高二数学数学归纳法证明不等式学案新人教A版

1、 4.1.2 数学归纳法证明不等式 2 学习目标： 1. 懂得数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤; ； 2. 会运用数学归纳法证明不等式.学问情形 ：重点：应用数学归纳法证明不等式. 关于正整数n 的命题 相当于多米诺骨牌, 我们可以采纳下面方法来证明其正确性：10. 验证 n 取时命题 即 n n 时命题成立 归纳奠基）20. 假设当时命题成立,证明当n=k1 时命题 归纳递推） .30. 由 1 0、20 知,对于一切 n n 的自然数 n 命题！ 结论）要诀 : 递推基础, 归纳假设, 结论写明.数学归纳法的应用 ：例 1. 求证：2 em3 m ,其中m1,且mN 例 2 已知数

2、列 a n的各项为正,且a1, a n11a n4a n,nN . 2（1）证明a nan12,nN ; （2）求数列 an的通项公式a .例 3 06 湖南）已知函数f x xsinx, 数列 an满意 : 0a 11, a n1f a n,n1,2,3,证明 : 0a n1a n1; a n11a n3.nN, 点 , n S n均在函数6例 4 （09 山东）等比数列a 的前 n 项和为S , 已知对任意的ybxr b0且b1, , b r 均为常数 的图像上 . （1）求 r 的值；（11）当 b=2 时,记b n2 l o g a n1 N221bn1n1成立证明：对任意的nN,不等

3、式b 11bb 1bb n选修4-5练习4.1.2数学归纳法证明不等式（2）姓名n2b n.1、正数 a、b、c 成等差数列,当n1,nN*且 a、b、c 互不相等时,试证明：an+c2、正数 a、b、c 成等比数列,当n1,nN*且 a、b、c 互不相等时,试证明：an+cn2bn.3、如 n 为大于 1 的自然数,求证：n11n12113. 2 n244、（05 辽宁）已知函数f x x3x1, 设数列 an满意a 11,an1f a n,x1nb满意b n|anb3 |,S n3nb 11nb 2bnnS nN*33 .（）用数学归纳法证明n；（）证明2215、（05 湖北）已知不等式1

4、111log2n,其中n为大于 2 的整数,log 2 n 表23n2示不超过log2n的最大整数 . 设数列an的各项为正,且满意a 1bb0,annnan11,n2,34,an20n1,2,从点P 1,0向曲线C 引斜率证明 : a n2b2b2n,n3,4, 5,log6、 09 广 东 ）已知曲线Cn:x22nxyk nkn0的切线nl ,切点为P nxn,y nx 1x3x5x2n11xn2 sinxn. （1）求数列 x n与 yn的通项公式；（2）证明：1xnyn参考答案 : 1. 关于正整数 n 的命题 相当于多米诺骨牌 , 我们可以采纳下面方法来证明其正确性：1 0. 验证

5、n 取第一个值时命题成立 即 n n 时命题成立 归纳奠基）；2 0. 假设当 n=k 时命题成立,证明当 n=k1 时命题也成立 归纳递推） .3 0. 由 1 0、2 0 知,对于一切 n n 的自然数 n 命题都成立！ 结论）要诀 : 递推基础 不行少 , 归纳假设 要用到 , 结论写明 莫忘掉 .例 1. 求证：e2m3m ,其中m1,且mN 分析：此题是2022 年广东高考数学试卷第21 题的适当变形,有两种证法证法一：用数学归纳法证明（1）当 m=2 时,e42432,不等式成立e2ke22 3 k e6k ,（2）假设mk k2,kN*时,有e2k3 k ,就2 ek13 k13

6、 k30,即6k3 k1k2,6k从而2 ek16 k3k1,即mk1时,亦有2 em3 m 由（ 1）和（ 2）知,对m1,mN 都成立证法二：作差、放缩,然后利用二项绽开式和放缩法证明2 em3 m2 1 1m3 m3 m m12 m110 C 2 m1 C 2m2 C 2 m12 m2m 2m13 m212mm3 m0当m1,且mN 时,e2m3m 4an,nN.例 2（2022 年江西第 21 题第（ 1）小题,本小题满分12 分）已知数列a n的各项都是正数,且满意:a01,an11an2（1）证明anan12 ,nN;（2）求数列an的通项公式an. 分析 ：近年来高考对于数学归纳

7、法的考查,加强了数列推理才能的考查；对数列进行了考查,和数学归纳法一起,成为压轴题；解：（ 1）方法一 用数学归纳法证明：1当 n=1 时,a 01 ,a 11a04a03,a0a12,命题正确 . k4aak22n1a k14ak11ak1 时,aka k12假设 n=k 时有ak1ak2.22就而ak1a k0,2a k1ak1ak1akak1a k1ak1ak4ak1k.224a k10,akaka k0.1又ak11a k4ak14a k2 2 2.nk1时命题也正确 . 22由 1、2知,对一切nN 时有anan12.方法二：用数学归纳法证明：1 31当 n=1 时,a 0 ,1 a

8、 12 a 0 4 a 0 2 ,0 a 0 a 1 2；2假设 n=k 时有 a k 1 a k 2 成立,令 f x 12 x 4 x ,f x 在0,2上单调递增,所以由假设有：f a k 1 f a k f 2 ,1 1 1a k 1 4 a k 1 a k 4 a k 2 4 2 ,2 2 2也即当 n=k+1 时 a k a k 1 2 成立,所以对一切 n N , 有 a k a k 1 21 1 2a n 1 a n 4 a n a n 2 4 ,（2）下面来求数列的通项：2 22所以 2 a n 1 2 a n 2 令 b n a n 2, 就 b n 12 b n 21 1

9、2 12 b n 22 2 12 12 2b n 2 21 12 1 2 2 n 1b n 2 nb n 1 2 n 1, 即 a n 2 b n 2 1 2 n 1又 bn=1,所以 2 2此题也可先求出第（2）问,即数列 a n 的通项公式 na 2 12 2n1,然后利用函数1 2 x 1f x 2 2 的单调性和有界性,来证明第（1）问的不等式但如这样做,就无形当中加大了第（1）问的难度,明显不如用数学归纳法证明来得简捷例 3（06 年湖南卷 . 理 .19 本小题满分14 分）.已知函数f x xsinx ,数列 a 满意 :0a 11,an1f a n,n1,2,3,证明 :0a

10、n1a n1;an11an3. 6证明 : （I）先用数学归纳法证明0an1, 1,2,3, i.当 n=1 时,由已知明显结论成立. ii. 假设当 n=k 时结论成立 ,即0ak1.由于 0 x0 成立 .于是g an0,即sinana n1an306故a n1a n36点评： 不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇,综合考查运用不等式学问解决问题的才能,在交汇中特别以各分支中隐藏的不等式结论的证明为重点 . 需要敏捷运用各分支的数学学问 .例 4解1 :由于对任意的 n N ,点 , n S n ,均在函数 y b xr b 0 且 b 1, , b r 均为常n数的

11、图像上 .所以得 S n b r ,当 n 1 时, a 1 S 1 b r , n n 1 n n 1 n 1当 n 2 时, a n S n S n 1 b r b r b b b 1 b , n 1又由于 a 为等比数列 ,所以 r 1 ,公比为 b , a n b 1 bn 1 n 1 n 1（2）当 b=2 时,a n b 1 b 2 , b n 2log 2 a n 1 2log 2 2 1 2 n就 b n 1 2 n 1, 所以 b 1 1b 2 1b n 1 3 5 7 2 n 1b n 2 n b 1 b 2 b n 2 4 6 2 n下面用数学归纳法证明不等式 b 1 1

12、b 2 1b n 1 3 5 7 2 n 1 n 1 成立 . b 1 b 2 b n 2 4 6 2 n 当 n 1 时,左边 =3 ,右边 = 2 ,由于3 2 ,所以不等式成立 . 2 2 假设当 n k 时不等式成立 ,即 b 1 1b 2 1b k 1 3 5 7 2 k 1k 1 成立 .就b 1 b 2 b k 2 4 6 2 k当 n k 1 时,左边 = b 1 1b 2 1b k 1 b k 1 1 3 5 7 2 k 1 2 k 3b 1 b 2 b k b k 1 2 4 6 2 k 2 k 22 2k 1 2 k 3 2 k 3 4 k 1 4 k 1 1 k 1 1

13、 1 k 1 12 k 2 4 k 1 4 k 1 4 k 1所以当 n k 1 时,不等式也成立 .由、可得不等式恒成立 . 【命题立意】 :此题主要考查了等比数列的定义 ,通项公式 ,以及已知 S 求 a 的基此题型 , 并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题 ,以及放缩法证明不等式 . 练习: 1、 试证明：不论正数a、b、c 是等差数列仍是等比数列,n+cn2bn. *且 a、b、c 互不相等时,均有：a当 n 1,nN分析：该命题意图：此题主要考查数学归纳法证明不等式,考查的学问包括等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤 . 技巧与方法：此题中使用到结论：a k+1

14、+ck+1a kc+cka. akckac0 恒成立 a、b、c 为正数 ,从而2. 证明： 1设 a、b、c 为等比数列, a=b qn,c=bq 0 且 q 1* a n+cn=bn+bnqn=bn1 nq+qn2bqnancn a2c nn 2且 nN2设 a、b、c 为等差数列,就2b=a+c 猜想2下面用数学归纳法证明：2 2当 n=2 时,由 2a 2+c 2a+c 2,a c a c 22 2k k设 n=k 时成立,即 a c a c , k2 2k 1 k 1就当 n=k+1 时,a c 1a k+1+c k+1+a k+1+c k+1 1 a k+1+c k+1+a kc+

15、c ka= 12 4 4 4a k+c ka+c a c k a c= a c k+12 2 2依据、可知不等式对 n1,nN *都成立1 1 1 133、 如 n 为大于 1 的自然数,求证：n 1 n 2 2 n 24 . 1 1 7 13证明： 1当 n=2 时,2 1 2 2 12 241 1 1 132假设当 n=k 时成立,即k 1 k 2 2 k 24就当 n k 1 时 , 1 1 1 1 1 1 1k 2 k 3 2 k 2 k 1 2 k 2 k 1 k 113 1 1 1 13 1 124 2 k 1 2 k 2 k 1 24 2 k 1 2 k 213 1 1324 2

16、 2 k 1 k 1 241 1 1 13所以：对于 nN *,且 n1 时,有 n 1 n 2 2 n 244、（05 年辽宁卷 .19 本小题满分 12 分）已知函数 f x x 3 x 1 设数列 a n 满意 a 1 1, a n 1 f a n , b n 满意x 1*b n | a n 3 |, S n b 1 b 2 b n n N n（）用数学归纳法证明 b n 3n 1 1；（）证明 S n 2 3.2 3分析： 本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本学问,考查运用数学归纳法解决有关问题的才能（）证明：当x0 时,fx1x21.由于 a1=1, 所以a n1 nN*.1下

17、面用数学归纳法证明不等式b n31 n2n1（ 1）当 n=1 时, b1=31,不等式成立,|3k1 k.31b k321 k1.（ 2）假设当 n=k 时,不等式成立,即b k21那么bk1|ak13|31 |ak31akk2所以,当 n=k+1 时,不等也成立；依据（ 1）和（ 2）,可知不等式对任意 nN*都成立；n 3 1 b n n 1 .（）证明：由（ ）知,22 n 3 1 3 1S n b 1 b 2 b n 3 1 n 1所以 2 21 3 1 n 3 1 2 3 1 1 23 .1 3 11 3 1 32 22n N , S n 3 .故对任意 3）5、（05 年湖北卷

18、.理 22.本小题满分 14 分）已知不等式 1 1 1 1 log 2 n , 其中 n 为大于 2 的整数,log 2 n 表示不超过2 3 n 2log 2 n 的最大整数 . 设数列 a n 的各项为正,且满意 a 1 b b 0 , a n na n 1 , n ,2 ,3 ,4n a n 12 b（）证明 a n , n 3 4, 5, ,2 b log 2 n （）推测数列 a n 是否有极限？假如有,写出极限的值（不必证明）；分析： 本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想 . n 2 时 , 0 a n na n 1, 1 n a n 1 1 1,（）证法

19、 1：当 n a n 1 a n na n 1 a n 1 n1 1 1,即 a n a n 1 n1 1 1 , 1 1 1 , , 1 1 1 .于是有 a 2 a 1 2 a 3 a 2 3 a n a n 1 n全部不等式两边相加可得11111.2 b2n.b.a na 123n由已知不等式知,当n3 时有,111log2n .ana12a 1b,111log2n2b log2n.an2b2banb2log证法 2：设fn 111,第一利用数学归纳法证不等式23n1b3 a n1bn b,n3 ,45, ,.f（i ）当 n=3 时,由a 33 a2313313a 232a 1fa22

20、 a 1知不等式成立 . （ii ）假设当 n=k（k3）时,不等式成立,即a k1 bb,.fkb就ak1k1a kkk11 k1 k1k k1ak1 1f11 b,akbbk1bbk1 k1f k bb1fkk1 b11fk即当 n=k+1 时,不等式也成立. 2n,n3 4,5,由（ i ）、（ii ）知,an1bn b,n3 ,45, ,.f又由已知不等式得a n11b2n b22bb loglog2（）有极限,且lim nan0.（）22b2n2n,令2n 1,b loglog2log251就有 log 2 n log 2 n 10 , n 2 101024 , 故取 N=1024,

21、可使当 nN时,都有 a n5 .6、 解 ：（ 1 ） 设 直 线 nl：y k n x 1 ,联立 x 2 2 nx y 2 0 得2 2 2 21 k n x 2 k n 2 n x k n 0,就 2 k n 22 n 24 1 k n 2 k n 20,kn n（n 舍去）2n 1 2n 1x n 21 k n 2k n 2 n n 21 2, 即 xnn n1, y n k n x n 1 nn 2 n1 1（ 2） 证 明 ： 1 x n 1n n1 11 x n 1 n 2 n 1n 11 3 2 n 1 1 3 2 n 1 1x 1 x 3 x 5 x 2 n 12 4 2

22、n 3 5 2 n 1 2 n 1x 1 x 3 x 5 x 2 n 1 1 x n1 x n由于 x n 1 1 x n,可令函数 f x x 2 sin x,就 f x 1 2 cos x,y n 2 n 1 1 x n令 f x 0,得 cosx 2,给定区间 0 , ,就有 f x 0,2 4就函数 f x 在 0 , 上单调递减,f x f 0 0,即 x 2 sin x 在 0 , 恒成立,4 4又 0 1 1,就有 12 sin 1,即 1 x n2 sin x n.2 n 1 3 4 2 n 1 2 n 1 1 x n y n7、 已知数列 b n是等差数列, b1=1,b1+b2+ +b10=145. 1求数列 b n 的通项公式 bn; 2设数