高考数学总复习专题讲解51-抛物线

1、高考数学总复习专题讲解51抛物线考点要求1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.必备知识填充口1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：标准方程y2 = 2px(p0)y2= 2px(p0)x2=2py(p0)x2= 2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的跑离图形9X顶点0(0, 0)对称轴y= 0 x= 0隹百 八、八、F 2, 0F 二”F Qp-2pF 0, -2离心率e= 1准线方程_ px- 2x=2y=-242范围x0, y Rx0, x Ry0)焦点F的

2、弦，若A(x1, y1)，B(x2, y2),则P2 .2(1)x1X2= 4 , y1y2= - p .弦长AB|= X1 +X2+ p = s2p a为弦AB的倾斜角).(3)以弦AB为直径的圆与准线相切.通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p,通径是过焦点最短的弦. TOC o 1-5 h z 一、思考辨析(正确的打“，”，错误的打X”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.()a(3)方程y=ax2(aw0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是 a, 0 ,准线方程是ax=-

3、不)(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()答案(1)X (2)X (3)X (4)X二、教材改编1.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(xi, yi), Q(x2, y2)两点，如果xi + x2 = 6,则|PQ| 等于()A.9B. 8C. 7D. 6B 抛物线y2 = 4x的焦点为F(1, 0),准线方程为x= 1.根据题意可得，|PQ|=|PF|+|QF| = xi + 1 + x2+1=xi+x2+2= 8.2,若抛物线y= 4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(A.w B- 15A.w B- 15。8D. 011B M到准线的距离等于M到焦点的距

4、离，又准线万程为v= 76，设M(x，y)，则y+=1,15 y=16.设抛物线y2 = 8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4 B, 6 C. 8 D. 12B 如图所示，抛物线的准线l的方程为x= 2, F是抛物线的焦点，过点P作 1JLFAy轴，垂足是A,延长PA交直线l于点B,则AB| = 2.由于点P到y轴的距离为4,则点P到准线l的距离|PB| = 4+ 2=6,所以点P到焦点的距离|PF|=|PB|=6.故选B.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P( 4, 2)的抛物线的标准方程是 .2= x或x2= 8y 若焦点在y轴上，设抛物线方程为x2 = m

5、y,由题意可知16= 2m,.m=8,即x2= 8y.若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2=nx,由题意，得4= 4n, ；n= 1, 32=-x综上知,y2 = x 或 x2 = _ 8y.考点1抛物线的定义及应用法(1)应用抛物线定义的两个关键点由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.注意灵活运用抛物线上一点 P(x0, y0)到焦点F的距离|PF|=|x0| + p或|PF|= |yo| + p.(2)解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径是：“看到准线想焦点，看到焦点想准线” .曜里倒(1)已知F是抛物线=乂的焦点，A, B是该抛物线上的两点AF|+|BF| = 3,

6、则线段AB 的中点到准线的距离为()A.5 B. 2 C. 1 D. 3(2)设P是抛物线y2 = 4x上的一个动点，若B(3, 2),则|PB|+|PF|的最小值为.(1)B (2)4 (1) . F是抛物线y2 = x的焦点，F(：, 0),准线方程 x= 1,设A(x1，y1)，B(x2, y2),根据抛物线的定义可得 TOC o 1-5 h z ，11AFl=x1+4，|BF|=x2+4, 1 ,1 c. |AF|+ |BF|=x1 + 4+乂2+4 = 3.55解得x1 + x2=5, 线段AB的中点横坐标为5, 5 1 3线段AB的中点到准线的距离为4+4=2.故选B.(2)如图，

7、过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|十|PF|河P1B|十|P1Q|=|BQ| = 4,即|PB|十|PF|的最小值为 4.母题探究.若将例(2)中的B点坐标改为(3, 4),试求|PB| 十 |PF|的最小值.解由题意可知点B(3, 4)在抛物线的外部.|PB|+|PF|的最小值即为B, F两点间的距离,F(1, 0),.|PB|+|PF| 刁 BF|=，42 + 22 = 2-5,即|PB|十|PF|的最小值为2 ,5.若将例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x y+5 = 0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d

8、i,到直线l的距离为d2,求di + d2的最小值.解由题意知，抛物线的焦点为F(1, 0).点P至Uy轴的距离di = |PF|1,所以 di + d2=d2+|PF|1.易知d2+|PF|的最小值为点F到直线l的距离，|1+5|故d2+|PF|的最小值为 I 9=3V2,W2+ (-1)2所以d1 + d2的最小值为3亚1.河与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段 最短”原理解决.M是C上一点，FM的延长线交yx轴于点A,

9、过Ems (2017 全国卷H)M是C上一点，FM的延长线交yx轴于点A,过轴于点N.若M为FN的中点，则|FN| =.6 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P, . PM/OF.由题意知，F(2, 0), |FO|=AO| = 2.点M为FN的中点,PM /OF, 1 -.|MP|=2|FO|=1.又 |BP|=|AO| = 2,.|MB|=|MP|+|BP| = 3.由抛物线的定义知|MF|=|MB| = 3,故|FN|=2|MF|=6.考点2抛物线的标准方程及其性质法 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口

10、方向，在方 程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准 方程.照於例(1)(2019潍坊卞g拟)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F, O为坐标原点，M为抛物线上一点， 且|MF|=4|OF|, AMFO的面积为4、/3,则抛物线的方程为()A.y2=6xB. y2=8xC.y2=16xD. 丫2二臂(2)一题多解在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l, P为抛物线上 一点，FAl, A为垂足.如果直线AF的倾斜角为120 ,那么|PF|=.(1)B (2)4 (1)设 M(x, y),因为 |OF|=p, |MF|=4|

11、OF|,所以 |MF|=2p,由抛物线定义知 x+ 昌= 2p,所以乂= 2p，所以y=W3P.又AMFO的面积为4屹，所以；xpx，3P = 4，3,解得p= 4(p= 4 舍去).所以抛物线的方程为y2 = 8x(2)法一：抛物线y2 = 4x的焦点为F(1, 0),准线方程为x= 1.因为直线AF的倾斜角为120, 所以/AFO = 60.又tan 60 =世,所以yA = 243.因为PAH,所以yP=yA=243.将其代入y21- ( D= 4x,得 xp = 3,所以 |PF|=|PA|=3( 1)=4.法二：抛物线y2=4x的焦点为F(1, 0),准线方程为x= 1.因为PAL,

12、所以|PA|=|PF|.又因为直线AF的倾斜角为120,所以/AFO=60,所以/PAF = 60,所以4PAF为等边三角形,所以|PF|1准线的问题更是如此8x4x2xxB30则在RtzACE中FG2|AE|=|AC|,又|AF|=4,2.如图所示，过抛物线y2 = 2px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于AC| = 4+3a, AE| = 4,A, B, C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,则抛物线的方程为(A.y21准线的问题更是如此8x4x2xxB30则在RtzACE中FG2|AE|=|AC|,又|AF|=4,2.如图所示，过抛物线y2 = 2px(p0)的焦点F的直线

13、依次交抛物线及准线于AC| = 4+3a, AE| = 4,A, B, C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,则抛物线的方程为(A.y2B.y2C.y2D.y2分别过点A, B作准线的垂线由定义得|BD| = a,故/BCD4+5=产4 + 5, ；p=4(负值舍去)4 点ApA.2 B. 4 C. 6 D. 84不妨设A p16 02+8 = p两点.已知|AB| = , |DE|=2y5,则C的焦点到准线的距离为(= 4. cos ZAFOD 243a = 8,从而得a = 3整=CF，即%* p=2.抛物线的方程为y2=4x.故选B.AE AC 4 8B 设抛物线的方程为y2=2p

14、x(p0),圆的方程为x2+y2=r2 AB|=4、也，|DE|=2/5抛物线的准线方程为x=2考点3直线与抛物线的位置关系法求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以 及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB| = xi + x2+p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式.提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解.fc里例(1)过

15、点(0, 1)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有 条.3一(2)(2019全国卷I)已知抛物线C: y2 = 3x的焦点为F,斜率为2的直线l与C的父点为A, B,与 x轴的交点为P.若AF| + |BF|=4,求l的方程；若 AP= 3PB,求 |AB|.(1)3 结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x= 0,过点(0, 1)且平彳T于x轴的直线以及过点(0, 1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0).3解 设直线 l： y=2x+1, A(x1，y1)，B(x2, y2).3 一 一3由题设得 F 4, 0 ,故AF|+|BF|=x1 + x2+3

16、,5由题设可得x1+x2=2.则 x1+x则 x1+x2= 一12 (t1)9y=2x+1,可得 9x2+12(t1)x+4t2 = 0,y2= 3x12 (t-1)57从而由9=2,行t=一g.37所以l的方程为y=3x由 AP= 3PB得 y1 = 3y2.3 一 y=2x+1,得 y3 一 y=2x+1,得 y2 2y+ 2t = 0.所以 yi + y2= 2.从而一 3y2 + y2 = 2,故 y2=1, yi = 3.1代入C的万程得xi = 3, x2=-3故 |AB|=%13.3心评 解答本例(2)第问的关键是从条件“京=3病” 中发现变量间的关系“yi = 3y2，从而 为

17、方程组的消元提供明确的方向. 备选例题备选例题1. (2018全国卷H)设抛物线C: y2 = 4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A, 两点,|AB| = 8.(1)求l的方程；(2)求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程.解(1)由题意得 F(1, 0), l 的方程为 y=k(x1)(k0).设 A(x1, y1)，B(x2, y2).y=k (x 1),由 2得 k2x2 (2k2+4)x+k2=0.y =4xA= 16k2+160,2k2+4故 x1 +x2= k2.4k2+4所以 |AB| = AF|+|BF|=(x1+ 1)+(x2+1) = ,2-.k4k2

18、 + 4由题设知-k2- = 8,解得k= 一1(舍去)或k=1.因此l的方程为y=x1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3, 2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=(x3),即丫= x + 5.设所求圆的圆心坐标为(x0, yO),则y0= xo + 5,(x0+ 1)2=(y(x0+ 1)2=(yo xo+ 1)22-+16,xo=3,xo=11,解得 或yo= 2yo= -6.因此所求圆的方程为(x 3)2 + (y 2)2 = 16 或(x 11)2 + (y + 6)2 = 144.52. (2019金华模拟)已知抛物线C: y2=2px(p0)在第一象限内的点P(2, t)到焦

19、点F的距离为(1)若N(2, 0),过点N, P的直线11与抛物线相交于另一点Q,求|QF|的值；(2)若直线12与抛物线C相交于A, B两点，与圆M: (x- a)2+y2=1相交于D, E两点，。为坐 标原点，OAL OB,试问：是否存在实数a,使得|DE|为定值？若存在，求出a的值；若不存存，请 说明由.5解=点P(2, t)到焦点F的距离为2,2 + 2 = 1，解得 p= 1,故抛物线C的方程为y2=2x, P(2, 2),42口的方程为v= 5x+5，4 , 2y=5x+5，151 55 |QF| 8 1又Iqfi=xq+ 2=8, |PF|=2, 晶1 55 |QF| 8 1又I

20、qfi=xq+ 2=8, |PF|=2, 晶=5=4 2(2)设直线l2的方程为x= ny+ m(m*0)，代入抛物线方程可得 y2),则 y1 + y2=2n, y1y2= 2m,由 OAL OB 得,(ny+m)(ny2+m) + y1y2= 0,整理得(n2+1)y1y2 + nm(y1 + y2)+m2 = 0,将代入解得m= 2或m=0(舍去)，满足A= 4n2 + 8m0, 直线l2： x=ny+2,y2 2ny 2my2 2ny 2m= 0,设 A(xi , y1), B(x2,圆心M(a, 0)圆心M(a, 0)到直线12的距离d =|a 2| .|DE|=21 -(a2)显然

21、当a = 2时，|DE|=2, .存在实数a=2,使得|DE|为定值. 鹤心醺1.一题多解过抛物线y2=4x的焦点F鹤心醺1.一题多解过抛物线y2=4x的焦点F的直线1与抛物线交于A, B两点，若|AF|=2|BF|,则|AB|等于()9A.4 B. 2 C. 5 D. 6 法一：(直接法)易知直线l的斜率存在，设为k,则其方程为y=k(x1).y=k (x 1),由 2得 k2x2(2k2 + 4)x+k2=0,y =4x得 xA xb= 1,因为AF| = 2|BF|,由抛物线的定义得 xa+1=2(xb+1),即xa = 2xb+1,1由解得xa=2, xb=2，所以 AB| = AF| + |BF| = xa+ xb + p=1法二：(应用性质)由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A, B在准线上的射影分别为D, C,作BELAD于E,设|BF|=m，直线1的倾斜角为9,7 df则 |AB|=3m,、由抛物线的定义知AD|=AF| = 2m, |BC|=|BF|=m,所以cos41A曷=2，所以tan42版.则sin2 8= 8cos2以sin2 8= 8.又y