高二数学选修44教案01极坐标系

1、高中数学选修 4-4 教案 1 极坐标的概念 教学目标：使同学懂得极坐标系的概念；两点之间的距离；教学重点：极坐标系、点的极坐标；应能娴熟地依据坐标描点及求一个点的坐标、对 称点的极坐标 教学难点：点的极坐标不惟一是学习的难点教学过程设计：极坐标系与直角坐标系,虽然是两种不同的描述点位置的方法,但它们的基本观念是一样的,即坐标的观念,即把坐标看成有序实数对；极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标 系中,点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的一 、问题引入 老师对直角坐标系作简要回忆如下：建立直角坐标系,使几何问题代数化,将几 何问题,由平面几何中的定性讨

2、论,转变为解析几何中的定量讨论解析几何的动身 点是点用坐标表示,留意以下几点：一个点的坐标是一对有序实数,点和它的坐标 是一一对应的；直角坐标系有三个要素：原点、单位、坐标轴的方向；同一点在 不同的坐标系中,坐标不同回忆这些学问后提出问题（回忆学问要点是为了寻求新学问的生长点和突破口）：除了直角坐标系, 仍有没有确定点的位置的方法？同学可能有多种回答,答案可能有 以下几中： 用仿射坐标表示一个点,它与直角坐标系的主要区分是坐标轴的夹角不 是 90 ；用船在岛的南 40 东的说法表示方向,再加一个船与岛的距离表示船的 位置, 这实际上是用方向角及距离表示位置；把正北定为 0 ,90 是正西, 1

3、80是正南, 270 是正东,利用一个角度及一个距离表示点的位置,这实际上是利用方位角表示一个点；密位法：把一个周角分为6000 份,一份称为1 密位,其它与方位角表示点的方法相同,只是方向更细些炮兵常用密位法表示方向老师对同学回 答的各种方法加以概括：一个点可以用不同的坐标系表示,但有两点是一样的,一是 建立坐标系一般包括原点,长度单位,角度单位和方向,二是一对有序实数表示平面 上一个点,可以通俗地说“ 平面上点的坐标是点坐落位置的标记,这个标记是一对有序实数” 由此可以转入新课的学习这样作,老师在不断点拨中,逐步抽象出问题 的本质,使同学联想思维水平层层递进,从多方面考虑问题,探求问题答案

4、,达到殊 途同归的目的二、数学构建定义：在平面内取一个定点O,叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选一个长 M度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）；对于平面内的任意一点M ,用 表示线段OM 的长度, 表O图1x示从 Ox 到 OM 的角, 叫做点M 的极径, 叫做点M 的极角, 有序数对 , 就叫做点 M 的极坐标； 这 样建立的坐标系叫做极坐标系；1极坐标系有四个要素：极点、极轴、长度单位、角的单位及方向2点的直角坐标与极坐标的共同点是：都是一对有序实数表示一个点不同点 是点与点的直角坐标是一一对应的,点的极坐标不是唯独的,一般情形下（非极点）点 P,的全部极坐标为P ,+2 k和

5、P,2 kkZ 3直角坐标系内,点的坐标是表示这个点的充要条件极坐标系内,点的某一个极坐标是表示这个点的充分非必要条件,只有对、作特别限制, 才可能是充要的4.求一个点的极坐标,一般只要求出其中一个坐标即可三、学问运用【例 1】在极坐标系中,作出以下各点,P12,3、P22,2、P31,2【例 2】写出图中各点的极坐标,02P 13,6、P 23,、P 32,54这类例题的目的是使同学熟识极坐标系,克服直角坐标系中由习惯形成的干扰同学极易 将 P2,2中极角 2 当坐横坐标 2,将 P 点标在 图 2 （2,）的位置4【例 3】在极坐标系中,作出以下各点：Q12,、Q2 2 ,、Q33,3、4

6、 4Q4 3 ,7、Q52, 2 、Q62,0、Q7,、Q8,、Q90,3、2 4 70Q10 3 ,2 4此例应让同学到黑板上作,依据结果启示同学发观 Q7 与 Q8 重合,Q10 与 Q4 重合,Q5 与 Q6 重合,这说明不同的坐标,可能表示相同的点可再举些类似的例子,从而得到点的极坐标不惟一的重要结论可结合 Q4 与 Q10 指出,它们各自都表示 Q4 点,即 Q4 点不肯定非用 3 ,7表示, 仍可以用 3 ,、3 ,3 表示 反2 4 2 4 2 4之,给定一个点,并不能肯定得到它某个特定的坐标因此, 一个点的某个极坐标是表示这个点的充分不必要条件,这样使同学对两种坐标系有了统一的

7、规律熟识,扩展了同学的认知结构以此例为导入, 即可将0、0 时极坐标的概念进行讲解,并准时作小结 当 0 时,点 ,的全部极坐标为 ,2 k 他 ,2k k Z 以此使同学对极坐标系中,点坐标的复杂性 加以系统化和条理化使同学易于记忆 如用多媒体等教学手段,显示以上结论, 就可以强化熟识, 突破难点【例 4】在极坐标系中,作出点 M 2,、N 2 ,并求出这两点之间的4距离；解：如图 2 所示,由余弦定理,得cos4=NOMx|MN|=2222222图210通过本例达到介绍极坐标下两点之间的距离的求法；【例 5】写出点 P（ 5,6）的全部极坐标；写出点P5,7关于极轴6的对称点的坐标, 关于

8、极点的对称点的坐标,关于过极点且与极轴垂直的直线的对称点的坐标；标出 5, ,0,1,1,0, 4,各点的位置6 此题应让同学板演,以巩固新学问,在练习过程中及终止后,强调几点：画坐标系可能丢掉原点、单位、方向等要素；极坐标系中,对或和作特别规定时,可以使点和其坐标一一对应例如规定0 且 020 且 0 2时,除极点外,平面上的点的坐标就唯独了【例 6】在极坐标系中, 标出 A5, 3,B5, 3,C5, 3,D5, 3的位置,并说明A 与 B、C、D 分别有怎样的相互位置关系A解： A 与 B 关于极轴对称,A 与 C 关于过极点且与极轴垂直的直线对称,与 D 关于极点对称,B 与 C 关于极点对称,B 与 D 关于过极点且与极轴垂直的直线对称, C 与 D 关于极轴对称；四、小结极坐标系不但学问新、观点也新,特别应留意以下几点：1极坐标系有四个要素：极点、极轴、长度单位、角的单位及方向2极坐标系中