平稳过程重修班

1、平稳过程重修班第1页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三11.1 平稳过程的概念 11.1.1严平稳随机过程及其数字特征 11.1.2 宽平稳随机过程第2页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三11.1 平稳过程的概念 在实际中, 有相当多的随机过程, 不仅它现在的状态, 而且它过去的状态, 都对未来状态的发生有着很强的影响.如果过程的统计特性不随时间的推移而变化, 则称之为平稳随机过程.用数学语言描述即为：11.1 .1 严平稳过程及其数字特征第3页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三11.1.1 严平稳过程的概念及数字特征第4页，共71页，20

2、22年，5月20日，7点3分，星期三 严平稳的含义：过程的统计特性与所选取的时间起点无关。换句话说，整个过程的统计特征不随时间的推移而变化。平稳过程的参数集T, 一般为:第5页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三下面来考虑严平稳过程的数字特征即均值函数，均方值函数和方差函数为常数。 第6页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三于是 下面考虑平稳过程的自相关函数和自协方差函数第7页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三 严平稳过程的自相关函数及协方差函数只依赖于参数间距 而与起点无关。协方差函数可以表示为 第8页，共71页，2022年，5月20日，7点

3、3分，星期三 平稳过程数字特征的特点:(即不随时间的推移而变化)。(3)协方差函数可以表示为 第9页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三仅依赖，而与t 无关；11.1.2 宽平稳随机过程第10页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三例11.1 设Xn,n=0,1, 2, 是实的互不相关的随机变量序列，且E(Xn)=0,D(Xn)=2.讨论随机序列的平稳性。解由于E(Xn)=0,D(Xn )=2，而相关函数其中为整数，随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关，因此它是平稳过程。第11页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三证明 由于其密度函数为：（常数）

4、第12页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三第13页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三例11.3解X(t) 的均值函数为 第14页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三而自相关函数第15页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三 因为RX()仅与 有关，所以随机相位周期过程是平稳的。 特别, 随机相位正弦波是平稳的。第16页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三 假设 X(t) 和Y(t)是平稳相关过程,RX(),RY()和RXY()分别是它们的自相关函数和互相关函数。 即平稳过程的均方值可以由自相关函数，令 0得到，后

5、面我们将指出RX(0)代表了平稳过程的“平均功率”。自相关函数的性质11.2 平稳过程相关函数的性质第17页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三这是因为相关函数具有对称性。 依据这个性质，在实际问题中只需计算或测量RX(),RY()，RXY()和RYX() 在 0 的值。 注意 互相关函数既不是奇函数, 也不是偶函数,但满足 第18页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三性质3 关于自相关函数和自协方差函数有不等式 对于平稳过程X(t)，有代入上述不等式得：第19页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三 类似的, 可推得以下有关互相关函数和互协方差函

6、数的不等式或对协方差函数，不难得到相同的结论：第20页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三性质4 设平稳过程X(t)，若当|时，过程的状态X(t)与X(t)相互独立，则有： 这是因为：从物理意义上说，当 增大时X(t)与X(t +)之间相关性会减弱，在 | 的极限情况下，两者相互独立。第21页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三 这一性质很有趣，对于平稳过程的相关函数RX() ，只要知道在 0处连续，就可以得出对任意 处都连续，这对于一般连续函数是不具备这样的性质的。第22页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三解 由性质6得：例11.4 已知平稳

7、过程X(t)，当 的绝对值充分大时，过程的状态X(t)与X(t+) 相互独立，其相关函数为：求X(t)的均值。第23页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三证明 利用契比雪夫不等式有例11.5对于平稳过程X(t)，有第24页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三11.3 各态历经性 11.3.1 时间平均的概念11.3.2 平稳过程各态历经的定义11.3.3 平稳过程各态历经性的条件第25页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三11.3.1 时间平均的概念1、 积分 说明对于随机过程的所有样本函数来说, a, b上的积分未必全都存在。第26页，共71页

8、，2022年，5月20日，7点3分，星期三 在某些情形下，对于随机过程的所有样本函数来说，在 a,b 上的积分未必全都存在，此时可引入所谓均方意义下的积分，即考虑 a,b 内的一组分点： 我们就称 Y 为a, b上的均方积分。2、均方积分第27页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三自相关函数的二重积分第28页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三3、 时间均值和时间相关函数第29页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三例11.6 解第30页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三第31页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三

9、结论 对于随机相位正弦波, 用时间平均和集平均（均值函数）分别算得的均值和自相关函数是相等的。这一特性并不是随机相位正弦波所独有的。第32页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三11.3.2 各态历经性的概念 第33页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三例11.7 设平稳过程 X(t)=Y，其中 Y是随机变量，D(Y)0 研究它的各态历经性。解 E(X(t)=E(Y)=常数于是不是常数所以均值不具有各态历经性。第34页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三证明（常数）第35页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三第36页，共71页，20

10、22年，5月20日，7点3分，星期三第37页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三11.3.3 各态历经性的条件定理11.3 (均值各态历经定理 )第38页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三推论第39页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三定理11.2 (自相关函数各态历经定理 )说明第40页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三定理11.3以概率 1 成立的充要条件是定理11.4以概率1成立的充要条件是第41页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三各态历经定理的重要价值 从理论上给出了如下保证: 一个平稳过程X(t),

11、 只要它满足定理11.3和定理11.4, 便可以根据“以概率1成立”的含义, 从一次试验所得到的样本函数x(t)来确定出该过程的均值和自相关函数,即和 说明1第42页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三说明2如果试验记录x(t)只在时间区间0,T给出,则有下以无偏估计式 在实际中一般不可能给出x(t)表达式, 因而通常通过模拟方法或数字方法来测量或计算估计式的值。第43页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三11.4 平稳随机过程的功率谱密度11.4.1 平稳过程的功率谱密度概念 11.4.2 功率谱密度的性质 11.4.3 白噪声过程 第44页，共71页，202

12、2年，5月20日，7点3分，星期三11.4 功率谱密度的概念11.4.1 确定性信号函数的功率谱密度同时有傅立叶逆变换第45页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三一般是复数量, 其共轭函数x(t)的傅立叶变换等式:称为x(t)的能量谱密度帕塞伐等式又可理解为总能量的谱表示式。第46页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三11.4.2 随机信号过程的功率谱密度第47页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三 11.4.3 平稳随机过程X(t)的平均功率与功率谱密度第48页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三 它是从频率这个角度描述X(t)

13、的统计规律的最主要的数字特征。第49页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三 交换积分与均值的运算次序，注意到平稳过程的均方值函数是常数，于是称为平稳过程X(t)的平均功率的谱表示式。第50页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三 4、平稳随机过程X(t) 功率谱密度的性质(2)SX()和自相关函数RX() 是一傅立叶变换对。维纳辛钦公式第51页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三1234567自相关函数与谱密度对应表第52页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三解 00第53页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三解 由

14、前面例可知，此随机过程是平稳过程，且相关函数为： 于是得X(t)的平均功率为：第54页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三例11.11解 由公式知自相关函数 利用留数定理, 可算得 第55页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三均方值为第56页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三11.4.3 白噪声定义11.4 均X (t)值为零,而谱密度SX ()为正常数, 即 的平稳过程X(t) 称为白噪声过程, 简称白噪声。其名出于白光具有均匀光谱的缘故。下面讨论 白噪声的自相关函数，为此需要定义-函数第57页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星

15、期三 具有下列性质的函数称为 函数 函数有一个非常重要的运算性质，即对任何连续函数f(x) , 有：筛选性所以 函数的傅立叶变换为：第58页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三 由傅立叶反变换，可得 函数的傅立叶积分表达式为：或这说明() 函数与1构成一傅立叶变换对。0110第59页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三说明1与2 () 构成一傅立叶变换对。即100同理可得：或相应地有：第60页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三解 由于1与2 () 构成一傅立叶变换对。第61页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三00第62页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三解 第63页，共71页，2022年，5月20日，7点3分，星期三 这说明，当自相关函数为常数或正弦型函数的平稳过程，其谱密度都是离散的。第64页，共71页，2022年，5月2