湖南省长沙市白霞中学2021-2022学年高一数学理联考试题含解析

1、湖南省长沙市白霞中学2021-2022学年高一数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过点(1,2)且在坐标轴上截距相等的直线有 ( )A. 2条 B. 1条 C.3条 D.4条参考答案：A略2. 给出如下四个函数：；，b，c为常数；其中最小正周期一定为的函数个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：B【分析】将表达式化简，周期.【详解】周期为周期为；对，当时，易知不恒成立，周期为；因此仅有满足故选：B【点睛】此题考查三角函数的化简，熟记和差公式和两个基本公式即可，另外求最小正周期的前提是函数

2、是周期函数，属于较易题目。3. （5分）向量=（1，2），=（1，1），且与a+的夹角为锐角，则实数满足（）ABC且0D且5参考答案：C考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：由题意可得?（a+）=1+2（2+）0，解不等式去掉向量同向的情形即可解答：=（1，2），=（1，1），a+=（1+，2+），与a+的夹角为锐角，?（a+）=1+2（2+）0，解得，但当=0时，与a+的夹角为0，不是锐角，应舍去，故选：C点评：本题考查数量积表示两向量的夹角，去掉同向是夹角问题的关键，属基础题4. 若两直线互相平行,则常数m等于（ ）A.2 B.4 C.2或4 D.0参考答案：A5. 已

3、知集合Ax|0 x4，集合By|0y2，按照下列关系能构成集合A到集合B的映射的是()Af：xyx，xA Bf：xyx，xACf：xyx，xA Df：xyx，xA参考答案：B略6. 已知函数，则下列区间是递减区间的是( )A. B. C. D. 参考答案：C7. 直线的倾斜角的大小为（ ）A. 30B. 60C. 120D. 150参考答案：B由直线方程可知直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以，故选B8. 函数的图像为M，则下列结论中正确的是（ ）A图像M关于直线对称 B由的图像向左平移得到MC. 图像M关于点对称 D在区间上递增参考答案：C由的图像向左平移得到,f(x)在区间上有增有减

4、，图像M关于点对称.9. 下列四个命题中，正确的是 ( )A.第一象限的角必是锐角 B锐角必是第一象限的角C终边相同的角必相等 D第二象限的角必大于第一象限的角参考答案：B10. 若A=0，1，2，3，B=x|x=3a，aA，则AB=（）A1，2B1，0C0，3D3参考答案：C【考点】交集及其运算【分析】先求出集合B，再根据交集的运算求AB【解答】解；B=x|x=3a，aA=0，3，6，9故AB=0，3故选C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，点是线段上的点，且，则点的坐标是 参考答案：D12. 有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k+1，其中k=0

5、，1，2，19从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10）不小于14”为A，则P（A）=参考答案：【考点】C7：等可能事件的概率；D9：排列、组合及简单计数问题【分析】求任取一卡片，该卡片上两个数的各位数字之和不小于14的概率，可以求其反面任取一张其各位数字之和小于14的概率，分为2情况求得后，用1减去它即可得到答案【解答】解：卡片如图所示共20张任取一张“其各位数字之和小于14”的分两种情况：两个1位数从到共有7种选法；有两位数的卡片从和共8种选法，故得P（A）=1=1=故答案为13. 已知函

6、数,对任意的,方程有两个不同的实数根,则m的取值范围为 参考答案：(2,614. 已知变量满足则的最大值为_。参考答案：1215. 已知数列是等差数列,且,则 .参考答案：16. 设a1，若仅有一个常数c使得对于任意的xa,2a，都有ya，a2满足方程logaxlogayc，这时a的取值的集合为_参考答案：217. 一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是_参考答案：答案：4三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24

7、小时平均浓度不得超过75微克/立方米我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）频率第一组（0，2530.15第二组（25，50120.6第三组（50，7530.15第四组（75，10020.1（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图求图中a的值；求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2

8、.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由参考答案：【考点】B8：频率分布直方图【分析】（1）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2，求出基本事件总数，符合条件的基本事件总数，即可求得概率；（2）由第四组的频率为：0.1得：25a=0.1，解得a值；利用组中值频数，可得去年该居民区PM2.5年平均浓度，进而可判断该居民区的环境是否需要改进【解答】解：（1）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，

9、100）内的两天记为B1，B2所以5天任取2天的情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10种 其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种 所以所求的概率P= （2）由第四组的频率为：0.1得：25a=0.1，解得：a=0.004去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.50.15+37.50.6+62.50.15+87.50.1=42.5（微克/立方米）因为42.535，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进 19. （本小题满分13分）如图，正方形

10、的边长为1，正方形所在平面与平面互相垂直，是的中点（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积参考答案：(1)证明： G、H分别是DF、FC的中点，中，GHCD . .1分CD平面CDE， . .2分GH平面CDE . .3分(2) 证明：平面ADEF平面ABCD，交线为AD . .4分 EDAD，AD平面ABCD . .5分 ED平面ABCD . .6分BC平面ABCD . .7分 EDBC . .8分 又BCCD，CD、DE相交于D点， . .9分 BC平面CDE. . .10分（3）解：依题意: 点G到平面ABCD的距离等于点F到平面ABCD的一半, .11分 即: . . .

11、12分. . . 13分20. (本题15分) 如图所示，在三棱柱中，平面，（1） 画出该三棱柱的三视图，并标明尺寸；（2） 求三棱锥的体积；（3） 若是棱的中点，则当点在棱何处时，DE平面？并证明你的结论。 参考答案：（1）证明：正方体ABCD-A1B1C1D1中因为ACBD,ACDD1，且BDDD1所以AC平面BDD1B1又BD1平面BDD1B1所以ACBD1，同理可证AB1BD1,又因为AC与AB1是平面ACB1内的两条相交直线，所以BD1平面ACB1（2）解：因为BD1 与平面ACB1交于点H，所以由（1）知BH平面ACB1又,所以又正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，所以，BB

12、1=1所以BH=。略21. 设二次函数f（x）=x2+ax+b（a、bR）（1）当b=+1时，求函数f（x）在上的最小值g（a）的表达式（2）若方程f（x）=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得|f（k）|参考答案：【考点】二次函数的性质【专题】分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用【分析】（1）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；（2）设mx1x2m+1，m为整数分类讨论k的存在性，综合讨论结果，可得答案【解答】解：（1）当b=+1时，f（x）=（x+）2+1，对称轴为x=，当a2时，函数f（x）在上递减，则g

13、（a）=f（1）=+a+2；当2a2时，即有11，则g（a）=f（）=1；当a2时，函数f（x）在上递增，则g（a）=f（1）=a+2综上可得，g（a）=（2）设mx1x2m+1，m为整数则=a24b0，即b，当（m，m+，即1a+2m0时，f（m）=m2+am+bm2+am+=（m+）2；当（m+，m+1），即2a+2m1时，f（m+1）=（m+1）2+a（m+1）+b（m+2）2+a（m+1）+=（m+1+）2；综上，存在整数k，使得|f（k）|【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分类讨论思想，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键22. 对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.() 判断函数是否为 “()型函数”，并说明理由；() 若函数是“()型函数”,求出满足条件的一组实数对；()已知函数是“()型函数”,对应的实数对为.当 时,若当时,都有,试求的取值范围.参考答案：解：