电磁场的数学物理基础知识

1、电磁场的数学物理基础知识电磁场的数学物理基础知识电磁场的数学物理基础知识第一章电磁场的数学、物理基础知识1-1 电磁场及矢量代数 1-2 正交曲面坐标系 1-3 标量场及其梯度 1-4 矢量场的通量、散度与高斯散度定理 1-5 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 1-6 亥姆赫兹定理 1-7 电磁场麦克斯韦方程组 1-8 矢量场惟一性定理 2021/4/131-1 电磁场及矢量代数1.1.1矢量及其表示方法1.1.2矢量相加(叠加) 1.1.3矢量的乘积运算2021/4/131-1 电磁场及矢量代数 场的概念: 场是一个以空间位置(x,y,z)和时间(t)为自变量的函数。标量场矢量场稳恒场均匀场

2、描绘场的函数为标量函数= (x,y,z,t)描绘场的函数为矢量函数A=A(x,y,z,t )不随时间变化的场 (x,y,z), A(x,y,z )不随空间变化的场 (t) , A(t )只有大小而没有方向的量。如电压、电荷量、电流、面积等在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等。具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量。磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等。2021/4/131.1.1 矢量及其表示方法 矢量的定义及表示：几何表

3、示：有向线段代数表示：基于坐标系的参数表示 矢量的代数运算(四则运算)：几何方法及其意义代数方法及其运算规则(与坐标系相关)2021/4/131.1.1 矢量及其表示方法矢量：表示既有大小也有方向的量，如 或 标量：只有大小的量，如 矢量几何图示如右：矢量代数：矢量间的四则运算，即加减法、乘法。2021/4/131.1.1 矢量及其表示方法一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。 ， zxyAO单位矢量模等于1的矢量叫做单位矢量。（1.1.1）矢量表示法在三维空间中，矢量可表示为一根有方向的线段。该线段的长度 代表该矢量的模，该线段的方向 代表该矢量的方向。2021/4/13在直角坐标系中矢

4、量的表示例如：2021/4/13一个矢量经平移后所得到的新矢量及原矢量相等。在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分量。负矢量及原矢量大小相等，方向相反的矢量。2021/4/131.1.2 矢量相加(几何表示 )， 图1-1两矢量相加ABA+BABA+B( a ) 平行四边形法则 ( b ) 首尾相接法则 两矢量A和B相加定义为一个新矢量A+B 图1-2 两矢量相减- BBAA-B交换律 A+B = B+A结合律 ABC=A(BC)=(AB) CA和B相减为新矢量A B 2021/4/131.1.2 矢量相加(代数表示)， 直角坐标系中的矢量及运算AxAyAzAyzx图 1-3 直角坐标

5、中的A及其各分矢量若则2021/4/131.1.2 矢量相加(代数表示)矢量加法满足交换律和结合律，矢量减法不满足交换律。矢量乘法图1-4 f 与A 相乘A A( 0) A( 0) 标量与矢量A的乘积用A表示，它是A的倍。 若则2021/4/13两个矢量的标量积（点积）定义为这两个矢量的模以及这两个矢量 之间夹角的余弦三者的乘积。两个矢量的矢量积（叉积）的模等于这两个矢量的模以及这两个矢量之间夹角的正弦三者的乘积，而方向垂直于两矢量所构成的平面，其指向按“右手法则”来确定。（1.1.26）1.1.3矢量的乘积运算2021/4/131.1.3矢量的乘积运算 AB=ABcosAB=BA(A+B)C

6、=AC+BC(A B) =(A) B= A(B)若A B，则AB=0(5)A自身的点积，即 =0，AA=A21.矢量的标量积 dot product/scalar product Acos2021/4/13例如， 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： exey=eyez= exez=0exex=eyey=ezez=1 直角坐标系中的点积运算 由单位矢量的正交性得2021/4/132.矢量的矢量积 cross product C= AB=ABsinec ec为垂直于A、B平面的单位矢量，A、B、C服从右手螺旋法则。 (a) 矢量积的图示； (b) 右手螺旋2021/4/13 矢量积又称为叉积(C

7、ross Product)，如果两个不为零的矢量的叉积等于零， 则这两个矢量必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。 矢量的叉积不服从交换律， 但服从分配律， 即AB=-BA A(B+C)=AB+AC A、B相平行（ = 0或180)时，AB=0，反之亦然；A自身的叉积为零，AA=0。 2021/4/13 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： exey=ez eyez=ex, ezex=ey exex=eyey=ezez= 0 在直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为 =ex(AyBz-AzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez(AxBy-AyBx)2021/4/132.矢量的

8、矢量积 cross product ABBA AB = BA C (A+B)=C A +C B (AB) =(A)B= A(B) 若A/B，则AB=02021/4/13标量积满足交换律和分配律，矢量积只满足分配律。若两个矢量垂直，即它们之间的夹角为90o，则它们的标量积等于零，而矢量积最大，等于这两个矢量的模的乘积；若两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。反过来说也是对的。若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂直；若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。2021/4/13 3.矢量的混合积转换性 C ( AB ) =

9、 A ( BC ) = B ( CA ) C ( AB)=|C| |AB|cos三个矢量共面的条件 C ( AB ) =0 Cx Cy Cz C ( AB ) = Ax Ay Az Bx By Bz坐标表示式2021/4/13（1）矢量混合积的几何意义：关于混合积的说明：2021/4/13bc a baS=|a b|hc2021/4/13hac a bb其混合积 (abc) = 0三矢 a, b, c共面因此，2021/4/13定理1三个不共面的矢量的混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积, 并且当构成右手系时混合积为正数;当构成左手系时混合积为负数, 也就是有定理2证明:先证明必要性 “

10、”，即已知三个矢量共面，求证因为，所以2021/4/13证毕.再证明充分性 “”，即已知求证:三个矢量共面.由及定义,得即而又所以, 矢量垂直,首先,若即结论显然成立.以下设所以证毕.2021/4/13定理3证明:三个矢量共面时,结论显然成立. 以下设它们不共面. 的绝对值都等于以为棱的平行六面体的体积,即它们的绝对值相等.又因为具有相同的左右手系,(因为轮换不改变左右手系)即它们的符号也相同. 证毕.只证明第一组. 第二组可以类似考虑.2021/4/13推论1例1设三向量满足证明:由两边及所以,2021/4/13矢量混合积在直角坐标系下的分量表示设直角坐标系定理4证明:2021/4/13所以

11、,推论2三个矢量共面的充要条件为2021/4/13例2.已知四面体ABCD的顶点坐标A(0, 0, 0), B(6, 0, 6),C(4, 3, 0), D(2, -1, 3), 求它的体积.ABCD解:它的体积等于以为棱的平行六面体体积的六分之一所以2021/4/13解2021/4/13式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.2021/4/13解例42021/4/13例5求矢量对的分解式.(也即将表示成的线性组合)解:所以可设上式两边同时点乘得则得同理可以得到2021/4/13向量的数量积向量的向量积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）小

12、结2021/4/13例6证明:证毕.2021/4/13 4.矢量的三重积 A (BC） A(BC） （AB）C 不满足结合律 A(BC）=（ AC) B ( AB) C 2021/4/13 矢量代数运算式均为矢量垂直于所在平面并及 成右手螺旋关系。2021/4/13矢量代数运算式2021/4/13位置矢量及距离矢量位置矢量由坐标原点出发引向空间某一点的有方向线段，称为该点的位置矢量或矢径。设P点的坐标为 ，则 其模设P点的坐标为 ，则 其模图 位置矢量及相对位置矢量2021/4/13相对位置矢量及模其中，P 点的位置矢量为图 位置矢量与相对位置矢量r P (x,y,z)RrP (x,y,z)R

13、oyzx习题1-72021/4/13 标量体元 矢量面元 矢量线元矢量积分运算矢量线积分矢量面积分标量体积分2021/4/131-2 正交曲面坐标系矢量线元 把长度元及坐标元之比定义为拉梅(Lame)系数 2021/4/13 直角坐标系 2021/4/13 直角坐标系 2021/4/132021/4/13 圆柱坐标系空间任一点P的位置可以用圆柱坐标系中的三个变量(, , z)来表示， 如下图示。 其中，是位置矢量OP在xy面上的投影， 是从+x轴到位置矢量OP在xy面上的投影之间的夹角，z是OP在z轴上的投影。由图可以看出，圆柱坐标及直角坐标之间的关系为x=cos y=sinz=z 如同直角坐

14、标系一样， 圆柱坐标系也具有三个相互垂直的坐标面， 2021/4/13圆柱坐标系一点的投影 圆柱坐标系三个互相垂直的坐标2021/4/13 圆柱坐标系2021/4/13 圆柱坐标系2021/4/13 圆柱坐标系2021/4/132021/4/13 2021/4/13 球坐标系在球坐标系中， 空间一点P 唯一地用三个坐标变量(r,)来表示，如图示.位置矢量r又称为矢径(Radius Vector)， r是其大小，是位置矢量r及z轴的夹角，是从+x轴到位置矢量r在xy面上的投影OM之间的夹角。球坐标及直角坐标之间的关系为 x=rsincos y=rsinsin z=rcos 同样， 球坐标也有三个

15、坐标面坐标面 表示一个半径为r的球面， r的变化范围为0 r 。 2021/4/13坐标面=常数 表示一个以原点为顶点、z轴为轴线的圆锥面，的变化范围0。坐标面表示一个以z轴为界的半平面，的变化范围为 0 0 (有正源) h1。2021/4/13解：（1）由圆柱坐标散度式（1-28）可知2021/4/13解：（2）设圆柱侧面为S1，上下底面分别为S2、S3，由通量式（1-24）可知由于矢量F只有半径方向的分量，即矢量垂直于圆柱侧面S1，平行于上下底面S2、S3，因此上式中只有第一项存在，故其矢量积分可以简化为标量积分，即2021/4/13对面积的曲面积分的计算法设曲面 ：z = z (x, y

16、)(1)(2)(3)(4)z = z (x, y)单值，即及 z 轴平行的直线及的交点只有一个；z = z (x, y)在Dxy 上具有连续偏导数；f (x,y,z) 在光滑曲面上连续；则2021/4/13同理：2021/4/13例：zxy0h问题：1 能否投影到xoy面上? dS = ?解：把1 投影到yoz面上，则R12021/4/13zxy0h1R关于yoz面对称，被积函数是x的偶函数.2021/4/13zxy0h解：把1 投影到yoz面上，则R12021/4/13zxy0h1R2021/4/13散度的意义 在矢量场中，若 A= 0，称之为有源场， 称为 ( 通量 ) 源密度；若矢量场中

17、处处 A=0 ，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。 (无源） (正源) (负源)图0.3.3 通量的物理意义 2021/4/13上式称为散度定理, 也称为高斯公式。1 .4 .4 矢量场高斯散度定理 The divergence theorem既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量, 即 散度定理： 通量元密度 2021/4/131 .4 .4 矢量场高斯散度定理 The divergence theorem从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。

18、从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。散度定理的物理意义：矢量函数的面积分与体积分的相互转换。矢量场散度的体积分=该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量2021/4/13 1-5 矢量场的环量及旋度环量 矢量A沿某封闭曲线的线积分, 定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量), 记为 矢量场的环量是一个标量，用来描述一个矢量场的旋涡特性。大小和正负取决于矢量场的分布以及该闭合曲线积分的环绕方向。可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 A 的方向处处及线元 dl 的方向保

19、持一致，则环量 0；若处处相反，则 0 。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。图1.4.1 环流的计算2021/4/13水流沿平行于水管轴线方向流动，= 0，无涡旋运动。例：流速场流速场流体做涡旋运动， 0，有产生涡旋的源。2021/4/13矢量场的旋度(curl)引出：研究闭合曲线内每一点处的环流。 过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为L，面的法线方向及曲线绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限1. 环流密度环流密度环流密度是单位面积上的环量。2021/4/132.旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋度，则其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方

20、向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即式中 rot 是英文字母 rotation 的缩写，en 为S的法线方向，S 为闭合曲线 l 包围的面积。矢量场的旋度(curl)它及环量密度的关系为 S 的法线方向2021/4/13矢量的旋度：在矢量场A中，围绕P点做一闭合回路c，所围面积为S，其法线方向单位矢量为n；A的旋度是矢量，其大小为S0时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即 2021/4/13物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，及面元的取向无关。 计算公式 ：2021/4/13旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。某点旋度的大小是该点

21、环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。在矢量场中，若 A=J 0 称之为旋度场（或涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。若矢量场处处 A= 0 ，称之为无旋场。它描述A在该点处的旋涡源强度。2021/4/13旋度的展开式 P14广义正交曲面坐标系中旋度的展开式为直角坐标系中拉梅系数均为1，故2021/4/13矢量函数A在圆柱坐标系和球坐标系中的旋度表达式分别为2021/4/13一个标量函数的梯度是一个矢量函数，它描述了空间各点标量位的最大变化率及其方向；一个矢量函数的散度是一个标量函数，它描述了空间各点场矢量及通量源之间的关系；一个矢量函数的旋度是一个矢量函数，它描述了空间各点场矢量与

22、旋涡源之间的关系。只有当场函数具有连续的一阶偏导数时，梯度、散度、旋度的定义才是有意义的。在某些场量不连续的交界面上，就不可能定义梯度、散度和旋度。3、 梯度、散度、旋度的比较 ：2021/4/13 如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场）；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场）；在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对及其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律；在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别

23、只对x、y、z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。 3、 梯度、散度、旋度的比较 ：2021/4/131 .5 .3 斯托克斯定理 The Stokess theorem矢量函数的线积分与面积分的相互转化。斯托克斯定理下 页上 页 在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是两个非常重要的公式。返 回2021/4/13场的旋度和散度形象说明根据散度或旋度的定义式可知，它们都是在曲面或体积趋于零，即缩小到一点时定义的。矢量对一闭合曲面的通量（或所包围区域散度的体积分）等于零，并不能说该区域每点无源。 2021/4/13场的旋度和散度形象说明场的旋度和散度用水流来作

24、比较最形象，旋度就是考察水中是否存在漩涡，在电磁场中就是看电场线或磁感线是否闭合，磁感线是闭合的就是说它是有旋场，散度可以认为是看水在何处有源头何处有汇聚，在电磁场中就是看是否某处有发射场线或收回场线。2021/4/13 1-6 矢量场中的常用定理矢量场的分类梯度场、散度场和旋度场的关系定理矢量场的积分定理矢量场唯一性定理亥姆霍兹定理2021/4/131.6.1 矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：1) 调和场 若矢量场F在某区域V内，处处有：F=0和F=0 则在该区域V内，场F为调和场。 注意：工程实际中不存在在整个空间内旋度和散度处处均为零的矢量场。调和场，有源无旋场，无

25、源有旋场，有源有旋场2021/4/13 标量场的梯度为无旋场; 矢量场的旋度为无源(散)场; 无旋场必可表示为标量场的梯度； 如 ，则必存在某一标量场，使 得 。 无源场必可表示为另一矢量场的旋度； 如 ，则必存在某一矢量场 ，使 得 。1.6.2 梯度场、散度场和旋度场的关系定理2021/4/13 如果一个矢量场B为另一个矢量场 的旋度，即 ，则任意选择 的值，矢量场 的值不受影响。 这说明不论 是有源场，还是无源场，或 取任何值，对 的涡旋性皆无影响。即矢量场的散度和旋度是彼此独立的，不能相互代替。因此，对于一个矢量场只有同时研究它的散度和旋度才能准确的把握场的变化规律。 2021/4/1

26、3(1)高斯(散度)定理1.6.3 矢量场的积分定理此定理揭示了矢量场的“表里”关系。(2) 斯托克斯定理 此定理揭示了矢量场的“边面”关系。2021/4/13 设有矢量场 ，在以S为界面的区域V内，它的散度和旋度及其S面上的法向分量均已知, 1.6.4 矢量场唯一性定理 已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。2021/4/131.6.5 亥姆霍兹定理1) 场及源，源与散度、旋度 矢量场是由场源激发出来的,应把源看作是产生场的起因；矢量场的散度对应于一个激发通量的源；矢量场的旋度对应于一个激发涡旋量(环流量)的源。 进一步说,用场的散度 可唯一

27、确场中任一点的通量源密度，用场的旋度 可唯一确定场 中任一点的环量源密度。2021/4/13 假如在有限空间内,一个场矢量的散度和旋度处处已给定,边界条件也已确定,那么,这个矢量场就是给定的了.进而这个矢量场还可用无旋场,一个标量函数的梯度 ;无散场,一个矢量函数的旋度 之和来表示,即2) 定理2021/4/13说明: 无旋场 应存在如下关系: 无散场 应存在如下关系:2021/4/13 研究一个矢量场时一定要从散度和旋度两个方面进行。 既要导出矢量场散度应满足的关系，又要导出矢量场旋度应满足的关系，这种关系决定了场的基本性质,故又称为微分形式的基本方程。 也可用矢量沿闭合面的通量和矢量沿闭合路径的环流去研究，从而得到积分形式的基本方程。 3) 定理的意义2021/4/131-7 麦克斯韦方程组电荷守恒定律法拉弟电磁感应定律修正的安培环路定律电场高斯定律磁场高斯定律2021/4/131-7 麦克斯韦方程组电荷守恒定律法拉弟电磁感应定律修正的安培环路定律电场高斯定律磁场高斯定律积分形式微分形式