y （一） 性质 1, 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系： 收集于网络,如有侵权请联系治理员删除 第 3 页,共 12 页精品文档 偏导数连续 1函数可微 2偏导数存在 充分条件 2必要条件 4定义 3函数连续 2, 微分法 ,令 1） 复合函数求导：链式法就 如 z f u, v, u u x, y, v v x

6、, y ,就 z z u z v , z z uz v x u x v x y uy v y （二） 应用 1） 求函数 z f x, y 的极值 解方程组 f x 0求出全部驻点,对于每一个驻点 x0 , y0 f y 0A f xx x0 , y0 , B f xy x0 , y0 , C f yy x0 , y0 , 如 AC 2 B 0, A 0 ,函数有微小值, 如 AC 2 B 0 , A 0 ,函数有极大值； 如 AC B20 ,函数没有极值； 如 AC B 2 0 ,不定； 2, 几何应用 1） 曲线的切线与法平面 x x t 曲线 : y y t ,就 上一点 M x0 ,

7、y0 , z0 （对应参数为 t0 ）处的 z z t 切线方程为： x x0 y y0 z z0 x t0 y t0 z t0 法平面方程为： x t 0 x x0 y t0 y y0 z t 0 z z0 02） 曲面的切平面与法线 曲面 : F x , y, z 0 ,就 上一点 M x0 , y0 , z0 处的切平面方程为： 收集于网络,如有侵权请联系治理员删除 第 4 页,共 12 页精品文档 Fx x0 , y0 , z0 x x0 Fy x0 , y0 , z0 y y0 Fz x0 , y0 , z0 z z0 0 x x0 y y0 z z0 法线方程为： Fx x0 ,

8、y0 , z0 Fy x0 , y0 , z0 Fz x0 , y0 , z0 第十章 重积分 （一） 二重积分 ：几何意义：曲顶柱体的体积 n1, 定义： D f x, y d lim0 k 1 f k , k k 2, 运算： 1） 直角坐标 D x, y 1 x a y x b 2 x , D f x, yd xdy a bdx 1 x 2 x f x,yd y D x, y 1 y c x y d 2 y , D f x, yd xdy c ddy 1 y 2 y f x,yd x 2） 极坐标 D , 1 2 , f x, ydxdy d1 2 f cos , sin dD（二） 三

9、重积分 1, 2, 1） 2） x y z 3） x y z 定义： f x, y, z d v lim 0nf k , k , k vkk 1 运算： 直角坐标 f x, y, z d v Dd xd y z2 x, y f x, y, z dz - “ 先一后二 ” z1 x, y f x, y, z dv bd z DZ f x, y, zdx d y - “ 先二后一 ” a柱面坐标 cos sin , f x, y, zd v f cos , sin , z dd dz z 球面坐标 r sin cos r sin sin r cos 收集于网络,如有侵权请联系治理员删除 第 5 页

10、,共 12 页精品文档 f x, y, zd v 2 f r sin cos ,r sin sin ,r cos r sin drd d（三） 应用 曲面 S : z f x, y , x, y D 的面积： A D 1 z x 2 z y 2 d x d y 第十一章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分 nf i , i si 2x t, t ,其中 t, t 在 , 1, 定义： Lf x, yds lim 0i12, 运算： L的参数方程为 设 f x, y 在曲线弧 L上有定义且连续, y t , 上具有一阶连续导数,且 2 t 2 t 0 ,就 t dt , Lf x, y

11、d s f t , t 2t （二） 对坐标的曲线积分 1, 定义：设 L为 xoy 面内从 A 到 B 的一条有向光滑弧,函数 P x, y , Q x, y 在 L上有界,定义 LP x, y d x lim 0nP k , k xk , LQ x, y d y lim 0nQ k , k y k . k 1k 1 2 t 0 ,就 向量形式： LF d r LP x, ydx Q x, yd y 2, 运算： 设 P x, y, Q x, y 在有向光滑弧L上有定义且连续 , L的参数方程为 x t , t : ,其中 t , t 在 , 上具有一阶连续导数,且 2 t y t, LP

12、x, yd x Q x, yd y P t, t t Q t , t t dt 3, 两类曲线积分之间的关系： 设平面有向曲线弧为 L ： x t L上点 x, y 处的切向量的方向角为： , , y , t cos t 2 t , cos 2 t t 2 t , 2 t 就 LPdx Qdy L P cos Q cos ds.收集于网络,如有侵权请联系治理员删除 第 6 页,共 12 页精品文档 （三） 格林公式 1, 格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,函数 P x, y ,Q x, y 在 D 上具有连续一阶偏导数 , Q P 就有 dxd y Pd x Qd y D

13、x y L2, G 为一个单连通区域,函数 P x, y ,Q x, y 在 G 上具有连续一阶偏导数, 就 Q P 曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内与路径无关 x y L（四） 对面积的曲面积分 1, 定义： 设 为光滑曲面,函数 f x, y, z 是定义在 上的一个有界函数, n定义 f x, y, z dS lim0 f i , i , i Si i 1 2, 运算：“ 一单二投三代入 ” : z z x, y , x, y Dxy ,就 2 2f x, y, z dS D x y f x, y, z x, y 1 zx x, y zy x, y d xd y （五） 对坐标的曲面

14、积分 1, 定义： i , i Si zx 设 为有向光滑曲面,函数 P x, y, z, Q x, y, z, R x, y, z 是定义在 上的有界函数,定义 R x, y, zd xdy lim 0nR , i, i Si xy 同理, i1Px, y, zd ydz lim 0ni, i, i Si yz ； Q x, y, zd zdx nP lim R , 0 i 1 i 1 2, 性质： 1） 12 ,就 Pdydz Qdzdx Rdxdy 1Pdydz Qdzdx Rdxdy 2Pdydz Qdzdx Rdxdy 运算：“ 一投二代三定号 ” : z zx, y , x, y

15、Dxy , z z x, y 在 Dxy 上具有一阶连续偏导数, R x, y, z 在 上连续,就 Rx, y, zdxdy Dx y R x, y, zx, ydxdy ,为上侧取“ + ”, 为下侧取“ - ”. 收集于网络,如有侵权请联系治理员删除 第 7 页,共 12 页精品文档 3, 两类曲面积分之间的关系： Rcos d S Pd yd z Qd zdx Rdxd y Pcos Qcos 其中 , , 为有向曲面 在点 x, y, z 处的法向量的方向角； （六） 高斯公式 1, 高斯公式：设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 所围成 , 的方向取外侧 , 函数 P, Q, R 在上

16、有连续的一阶偏导数 , 就有 P Q R d xd yd z Pd y dz Q d zd x Rdx d y x y z 或 P Q R d x d y d z Pcos Qcos Rcos d S x y z 2, 通量与散度 通量：向量场 A P, Q, R 通过曲面 指定侧的通量为： P d ydz Qdzdx Rdxd y P Q R散度： div A x y z （七） 斯托克斯公式 1, 斯托克斯公式：设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线 , 的侧与 的正向符合右手法就 , P x, y, z, Q x, y, z, Rx, y, z 在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数

17、, 就有 R Q P R Q P d yd z d zd x d xd y P d x Qd y Rd z y z z x x y 为便于记忆 , 斯托克斯公式仍可写作 : d yd z d zd x d x d y x y z Pd x Q d y Rd z Pd x Qd y Rd z P Q R2, 环流量与旋度 环流量：向量场 A P,Q, R 沿着有向闭曲线 的环流量为 旋度： rot A RQ , z P R, Q P y z x x y 第十二章 无穷级数 （一） 常数项级数 1, 定义： n 1 un u1 u2 u3 un 1）无穷级数： 收集于网络,如有侵权请联系治理员删除

18、 第 8 页,共 12 页精品文档 n部分和： Sn uk u1 u2 u3 un , 正项级数： k 1 0un , u nn1交叉级数： n1n 1 un , un 0un 收敛,否就称级数 n 1 un 发散 2）级数收敛：如 lim nSn S 存在,就称级数 n 1 3）条件收敛： n1un 收敛,而 n1un 发散； 确定收敛： un 收敛； n 1 2, 1） 2） 3） 性质： 转变有限项不影响级数的收敛性； 级数 n1an , n 1 bn 收敛,就 an n 1 bn 收敛； 级数 an 收敛,就任意加括号后仍然收敛； n14） 必要条件：级数 n1un 收敛 lim un

19、 n 0 . （留意：不是充分条件！） kvn ,而 vn 收敛,就 un 3, 审敛法 正项级数： un , un 0n 1 1） 定义： lim nSn S 存在； 2） un n 1 收敛 Sn 有界； 3） 比较审敛法： n1un , n 1 vn 为正项级数,且 un vn n 1,2,3, 如 vn 收敛,就 n1un 收敛；如 un n 1 发散,就 n1vn 发散 . n 1 4） 比较法的推论： n1un , n 1 vn 为正项级数,如存在正整数 m,当 nm时, un n 1 n 1 收敛；如存在正整数 m,当 nm时, un kvn ,而 vn 发散,就 n 1 un

20、发散 . n 1 收集于网络,如有侵权请联系治理员删除 第 9 页,共 12 页精品文档 5） 比较法的极限形式： n1 un , n 1 vn 为正项级数,如 lim n un vn l 0 l ,而 n 1 vn 收敛,就 n1 un 收敛；如 lim n un v 0 或 lim n un v ,而 n 1 vn 发散,就 n 1 un 发散 . 6） 比值法： n 1 un 为正项级数,设 lim n un 1un l,就当 l 1 时,级数 n1 un 收敛；就当 l 1 时,级数 n1 un 发散；当 l 1 时,级 un 可能收敛也可能发散 . n1数 7） 根值法： n1 un

21、 为正项级数,设 lim n n un l,就当 l 1 时,级数 n1 un 收敛；就当 l 1 时,级数 n 1 un 发散；当 l 1 时,级数 un 可能收敛也可能发散 . n 1 8） 极限审敛法： un 为正项级数,如 lim n n u n 0 或 lim n un n,就级数 un 发散；如存在 p 1 ,使得 n 1 n 1 plim n un n l 0 l ,就级数 n 1 un 收敛 . 交叉级数： 莱布尼茨审敛法：交叉级数： n 1 un n 1 , un 0 中意： un 1un n 1,2,3, ,且 lim n un0 ,就级数 n1n 1 u n 收敛； 任意

22、项级数： un 确定收敛,就 un 收敛； 收敛, q1； p- 级数： n11收敛, p1n 1 n 1 n aq 常见典型级数：几何级数： 发散, q1np发散, p1n 0 （二） 函数项级数 1, 定义：函数项级数 n 1 un x ,收敛域,收敛半径,和函数； 02, 幂级数： n anx 3, n 0 1 , 0收敛半径的求法： lim nan 1,就收敛半径 R0, a n, 4, 泰勒级数 0n 0 f n x0 x n. n x0 lim Rn x nlim nf n 1 n1 x x0 f x n 1 . 开放步骤：（直接开放法） 收集于网络,如有侵权请联系治理员删除 第 10 页,共 12 页精品文档 1） 求出 f n x, n1,2,3, ； x 0 n 10 是否成立； 2） 求出 f n x , n0,1,2, ； 3） 写出 n 0 f n x0 x n. x 0n ； 4） 验证 lim R x nlim nf n 1 x n 1. 间接开放法：（利用已知函数的开放式） 1） ex n1 nx , 0 n. x , ； 函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间 , 上积分 2） sin x n 0 n 1 11 2n