高二数学教案第2章平面向量的数量积

1、课 题： 2.4.1 平面对量数量积的物理背景及其含义教学目的：1 把握平面对量的数量积及其几何意义；2 把握平面对量数量积的重要性质及运算律；3 明白用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4 把握向量垂直的条件 教学重点： 平面对量的数量积定义 教学难点： 平面对量数量积的定义及运算律的懂得和平面对量数量积的应用 授课类型： 新授课 课时支配： 1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析 ：本节学习的关键是启示同学懂得平面对量数量积的定义,懂得定义之后便可引导同学 推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深同学对于平面对量数量积的熟悉 主要学问 点：平面对量数量积的定义及

2、几何意义；平面对量数量积的 5 个重要性质； 平面对量数量积 的运算律 教学过程 ：一、复习引入：1平面对量的坐标运算如 a r x 1 , y 1 ,b rx 2,y 2,就 a rr bx 1x2,y1y2r, ar bx1x2,y1y2,r ax ,yy 1如A x 1y 1,Bx2y2,就uuur ABx 2x y 1 22 a bbr 0的充要条件是x1y2-x2y1=0二、讲解新课：r 1力做的功： W = | F| | srr | cos , 是 F与 sr的夹角2两个非零向量夹角的概念uuur 已知非零向量 a 与 b ,作 OAuuur a, OB b ,就 （ ）叫 a 与

3、b的夹角说明：（1）当 时, a 与 b 同向；（2）当 时, a 与 b 反向；（3）当 时, a 与 b 垂直,记 a b ；2（4）留意在两向量的夹角定义,两向量必需是同起点的范畴 0 180C 2平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与 b ,它们的夹角是 ,就数量| a | b | cos 叫 a与b的数量积,记作a b ,即有 a b= | a | b | cos ,r（ ） 并规定 0与任何向量的数量积为0探究： 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区分（1）两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos 的符号所打算（2）两个向量的数量积称为内积,写成 a b ；

4、今后要学到两个向量的外积 a b ,而 a b是两个向量的数量的积,书写时要严格区分 符号“ ” 在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“ ” 代替r（3）在实数中,如 a 0,且 a b=0,就 b=0；但是在数量积中,如 a 0,且 a b =0,不能r推出 b =0 由于其中 cos 有可能为 0（4）已知实数 a、b、cb 0,就 ab=bc a=c但是 a b = b cr a = cr如右图： a b = | a | b | cos = | b |OA| , b cr = | b | cr | cos = | b |OA| a b = b cr 但 a cr5在实数中,有 a

5、ac = aa c,但是 a b cr a b cr 明显,这是由于左端是与 cr 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 cr不共线3“ 投影” 的概念：作图定义： | b | cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影投影也是一个数量,不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0 时投影为| b | ；当 = 180 时投影为| b |4数量积的几何意义：数量积 a b等于a的长度与b在a方向上投影 |b | cros 的乘积5探究： 设 a、 b 为两个非零向量1aba b= 0 = | a | b | ；当 a与b反向时,a b=

6、 | a| b |2 当 a与b同向时,a b特殊的 a a = | a |2 或|a r|a a r r3| a b | | a | b | 6.平面对量数量积的运算律1交换律： a b = b a证：设 a , b 夹角为,就 a b = | a | b |cos , b a = | b | a |cos a b = b a2数乘结合律： a b = a b = a b 证：如 0, a b = | a | b |cos, a b = | a | b |cos, a b = | a | b |cos ,如 0, a b =| a | b |cos = | a | b | cos = | a

7、 | b |cos,a b = | a | b |cos,a b =| a | b |cos = | a | b | cos = | a | b |cos3安排律： a + b cr = a cr + b cr在平面内取一点 O,作 OA = a , AB = b, OC =cr , a + b（即 OB ）在 cr 方向上的投影等于 a 、 b 在 cr方向上的投影和,即 | a + b | cos = | a | cos 1 + | b | cos 2| cr | | a + b | cos =| cr | | a | cos 1 + | cr | | b | cos 2 cr a + b

8、 = cr a + cr b 即： a + b cr = a cr + b cr说明：（1）一般地, a b cr a（ b cr）cr b r d（2） a cr b cr, cr 0 ra b（3）有如下常用性质：a a ,（ a b ）（ cr d r） a cr a r d b a b a a b b三、讲解范例：例 1 已知 | a|=5 ,| b|=4 ,a 与 b 的夹角 =120 ,求 ab. 解： ab = |a| |b |cos = 5 4 cos120 =5 4 （-1/2）= -10 例 2 已知 a , b ,当 a b , a b , a 与 b 的夹角是 60 时

9、,分别求 a b解：当 a b 时,如 a 与 b 同向,就它们的夹角 , a b a b cos0 3 6 118；如 a 与 b 反向,就它们的夹角 180 , a b a b cos180 3 6 （ -1 ） 18；当 a b 时,它们的夹角 90 , a b ；当 a 与 b 的夹角是 60 时,有ab a b cos60 3 61 9 2例 3 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和uuur 解：如图： Y ABCD中, ABuuur DCuuur, ADuuur BCuuur, ACuuur = ABuuur AD|uuur AD2 |uuur| AC|2=|uuur ABuuur AD2 |uuur AB2uuur AD2uuur uuur 2 AB AD2 |uuur 而 BDuuur = ABuuur ADuuur AD2uuur uuur 2 AB AD|uuur DCuuur| BD|2=|uuur ABuuur AD2 |uuur AB2uuu