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1、第五章 多元函数微积分1 多元函数的概念2 偏导数和全微分3 二元函数的极值4 二重积分的概念5 在直角坐标系下计算二重积分 多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理解，融会贯通。 在上一章，我们讨论的是一元函数微积分，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的函数多元函数，也提出了多元微积分问题。 （2）邻域一、平面点集与区域（1）平面点集将 x, y 看作平面上的点的坐标,则两个变量的变化范围就相

2、当于平面上的一个点集.例如，即为开集（3）内点与开集（4）边界设E 为开集,若E 中任何两点都能用位于E 内的折线连接起来,则称E为开区域.开区域+边界称为闭区域区域如果存在正数M,使得E中任何点到原点的距离都小于M,则称E 为有界域,否则无界域.注意:以上概念可推广到 n 维空间.（5）区域二、二元函数的定义定义 设 D 是平面上的一个点集，f 是一个确定的对应关系. 如果对于D 中的每一个元素 (x,y) ，通过 f 都有实数集 R 内的唯一确定的一个元素 z 与之 应，那么这个对应关系 f 就叫做由 D 到 R 内的二元函数，记为而z 叫做 f 在点(x,y) 处的函数值，记作 z=(x

3、,y)；D 叫做函数 f 的定义域；所有的函数值的集合 Z，即叫做 f 的值域，也称二元函数 f 是从D 到 Z 上的映射.例1 求 的定义域解所求定义域为 二元函数 的几何意义（如右图）二元函数的图形通常是一张曲面.三、多元函数的极限定义设函数),(yxfz=的定义域为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的正数e，总存在正数d，使得对于适合不等式d-+-=20200)()(|0yyxxPP的一切点，都有e-|),(|Ayxf成立，则称A为函数),(yxfz=当0 xx，0yy时的极限，记为 Ayxfyyxx=),(lim00 （或)0(),(rAyxf这里|0PP=r）.（1）定

4、义中 的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。这是产生本质差异的根本原因。（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。说明：证当 时，原结论成立例2 求证 例3 求极限 解其中例4 证明 不存在 证取其值随k的不同而变化，故极限不存在确定极限不存在的方法：利用点函数的形式有四、多元函数的连续性例5 讨论函数在(0,0)处的连续性解取当 时故函数在(0,0)处连续.例6 讨论

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