工程数学近世代数

1、工程数学近世代数第1页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三2代数结构部分第4章 知识准备第5章 群第6章 环和域第2页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三3第4章 知识准备二元运算定义及其实例 运算的表示 二元运算的性质交换律、结合律、消去律分配律 二元运算的特异元素单位元零元可逆元素及其逆元第3页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三4二元运算的定义及其实例定义 设 S 为集合,映射 f：SSS 称为 S 上的二 元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 例1 (1) N 上的加法、乘法. (2) Z 上：加法、减法、乘法. (3)

2、非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除法. (4) 设 S = a1, a2, , an, ai aj = ai ， 为 S 上二 元运算. 第4页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三5二元运算的实例（续） (5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n2) 实矩阵的集 合，即 矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：, . (7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算. 第5页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三6二元运算的表示算符：, , , , 等符号 表示二元运算 对二元运算 ，如果 x 与 y 运

3、算得到 z，记做 xy = z； 表示二元或一元运算的方法： 公式、 运算表第6页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三7公式表示 例2 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的二元运 算 ： x, yR, x y = x. 那么 3 4 = 3 0.5 (-3) = 0.5运算表（表示有穷集上的二元运算） 二元运算的表示（续）第7页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三8运算表的形式 a1 a2 an a1 a2 . . . ana1a1 a1a2 a1ana2a1 a2a2 a2an . . . . . . . . .ana1 ana2 anan 第8页，共68页

4、，2022年，5月20日，4点4分，星期三9运算表的实例（续）例3 Z5 = 0, 1, 2, 3, 4 , 模 5 加法的运算表 0 1 2 3 4 01234 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 4 0 1 2 3 第9页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三10二元运算的性质 定义 设 为 S 上的二元运算, (1) 如果对于任意的 x, y S 有 x y = y x, 则称运算在 S 上满足交换律. (2) 如果对于任意的 x, y, z S 有 (x y) z = x (y z), 则称运算在 S 上满足结合律.(3) 如果

5、对于任意的 x, y, zS， 若 x y = x z，则 y = z 若 y x = z x, 则 y = z 那么称 运算满足 消去律. 第10页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三11消去律实例: Z, Q, R 关于普通加法和乘法满足消去律.Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵乘法不满足消去律. Zn关于模 n 加法满足消去律，当 n 为素数时关于模 n乘法满足消去律. 当 n 为合数时关于模 n 乘法不满足消去律. 第11页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三12二元运算的性质（续） 定义 设 和 为 S 上两个不同的二元运算, 如果 x,

6、 y, zS 有 (x y) z = (x z) (y z) z (x y) = (z x) (z y) 则称 运算对 运算满足分配律. 第12页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三13实例分析 集合 运算分配律 Z,Q,R普通加法 + 与乘法 对 + 可分配+ 对 不分配 Mn(R)矩阵加法 + 与乘法 对 + 可分配+ 对 不分配Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R) 为 n 阶实矩阵集合, n2；第13页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三14二元运算的特异元素单位元定义 设为S上的二元运算, 如果存在eS，使得对任意 xS 都有 e x =

7、 x e = x，则称 e是 S 中关于 运算的 单位元. 单位元也叫做 幺元.定理 若 S 中关于运算存在单位元，则 单位元是唯一的.第14页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三15二元运算的特异元素（续）零元设 为 S 上的二元运算, 如果存在S，使得对任意 xS 都有 x =x = )，则称是S 中关于 运算的 零元. 定理 若 S 中关于运算存在零元，则 零元是唯一的.第15页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三16二元运算的特异元素（续）可逆元素及其逆元 令 e 为 S 中关于运算的单位元. 对于 xS，如果存在yS 使得 y x = x y= e，则

8、称 y是 x 的 逆元.如果 x 的逆元存在，则唯一，记为x-1 ,称 x 是可逆的.第16页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三17实例分析集合运算单位元零元逆元Z,Q,R普通加法+0无X 的逆元 x普通乘法10X 的逆元 x1(x-1属于给定集合)Mn(R)矩阵加法+n阶全0矩阵无X逆元X矩阵乘法 n阶单位 矩阵n阶全0矩阵X的逆元 X1（X是可逆矩阵）P(B)并B 的逆元为 交BB 的逆元为 B对称差无X 的逆元为 X第17页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三18例题分析解 (1) 运算可交换，可结合. 任取x, yQ, x y = x+y+2xy =

9、y+x+2yx = y x, 任取x, y, zQ, (x y) z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x (y z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz例4 设 运算为 Q 上的二元运算， x, yQ, xy = x+y+2xy, (1) 运算是否满足交换和结合律? 说明理由. (2) 求 运算的单位元、零元和所有可逆元.第18页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三19给定 x，设 x 的逆元为 y, 则有 x y = 0 成立，

10、即 x+y+2xy = 0 (x = 1/2) 因此当 x 1/2时， 是 x 的逆元. 例题分析（续）(2) 设运算的单位元和零元分别为 e 和 ，则对于任意 x 有 xe = x 成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于 运算可交换，所以 0 是幺元.对于任意 x 有 x = 成立，即 x+2 x = x + 2 x = 0 = 1/2 第19页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三20代数系统定义与实例定义 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1, f2, , fk 组成的系统称为一个代数系统, 简称代数，记做 V=. 第20页，共68页，2022年

11、，5月20日，4点4分，星期三21实例, , 是代数系统， + 和 分别表示普通加法和乘法. 是代数系统， + 和 分别表示n 阶 (n2) 实矩阵的加法和乘法. 是代数系统，Zn0, 1, , n-1， 和 分别表示模 n 的加法和乘法，x,yZn， xy = (xy) mod n，xy = (xy) mod n 也是代数系统， 和为并和交，为绝对补第21页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三225.1 群的定义与性质5.2 子群5.3 循环群5.4 置换群第5章 群第22页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三235.1 群的定义及性质群的定义群中的相关概念有

12、限群、无限群与群的阶Abel群群中元素的幂元素的阶群的性质幂运算规则、群方程的解消去律群的运算表的排列第23页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三24群的定义定义 设G是非空集合， 为G上的二元运算. 如果 (1) 此运算是封闭的；（2）此运算满足结合律；（3）存在单位元 eG，即对任意x G，有 e x= x e = x（4）对 G 中的任何元素 x 都有 x1G，即 x1 x= x x1 = e则称 G 关于是 群.有时也记作第24页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三25群的实例,是群； ,不是群. (2) 是群，而不是群. (3) 是群. Zn= 0,1

13、, , n1，为模 n 加. 第25页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三26Klein四元群设G = e, a, b, c ，G上的运算由下表给出，称为 Klein四元群 e a b c e a b c e a b c a e c b b c e a c b a e 运算表特征： 对称性-运算可交换 主对角线元素都是幺元 -每个元素是自己的逆元 a, b, c 中任两个元素运算 都等于第三个元素. 第26页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三27二、群中的相关概念若群 G 是有穷集，则称 G 是有限群，否则称为无限群. 群 G 的所含元素的个数称为群G的 阶有

14、限群 G 的阶记作|G|. 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群 或 阿贝尔(Abel)群.第27页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三28实例 和 是无限群 是有限群，也是 n 阶群 Klein四元群 G = e, a, b, c是 4 阶群 上述群都是交换群 n 阶 (n2) 实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群. 第28页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三29 实例 在中有 23=(21)3=13=111=0 在 中有 (2)3=23=2+2+2=6 定义 设G是群，xG，nZ，则 x 的 n 次幂 xn 定义为 二、群中的相关概念第29

15、页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三30设G是群，xG，使得等式 xk = e 成立的最小正整数 k 称为 x 的阶（或周期），记作 |x| = k，称 x为 k 阶元. 若不存在这样的正整数 k，则称 x 为无限阶元.在中，2 和 4 是 3 阶元，3 是 2 阶元，1 和 5 是 6 阶元，0 是 1 阶元 在中，0 是 1 阶元，其它整数的阶都不存在. 二、群中的相关概念第30页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三31三、群的性质-幂运算规则定理1 设 G 为群, 则 G 中的幂运算满足： (1) xG，(x1)1 = x. (2) x, yG，(xy)

16、1 = y1x1. (3) xG，xnxm = xn+m，n, mZ. (4) xG，(xn)m = xnm，n, mZ. 注： (xy)n = (xy)(xy)(xy), 是 n 个xy 运算，G为 交换群，才有 (xy)n = xnyn. 第31页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三32三、群的性质-群方程存在唯一解定理2 G为群，a,bG，方程 ax=b 和 ya=b 在G中有解且仅有惟一解. a1b 是 ax=b的解. ba1 是 ya = b 的唯一解.第32页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三33三、群的性质-消去律定理3 G 为群，则G适合消去律

17、，即a,b,cG 有 (1) 若 ab = ac，则 b = c. (2) 若 ba = ca，则 b = c. 第33页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三34三、群的性质-运算表排列规则定理4 设 G 为有限群，则 G 的运算表中每行每列都是 G 中元素的一个置换，且不同的行（或列）的置换都不相同.注意：必要条件，用于判断一个运算表不是群. a b c d a b c d b c d a b a c d c d b a d b a c a b c d a b c d a b c d c d a b b c d a d a b c 第34页，共68页，2022年，5月20日，

18、4点4分，星期三355.1 群的定义与性质5.2 子群5.3 循环群5.4 置换群第5章 群第35页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三36子群定义子群的判定定理重要的几类子群第36页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三37子群的定义定义 设 G 是群，H 是 G 的非空子集，如果 H 关于 G 中的运算构成群，则称 H 是 G 的子群, 记作 HG. 若 H 是 G 的子群，且 HG，则称 H 是 G 的真子群，记作 HG.实例 nZ（n是自然数）是整数加群 的子群. 当 n1 时, nZ 是 Z 的真子群.对任何群 G 都存在子群. G 和 e 都是 G 的

19、子群，称为 G 的平凡子群.第37页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三38子群判定定理判定定理 1 设 G 为群，H 是 G 的非空子集. H 是 G 的子群当且仅当 x, yH 有 xy1H.判定定理 2设 G 为群，H 是 G 的非空子集. H 是 G 的子群当且仅当 x, yH 有 xyH且x1 H.第38页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三39重要子群生成子群定义 设 G 为群，aG，令 H = ak | kZ ，则 H 是 G 的子群，称为由 a 生成的子群，记作. 证 首先由 a 知道. 任取 am, al ，则am (al)1 = am al

20、= aml 根据判定定理可知G. 第39页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三40实例 整数加群， 由 2 生成的子群是 = 2k | kZ = 2Z 模 6 加群 中 由 2 生成的子群 = 0, 2, 4 Klein四元群 G = e, a, b, c 的所有生成子群是： = e , = e, a , = e, b , = e, c . 第40页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三41群G的中心C 设 G 为群, 令 C = a | aG且xG有ax=xa，则 C 是 G 的子群，称为 G 的中心. 证 eC. C是 G 的非空子集. 任取 a, bC，证明

21、 ab1与 G 中所有的元素都可交换. xG，有 (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理可知 CG.重要子群（续）第41页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三425.1 群的定义与性质5.2 子群5.3 循环群5.4 置换群第5章 群第42页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三43循环群定义循环群的分类生成元循环群的子群第43页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三44循环群的定义定义 设 G 是群，若存在 aG 使

22、得 G = ak | kZ 则称 G 是循环群，记作 G=，称 a 为 G 的生成元.实例 整数加群 G = = = 模 6 加群 G = = = 第44页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三45循环群的分类设 循环群 G = ，根据生成元 a 的阶可以分成两类： n 阶循环群和无限循环群.设 G = 是循环群，若a 是 n 阶元，则 G = a0=e, a1, a2, , an1 那么 |G|= n，称 G 为 n 阶循环群. 若 a 是无限阶元，则 G = a0=e, a1, a2, 这时称 G 为无限循环群.第45页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三46

23、循环群的生成元定理设 G = 是循环群. (1) 若G是无限循环群，则 G 只有 a 和 a1 两个生成元. (2) 若 G 是 n 阶循环群，则 ar 是 G 的生成元当且仅当 r 是小于等于 n 且与 n 互质的正整数.第46页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三47设G=e, a, , a11是12阶循环群， 则小于或等于12且与12互素的数是 1, 5, 7, 11, 由定理可知 a，a5，a7和 a11 是 G 的生成元.(2) 设G=是模9的整数加群， 则小于或等于 9且与 9 互素的数是 1, 2, 4, 5, 7, 8. 根据定理，G的生成元是 1, 2, 4,

24、 5, 7 和 8. (3) 设 G=3Z=3z | zZ, G上的运算是普通加法. 那么G只有两个生成元：3 和 3. 生成元的实例第47页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三48循环群的子群定理设G=是循环群.设G=是循环群，则 G 的子群仍是循环群.若G=是无限循环群，则 G 的子群除e以外都是无限 循环群.(3) 若G=是 n 阶循环群，则对 n 的每个正因子d， G 恰好含有一个d 阶子群.第48页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三49（1）G=是无限循环群，对于自然数mN，1 的 m 次幂 是 m，m 生成的子群是 mZ，mN. 即 = 0 = 0

25、Z = mz | zZ = mZ， m0 (2) G=Z12是12阶循环群. 12的正因子是1, 2, 3, 4, 6 和12， 因此G 的子群是： 1 阶子群 =0，2 阶子群 = 0,6 3 阶子群 =0,4,8，4 阶子群 = 0,3,6,9 6 阶子群=0,2,4,6,8,10，12 阶子群 = Z12 子群的实例第49页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三505.1 群的定义与性质5.2 子群5.3 循环群5.4 置换群第5章 群第50页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三51置换群置换及置换的表示N次对称群第51页，共68页，2022年，5月20日，

26、4点4分，星期三52n元置换的定义定义 设 S = 1, 2, , n , S上的双射函数 :SS 称为 S上的 n元置换. 一般将 n 元置换记为 例如 S = 1, 2, 3, 4, 5 , 则 都是 5元置换.第52页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三53n元置换的表示置换符号表示 轮换表示对换表示第53页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三54k 阶轮换与对换定义 设是 S = 1, 2, , n上的 n 元置换. 若(i1)=i2 ,(i2)=i3, ,(ik1)=ik,(ik)=i1且保持 S 中的其他元素不变，则称为 S上的 k 次轮换，记作 (

27、i1i2ik). 若 k=2，称为S上的对换.例如 5元置换 分别是 5阶和 2 阶轮换=(1 2 3 45),=(1 3), 其中 也叫做对换第54页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三55n元置换分解为轮换设 S=1,2,n，对于任何 S 上的 n 元置换，一定可以写成若干个轮换的乘积=1 2 t 第55页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三56分解实例例 设 S = 1, 2, , 8 , =(1 5 2 3 6) (4) (7 8)=(1 5 2 3 6) (7 8) =(1 8 3 4 2) (5 6 7) 注意：在轮换分解式中，1 阶轮换可以省略.

28、第56页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三57n元置换的乘法与求逆两个 n 元置换的乘法就是函数的复合运算n 元置换的求逆就是求反函数. 例 设 使用轮换表示是： = (1 5 4) (2 3) (1 4 2 3) = (1 5 2) = ( 1 4 2 3) (1 5 4) (2 3) = (3 5 4) -1= (1 5 4)-1 (2 3)-1 = (4 5 1) (2 3) = (1 4 5) (2 3)第57页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三58n元置换群及其实例考虑所有的 n 元置换构成的集合 Sn （1）Sn关于置换的乘法是封闭的. （2）置

29、换的乘法满足结合律. （3）恒等置换(1)是 Sn 中的单位元. （4）对于任何 n元置换Sn，逆置换1是 的逆元. 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为 n次对称群. n元对称群的子群称为 n次置换群. 例 设 S = 1, 2, 3，3次对称群 S3 = (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)第58页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三59S3 的运算表 (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1)(1 2)(1 3)(2 3)(1 2 3)(1 3 2) (1) (1 2) (1

30、3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (2 3) (1 3) (1 3 2) (1) (1 2 3) (2 3) (1 2) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 2) (1 3) (1 2 3) (2 3) (1 2) (1 3) (1 3 2) (1) (1 3 2) (1 3) (2 3) (1 2) (1) (1 2 3) 第59页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三60S3的子群S3 = (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)，

31、A3 = = (1), (1 2 3), (1 3 2)， = (1) = (1), (1 2), = (1), (1 3), = (1), (2 3)第60页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三61第6章 环与域环的定义与实例特殊的环 交换环 含幺环 无零因子环 整环 域 第61页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三62环的定义定义 设是代数系统，+和是二元运算. 如果满足以下条件: （1）构成交换群 （2）构成半群（封闭，结合律） （3）运算关于+运算适合分配律则称是一个环.第62页，共68页，2022年，5月20日，4点4分，星期三63环的实例 (1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R 和 复数环C.(2) n(n2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环.(3) 设Zn0,1,.,n1，和分别表示模n的加法和乘法，则构成环，称为模n的整数环.