高等数学教学教案§86空间直线及其方程

1、8 6 空间直线及其方程授课次序 52 教学课题 教学重点参考教材双语教学教学基本指标8 6 空间直线及其方程教学方法当堂讲授,辅以多媒体教学直线及其方程教学难点平面、直线的相互关系同济高校编 高等数学 （第 6 版） 作业布置高等数学 标准化作业自编教材 高等数学习题课教程坐标轴： axis of coordinates ；横坐标： abscissa；纵坐标：ordinate； 螺旋线： helices；曲线： curve；曲面： surface ；锐角： acute angle；钝角： obtuse angle；平角： straight angle ；直角： right angle 课堂教

2、学 1 把握直线方程及其求法,目标 2 会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题1直线方程（ 35min）；教学过程2平面、直线的相互关系（30min）；3杂题选编（ 25min）教学基本内容备注栏8 6 空间直线及其方程一、空间直线的一般方程空间直线 L 可以看作是两个平面 1和 2的交线假如两个相交平面 1和 2的方程分别为 A1x B1y C1z D 1 0 和 A2x B2y C2z D2 0 那么直线 L 上的任一点的坐标应同时满意这两个平面的方程 即应满意方程组 A A 12 x x B B 12 y y C C 1 z2 z D D 12 0 0 1 反过来

3、假如点 M 不在直线 L 上 那么它不行能同时在平面 1和 2上 所以它的坐标不满意方程组 1 因此 直线 L 可以用方程组 1来表示 方程组 1 叫做空间直线的一般方程设直线 L 是平面1与平面2的交线 平面的方程分别为A1x B1y C1z D 1 0 和 A2x B2y C2z D 2 0那么点 M 在直线 L 上当且仅当它同时在这两个平面上程 即满意方程组A 1 xB 1yC 1zD10A 2xB 2yC2zD20当且仅当它的坐标同时满意这两个平面方因此 直线 L 可以用上述方程组来表示L上述方程组叫做空间直线的一般方程把它们的方程通过空间始终线L 的平面有无限多个只要在这无限多个平面

4、中任意选取两个联立起来 所得的方程组就表示空间直线二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量假如一个非零向量平行于一条已知直线这个向量就叫做这条直线的方向向量容易知道 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量确定直线的条件当直线 L 上一点 M 0 x0 y0 x0和它的一方向向量sm n p为已知时 直线 L的位置就完全确定了直线方程的确定已知直线 L 通过点 M 0 x0 y0 x0 且直线的方向向量为sm n p 求直线 L 的方程设 M x y z在直线 L 上的任一点就x x0 y y0 z z0/s 从而有xx 0yy 0zz 0mnp这就是直线L 的方程 叫做直线的对称式方程或点向

5、式方程注当 m n p 中有一个为零例如 m 0而 n p 0 时这方程组应懂得为xx 0y 00 0 xx 0yy0zz 0np当 m n p 中有两个为零例如 m n 0 而 p 0 时 这方程组应懂得为y直线的任一方向向量s 的坐标 m、n、p 叫做这直线的一组方向数而向量 s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦由直线的对称式方程简单导出直线的参数方程设xx 0yy0zz 0t得方程组xx 0mtyy0ntmnpzz 0pt此方程组就是直线的参数方程例 1 用对称式方程及参数方程表示直线xxyz142y3 z三、两直线的夹角两直线的方向向量的夹角 通常指锐角 叫做两直线的夹角设直线 L 1和

6、 L2的方向向量分别为 s1 m1 n1 p1和 s2 m2 n2 p2 那么 L1 和 L2 的夹角 就是 s 1s 2 和 s 1 , s 2 s 1 , s 2 两者中的锐角 因此 cos | cos s 1 , s 2 | 依据两向量的夹角的余弦公式直线 L1和 L2的夹角 可由cos | cos s 1 , s 2 |m 1 2 | mn 11 m2 2p 1 n2 1 n 2m 2 2 p 1 pn 22 2 |p 2 2 来确定从两向量垂直、平行的充分必要条件立刻推得以下结论设有两直线L 1xx 1yn 1y 1zz 1L2xx 2yy2zpz 2就m 1p 1m 2n 22L1

7、L2m1m2 n1n2 p1p2 0 L1 L 2m 1m 2n 1p 1的夹角n 2p2例 2 求直线 L1:x1yz13和 L 2:x 2y2z1421四、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角当直那 么线与平面垂直时规定直线与平面的夹角为2设 直线 的方向 向量s m n p 平面 的法 线向 量为n A B C 直 线与 平面 的夹 角为|2s ,n |因此sin|cos s ,n |按两向量夹角余弦的坐标表示式有sinA 2|AmBnCp|2p2B2C2m 2n当于由于直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行所以 直线与

8、平面垂直相ABCmnp由于直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直 所以 直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am Bn Cp 0设直线 L 的方向向量为 m n p 平面的法线向量为 A B C 就LA mBCL/ / Am Bn Cp 0np例 3 求过点 12 4且与平面 2x 3y z 4 0 垂直的直线的方程五、杂例例 4 求与两平面x 4z 3 和 2x y 5z 1 的交线平行且过点 3 2 5的直线的方程s 因 为解 平 面x 4z 3 和2x y 5z 1 的 交 线 的 方 向 向 量 就 是 所 求 直 线 的 方 向 向 量si4 k 2 i

9、j5 ki 1 2j 0 1k 4 54 i3jk所以方程为x43y32z15例 5 求直线x12y13z24与平面 2x y z 6 0 的交点解所给直线的参数方程为x 2 t y 3 t z 4 2t 代入平面方程中得22 t 3 t 4 2t 6 0 解上列方程得 t1将 t1 代入直线的参数方程得所求交点的坐标为x 1 y 2 z 2例 6 求过点 2 1 3且与直线x31y21z垂直相交的直线的方程1解过点 2 1 3与直线x31y21z垂直的平面为13x 2 2y 1 z 3 0 即 3x 2y z 5直 线 x 1 y 1 z 与 平 面 3x 2y z 5 的 交 点 坐 标

10、为 2 , 13 , 3 以 点 2 1 3 为 起 点 以 点3 2 1 7 7 7 2 , 13 , 3 为终点的向量为 2 ,2 13 ,1 3 3 6 2 , ,1 47 7 7 7 7 7 7所求直线的方程为 x 2 y 1 z 32 1 4例 6 求过点 2 1 2且与直线 x 2 y 3 z 4 垂直相交的直线的方程1 1 2解 过已知点与已知直线相垂直的平面的方程为 x 2 y 1 2z 2 0 即 x y 2z 7 此平面与已知直线的交点为 1 2 2 所求直线的方向向量为s 1 2 2 2 1 2 1 1 0 所求直线的方程为x1 2 y1 1 z0 2 即z x12 20

11、 y1 1提示 求平面 x y 2z 7 与直线 x1 2 y1 3 z2 4 的交点直线的参数方程为 x 2 t y 3 t z 4 2t 代入平面方程得2 t 3 t 24 2t 7解得 t 1 代入直线的参数方程得 x 1 y 2 z 2平面束 设直线 L 的一般方程为A 1 x B 1 y C 1 z D 1 0A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0其中系数 A1、B1、C1 与 A2、B2、C2 不成比例 考虑三元一次方程A1x B1y C1z D 1 A2x B2 y C2z D2 0即 A1 A2x B1 B2y C1 C1z D 1 D2 0其中 为任意常数 由于系数 A1、B1、C1 与 A2、B2、 C2 不成比例 所以对于任何一个 值 上述方程的系数不全为零 从而它表示一个平面 对于不同的 值 所对应的平面也不同 而且这些平面都通过直线 L 也就是说 这个方程表示通过直线 L 的一族平面 另一方面 任何通过直线 L 的平面也肯定包含在上述通过 L 的平面族中通过定直线的全部平面的全体称为平面束方程 A1x B1y C1z D1 A2x B2y C2z D2 0 就是通过直线 L 的平面束方程例 7 求直线 xx yy zz 11 00 在平面 x y z 0