新课标人教A版必修一指数与指数幂的运算二 完整版课件

1、（二）2.1.1指数与指数幂的运算【教学重点】【教学目标】【教学难点】利用函数的单调性求最值.课程目标理解函数最大(小)值及其几何意义会利用函数的单调性及图象求函数的最值逐步渗透数形结合的数学思想方法难点:函数在给定区间上的最大(小)值教法:自学辅导法、讨论法、讲授法学法:归纳讨论练习【教学方法】【教学手段】多媒体电脑与投影仪课前热身【1】下列说法中正确的序号是_.(1)16的四次方根是2;(2)正数的n次方根有两个;(3)a的n次方根就是 ;(5) (6) (7)(8)【2】计算课前热身【2】计算 【3】如果化简代数式解：解之，得所以1.根式定义根式是如何定义的？有那些性质？正数的奇次方根是

2、正数.负数的奇次方根是负数.零的奇次方根是零.(1) 奇次方根有以下性质：2.n次方根的性质(2)偶次方根有以下性质：正数的偶次方根有两个且是相反数，负数没有偶次方根，零的偶次方根是零.复习回顾3.三个公式4.如果xn=a,那么复习回顾整数指数幂是如何定义的？有何规定？复习回顾整数指数幂有那些运算性质?(m,n Z)复习回顾构建数学探究(1)观察以下式子,并总结出规律:(a 0)结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.构建数学探究(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗? 类比总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式.

3、构建数学探究(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗? 43的5次方根是 75的3次方根是 a2的3次方根是 a9的7次方根是 结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的.综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义.3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.构建数学1.正数的正分数指数幂的意义：2.正数的负分数指数幂的意义：【1】用根式表示下列各式:(a0) 【2】用分数指数幂表示下列各式：概念理解4.有理指数幂的运算性质 指数的概念从整数指数推广到了有理数指数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂都适用.【1】求下列各式的值.练一练当有多重根式是,要由里向外层层转化.对于有分母的,可以

4、先把分母写成负指数幂.要熟悉运算性质.【题型1】将根式转化分数指数幂的形式.数学运用例1.利用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a 0).解:利用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a 0).数学运用练一练例2.化简下列各式(其中a 0). 系数先放在一起运算;同底数幂进行运算,乘的指数相加,除的指数相减.【题型2】分数指数幂的运算解：原式 =例4.求下列各式的值：【题型4】根式运算 利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有理指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.【题型4】根式运算 利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有理指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.【1】计算下列

5、各式(式中字母都是正数).练一练解:原式 =注意:结果可以用根式表示,也可以用分数指数幂表示.但同一结果中不能既有根式又有分数指数幂,并且分母中不能含有负分数指数幂.学点一 根式运算求下列各式的值: (1) ; (2 ) ; (3) ；（4） ;返回 【分析】将根式化成分数指数幂的形式,利用分数指数幂运算性质计算是根式运算中经常采用的方法.【解析】(1)原式=34(3 ) =( ) =3= = .(2)原式=(5 -5 )5=5 5 -5 5 =5 -5=5 -5= .(3) 原式= .返回 【评析】根式的运算一般化为分数指数幂的形式,由分数指数幂运算公式化简求值.(4)原式= .返回 化简下

6、列各式:(1) ;(2) (a0,b0);(3) ;(4) .返回 返回 例2.计算下列各式(式中字母都是正数).【题型4】分数指数幂 的求值.计算下列各式：(1) ;(2) ;(3) .返回 学点二 分数指数幂的运算【分析】负化正，大化小，根式化分数指数幂，小数化分数，是简化运算的常用技巧.(1)原式=(2)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1= + + .返回 【评析】一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.计算下列各式：（1） ; (2) ; (3) .返回 (1)原式=(2)

7、原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1= + + .返回 【评析】一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.【解析】（1）原式=73 -3(323) -23(3-2) +(3 ) =73 -33 2-233 +(3 ) =73 -63 -23 +3 =0.（2）原式=(0.5)4 -(-21)2(-2)4+ -(3102) = =2-64+20+10 -10 =-42.(3)原式= .返回 学点三 求值问题已知a + a =3，求下列各式的值：（1）a+a-1;(2)a2 + a ;(3

8、) .【分析】从已知条件中解出a的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件 a + a =3的联系，进而整体代入求值.返回 【评析】对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.【解析】（1）将a +a =3两边平方，得a+a-1+2=9,即a+a-1=7.（2）将上式平方，有a2+a-2+2=49.a2+a-2=47.（3）由于a -a =(a )3-(a )3,=a+a-1+1=7+1=8.返回 （1）已知x + x =3,求 的值；（2）已知2a + 2-a = 3,求8a+8-a；（3）已知a2x= +1,求

9、 的值.返回 （1）由x + x =3得x+x-1+2=9,即x+x-1=7.x2+x-2+2=49,则x2+x-2-2=45.又x +x -3=(x +x )(x+x-1-1)-3=3(7-1)-3=15, =3.（2）8a+8-a=(2a)3+(2-a)3=(2a+2-a)(22a+2-2a-1)=3(2a+2-a)2-3=3(32-3)=18.返回 （3） =a2x+a-2x-1 = + 1 + -1 = +1+ -1-1 =2 -1.返回 （3） =a2x+a-2x-1 = + 1 + -1 = +1+ -1-1 =2 -1.返回 学点四 化 简化简下列各式：（1）(x-1+x+x0)

10、(x x );（2）【分析】抓住题中各式的结构特点，可分别用立方差和立方和公式化简.返回 【解析】（1）原式= .（2）原式 【评析】解题时,要注意从整体上把握代数式的结构特点，先化简,后计算.返回 化简下列各式：（1） ;（2） ;（3）返回 (1)解法一：化去负指数后解.原式=解法二：利用运算性质解.原式=解法三：利用倒数的性质解.原式（2）原式（3）原式=2(-6)(-3) =4a返回 2.在进行指数幂运算时,应注意什么问题?(1)化简要求同初中要求,注意结果形式的统一,即结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既有分母,又含有负分数.(2)一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根

11、式为分数指数幂,化小数为分数,化底数为指数等,便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.1.怎样才能更好的学好指数及运算?(1)先复习初中学过的整数指数幂的概念及运算.对于指数幂an,当指数n扩大到有理数时,要注意底数a的变化范围.如当n=0时,底数a0;当n为负整数指数时,底数a0;当n为分数时,底数a0.(2)学习本学案内容要结合对比法,揭示其内涵与外延及其与旧概念的联系.运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，要掌握解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法.返回 1.正整数指数幂的运算性质都是积、商、幂的形式，而不是和、差的形式.防止出现“am+an=am+n”“am-bn=a

12、m-n”等错误.关于n次方根的定义和性质，可以理解为平方根和立方根的推广,根号 也可以认为是由平方根号 、立方根号 推广而来的.理解n次方根的意义时，要把n按奇偶分类，并且在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数，零的奇次方根是（类比立方根）;正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，负数的偶次方根没有意义，零的偶次方根是零，即当n为正偶数时，na有意义的条件是a0(类比平方根).返回 .关于 及根式的性质要理解好以下几点：(1)nN,且n0.(2)当n为奇数时， 对任意aR都有意义，并且表示a在实数范围内的唯一的一个n次方根.即( )n=a.(3)当n为偶数时， 只有当a

13、0时才有意义， (a0)表示a在实数范围内的一个正的n次方根，也叫n次算术根，但a还有另一个负的n次方根是- ，即( )n=a.(4)( )n与 的意义不同. 对任意aR都有意义，当n为奇数时， =a;当n为偶数时， =|a|=返回 4.根式的化简与计算：(1)化简根式的过程类似于化简二次根式.注意运用根式的性质和乘法公式、提取或合并同类根式、分母有理化、并且应化为最简根式.(2)根式的计算应在化简后进行，要结合根式的性质分清奇次根式和偶次根式.当根号不能去掉时，一般保留根号，如果需要去掉根号，可用计算器求出近似值.5.an（nZ）的意义，不能简单地理解成n个a相乘，应分清n是正整数、零还是负

14、整数，若n0，则a0，否则an没有意义.返回 的意义，不能理解为 个a相乘，它是根式的一种新的写法，在规定 = 和(a0,m,nN,n1)后，根式和分数指数幂可以互化，它们表示相同意义的量.7.an(nQ)的意义，应按有理数n分类理解，随着n的范围由正整数范围到整数范围到有理数范围的不断扩大，底数a的范围也在不断地缩小，但对于a0时，an都有意义，对于a=0时，n不能为0、负整数、负分数，否则没有意义.8.有理指数幂的运算性质是积、商、幂的形式.而不是和、差的形式，并且把正整数指数幂的五条运算性质推广到有理指数幂.返回 祝同学们学习上天天有进步！学点四 化 简化简下列各式：（1）(x-1+x+x0)(x x );（2）【分析】抓住题中各式的结构特点，可分