高等数学教案第十一章

1、第十一章无穷级数教学目的：1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数和函数的性质。8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。9、会利用幂级数的性质求和。10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。11、会利用基本初等函数的麦克劳林

2、展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。教学重点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数教学难点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数；1常数项级数的概念和性质一、教学目的与要求：.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。.理解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。二、重点（难点）：级数收敛的定义及条件三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、常数项级数的概念常数项无穷级数：一般地，给定一个数列UiU2U3，:Un.则由这数列构成的表达式UiU2U3-

3、Un-叫做（常数项）无穷级数.简称（常数项）级数.记为un,即n1cd、Un=UiU2U3.Rn.n1其中第n项Un叫做级数的一般项.QO级数的部分和：作级数2Un的前n项和n=1nsn八Ui=U1U2U3Uni1oO称为级数Un的部分和,n1qo级数敛散性定义：如果级数ZUn的部分和数列Sn有极限S.n1即limsn=s.n二二oO则称无穷级数ZUn收敛.这时极限S叫做这级数的和.n1并写成oO TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 o Current Document s-un=u1u2u3：；un?nm如果sn没有极限.则称无穷级数声Un发散.n1QOQ

4、O余项：当级数ZUn收敛时.其部分和Sn是级数ZUn的和S的近似值.它们之间的差值n1nn与-SnPn.1，Un2.3,一qO叫做级数un的余项,n1例1讨论等比级数（几何级数）oO“aqn=aaqaq2+aqnn=0的敛散性.其中a?0.q叫做级数的公比解：如果q型.则部分和2n1sn=aaqaqaq_a-aqni-qai-qaqni-qod当|qg时.因为limSn.所以此时级数工aqn收敛.其和为-a-.n1-qn=01-qoO当|q|l时.因为lim、=0.所以此时级数Zaqn发散.n二n=0oO如果q|W.则当q=时.sn=naT因此级数Zaqn发散；n=00a当q=1时.级数aqn

5、成为n=0a-aa-a时|q|g时.因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零.oO所以sn的极限不存在.从而这时级数Zaqn也发散.n=0综上所述.如果|q|1,则级数aqn收敛.其和为；如果|q闫.则级数aqn发散，n=01-qn=0cQ仅当q| HYPERLINK l bookmark41 o Current Document :lim（u1u2un）二（v2-vn）n二=lim(Sn二；：n)二S二二.ny-.i表明：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。性质3在级数中去掉、加上或改变有限项.不会改变级数的收敛性.比如.级数,+工+工+1+是收敛的.122334n(n1),一“1111,加一

6、项后级数9895+十十十+十也是收敛的.122334n(n1)减一项后级数11+1+也是收敛的,3445n(n1)Q0性质4如果级数un收敛.则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛.且其和不变，nT注意：如果加括号后所成的级数收敛.则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如.级数(11)+(11)+11收敛于零.但级数1T+11+1,却是发散的，推论：如果加括号后所成的级数发散.则原来级数也发散.级数收敛的必要条件qQ TOC o 1-5 h z 性质5如果fun收敛.则它的一般项un趋于零.即limun=0,nJn0oO证：设级数uun的部分和为sn,且limsn=s,则n1n二limun-

7、lim（sn-sn）=limsn-limsn=s-s=0n_0nj二二n：:n：:注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.例如调和级数J1.1.1.1,=1一n23n HYPERLINK l bookmark60 o Current Document 1_尽管它的一般项lim=0,但它是发散的,n:n二1因为假若级数工1收敛且其和为s.sn是它的部分和nz1n显然有lim%=s及lim82n=s,于是lim(s2n-sn)=0n)二nj：n二但另一方面111111182n-sn82nnn1n22n2n2n2n21故lim(s2n-sn)#0.矛盾，这矛盾说明级数工-必定发散，nndn

8、2常数项级数的审敛法一、教学目的与要求：.掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。.掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系二、重点(难点)：判定正项级数的收敛与发散三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、正项级数及其审敛法定义：各项都是正数或零的级数称为正项级数，称为正项级数。正项级数是一类非常重要的级数，关于正项级数有列重要结论：O0定理1正项级数%收敛的充分必要条件它的部分和数列Sn有界,n1证设级数UiU2_Un: TOC o 1-5 h z 是一个正项级数。其部分和为Sn显然Sn是一个单

9、调增加数列，若部分和数列Sn有界,则根据单调有界数列必有极限的准则，可知级数1Un收敛；反之.若级数工Un收敛，则部分和数列Sn有极限，根据有极限的数列是有界数列的性质可知Sn有界cOoOoO定理2(比较审敛法)设Un和Vn都是正项级数.且UnEVn(n=1.2.，),若级数Vn收敛.则ndndn=100aoao级数ZUn收敛；反之.若级数Un发散.则级数vn发散.n1n1n=1oOoO证设级数Vn收敛于和H则级数Un的部分和n=1n=1Sn=U1U2-Un_V1,V2Vn_-(n=1,2,).即部分和数列Sn有界.由定理1知级数工Un收敛.n1oOoo反之.设级数Un发散.则级数ZVn必发散

10、.nTn18oo因为若级数Zvn收敛.由上已证明的结论.将有级数ZUn也收敛.与假设矛盾.nWnWqoqoqo推论设Un和工Vn都是正项级数.如果级数2Vn收敛.且存在自然数N.使当n至N时有n=1n4n=1qQUqQUn生Vn(k0)成立.则级数Un Un收敛；如果级数n 1qQvn vn发散.且当n小时有Un小Vn(k0)成立.则级数 nunun发散,n1例1讨论p於数 TOC o 1-5 h z 1.1111、=1一Pppppn1n234n的收敛性.其中常数p0.解 解 设p-,而调和级数np n1发散.由比较审敛法知n =1nqQ当pl时级数qQ当pl时级数-发散，n =1 nF设p1

11、，此时有工Xdx二n：(n1)pQOoo所以级数Z一1-7-v收敛，从而根据比较审敛法的推论1可知.级数工。当p1时收n(n-1)pnpn=1np敛综上所述.p燃数13当p1时收敛.当p1时发散，nTnp提示n(提示n(n -1)p1np，的部分和为Sn*七方.T-1+=1-1+正-2p2p3pnp(n,1)p(n1)p因为limsn=lim11-,=1f：nn二(n1)pJ所以级数一T-a收敛，nj(n-1)pnp“1,、，z,一,、皿p垓数的收敛性p-a数12当pa1时收敛.当pn(n1)、(n1)qQ而级数n11-=+1+/一+是发散的根据比较审敛法可知所给级数也是发散的定理3(比较审敛

12、法的极限形式)oOod设ZUn和Vn都是正项级数.nn.一一U一二二.(1)如果lim=1(0回0或 lim un = yn 二Vnn 二Vn00且级数Z Vn发散n oO则级数 Un发散.n 11，一、一，,1证明由极限的定义可知.对&=1l.存在自然数N.当n小时.有不等式l-lnl+l.即。M43卜门.2vn22nn2n再根据比较审敛法的推论1.即得所要证的结论，二1S例3判别级数Ztan的收敛性.nn,1tan解因为Jimn=1.而级数1发散.:11.根据比较审敛法的极限形式.级数tan1发散，根据比较审敛法的极限形式n4noO例4oO例4判别级数n4(2n -1)(2n 1)的收敛性

13、解因为解因为lim (2n-1)(2n+1) =1 .而级数13收敛.-14nw n22n根据比较审敛法的极限形式收敛n4 根据比较审敛法的极限形式收敛n4 (2n -1)(2n 1)定理4（比值审敛法.达朗贝尔判别法）qQ若正项级数ZUn的后项与前项之比值的极限等于p：limu土=p.nWn一Un则当P1（或lim虹=8）时级数发散；一un TOC o 1-5 h z 当PT时级数可能收敛也可能发散,123 1(n-1) HYPERLINK l bookmark90 o Current Document ,111123 1(n-1)例5证明级数1+1+七+7+112123是收敛的 HYPER

14、LINK l bookmark95 o Current Document un1123(n-1)1,解因为lim=limlim一二01.nunn：123nnn根据比值审敛法可知所给级数收敛例6判别级数+L2+12誓+-n!-+的收敛性.1010210310nUn1.(n1)!10n.n1.解因为lim=lim1n-lim=0.munn-10nln!n：10根据比值审敛法可知所给级数发散二1例7判别级数的收敛性.g2n（2n1）解uU?=nlim/T)%，)：1这时P=1.比值审敛法失效.必须用其它方法来判别级数的收敛性11因为而级数14收敛.因此由比较审敛法可知所给级数收敛(2n1)2nn恒n

15、2定理5(根值审敛法.柯西判别法)C30设ZUn是正项级数.如果它的一般项Un的n次根的极限等于P：n1limnUn=.ni则当Rd时级数收敛；当P1(或limnun=)时级数发散；n_.当三1时级数可能收敛也可能发散例8证明级数1+工+工+是收敛的.2233nn并估计以级数的部分和Sn近似代替和S所产生的误差,解因为limn/Un=limn/nT：；n=lim-=0.n，二n所以根据根值审敛法可知所给级数收敛以这级数的部分和Sn近似代替和S所产生的误差为 TOC o 1-5 h z |rn|=1-1-1-|n|(n1)n1(n2)n2(n3)n3.1.1,1(n1)n1(n1)n2(n1)n

16、3_1n(n1)n例9判定级数22+(11)的收敛性nd2n解因为lim癌=lim1V2+(-1)n=1nn-22所以根据根值审敛法知所给级数收敛定理6(极限审敛法)Q0设un为正项级数n1oo(1)如果nimJUn=l0(或nimnUn=+/)则级数2Un发散Q0(2)如果p1而njmjpUn刁(0引F)则级数工Un收敛二1,例10判定级数工ln(1+-2)的收敛性n3n TOC o 1-5 h z 一一，11一 HYPERLINK l bookmark111 o Current Document 解因为ln(1+-2)-2(nTi)故 HYPERLINK l bookmark86 o Cu

17、rrent Document nnlimn2un=limn2ln(112)=limn24=1nn)二二n2n)二二n2根据极限审敛法知所给级数收敛例11判定级数nTn+1(1-cos-)的收敛性n=1n解因为limn2un=limn2Jn+1(1-cos工)=limn2Jn11(工)2=1n2nn)：nn：.n2n2根据极限审敛法知所给级数收敛、交错级数及其审敛法交错级数：交错级数是这样的级数.它的各项是正负交错的 TOC o 1-5 h z oCoO交错级数的一般形式为(1)n,Un.或工(-1)nUn其中Un。，n=1n1qQqQ例如.Z(-1)n41是交错级数.但(_1)n,上cosn工

18、不是交错级数 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document n=1nn1n定理7(莱布尼茨定理)od如果交错级数(-1)n,Un满足条件：n1(1)un浙由(n=.2.3.一)；(2)limUn=0.n：则级数收敛.且其和s勺1.其余项rn的绝对值|rn|Un+1,证明：设前2n项部分和为S2n.由S2n=(U1-U2)*U3-U4)+*U2n1-U2n).及S2n-U1-(U2-U3).(U4U5)(U2n-2-U2n4)-U2n看出数列S2n单调增加且有界(S2nU1).所以收敛，设S2nS(n).则也有S2n+F2n九2n由S(n).所以SnS(n)

19、.从而级数是收敛的.且Sn:U1,因为|rn|=Un4-Un+1也是收敛的交错级数.所以|rn|、n+,_d1例12证明级数工(-111收敛.并估计和及余项.n1n证这是一个交错级数,因为此级数满足111八UnUn1(n=1,2,).(2)limUn=lim0nn1n.n二n由莱布尼茨定理.级数是收敛的.且其和su1=1余项|rn|Wun书=Ln1 TOC o 1-5 h z 三、绝对收敛与条件收敛：00oO绝对收敛与条件收敛：若级数|Un|收敛.则称级数ZUn绝对收敛；nWn1ooaooa若级数ZUn收敛.而级数工|Un|发散.则称级uUn条件收敛，n1nWnW例如级数(-1)n,J是绝对收

20、敛的.而级数(-Dn/1是条件收敛的,nz1nnTnoooo定理8如果级数工Un绝对收敛.则级数Un必定收敛,n=1nW证明略odod注意：如果级数工|Un|发散.我们不能断定级数工Un也发散，n1n1CO但是.如果我们用比值法或根值法判定级数|Un|发散.n1Q0则我们可以断定级数Un必定发散.n1Q0这是因为.此时|Un|不趋向于零.从而Un也不趋向于零.因此级数Un也是发散的n1、sinna一例13判别级数的收敛性.n1nsinna11匚解因为|4一尸一4.而级数乙一4是收敛的.nnndn所以级数三|四普|也收敛.从而级数jsnna绝对收敛，n4nn4n-2例14判别级数Z（_i）n-L

21、（i+1）n的收敛性.nj2n解：由山上焉口1）2.有lim师WlimO+Pn/eAl.2nnn-2n）：n22可知limun*0,因此级数工（1）n去（1+1）n发放.n二n/2nn3哥级数一、教学目的与要求：.理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数和函数的性质。.掌握哥级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解哥级数在其收敛区间内的一些基本性质。.会利用哥级数的性质求和。二、重点（难点）：哥级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、函数项级数的概念函数项级数：给定一个定义在区间I上的函数列:Ul（X）,U2（X）,U3（X

22、）,Un（X）由这函数列构成的表达式ui(x)U2(x)U3(x),-un(x)称为定义在区间i上的(函数项)级数.记为unun(X).n对于区间I内的一定点X0.若常数项级数un(X0)收敛.则称nqQqQ点X0是级数Eun(x)的收敛点,若常数项级数fun(Xo)发散.则称n1nJqQ点X0是级数un(x)的发散点、。n=1qQ函数项级数un(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域n1所有发散点的全体称为它的发散域在收敛域上.函数项级数ZUn(x)的和是X的函数s(x).n1qQqQs(x)称为函数项级数ZUn(x)的和函数.并写成s(x)=Un(x).n=1n=1oO汇Un(x)是ZUn(

23、x)的简便记法.以下不再重述,n1在收敛域上.函数项级数汇Un(x)的和是X的函数S(X).S(X)称为函数项级数汇Un(x)的和函数.并写成S(X)=汇Un(x),这函数的定义就是级数的收敛域。函数项级数汇Un(x)的前n项的部分和记作Sn(x).即Sn(x)=U1(X)U2(X)U3(X)-Un(x).在收敛域上有Jimsx)=Sx)或Sn(xZs(x)(n*),oO函数项级数ZUn(x)的和函数s(x)与部分和Sn(x)的差rn(x)=S(x)-Sn(x)n1qQrn(x)=S(x)Sn(x),叫做函数项级数zUnrn(x)=S(x)Sn(x),函数项级数汇Un(x)的余项记为rn(x)

24、.它是和函数S(X)与部分和Sn(x)的差在收敛域上有limjn(x)=0,n、哥级数及其收敛性哥级数函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都备函数的函数项级数这种形式的级数称为哥级数.它的形式是aoaixa2X2上，anxn.其中常数ao.ai.a2.an叫做哥级数的系数例如一下级数 TOC o 1-5 h z ,23n1xxxx.1o1xx2xn,2!n!注：哥级数的一般形式是aoa1（x-xo）a2（xo）2-an（xxo）n.经变换tRo就得ao%1t珀2t2+.，Wntn+，.哥级数Y23n1xxxx，：可以看成是公比为x的几何级数.当冈1时它是收敛的；当x|刿时.它是发散的,因此

25、它的收敛域为（1.1）,在收敛域内有上=1xx2x3一-xn,1-x由此例可得：QO定理1（阿贝尔定理）如果级数勺anxn当x=xo（xo加）时收敛.则适合不等式qQ|x|二|anx0n即（n=0,1,2,）.oO这样级数anxn的的一般项的绝对值n=0n|anxnHanxn一|=|anxS|XM产|nxx0 x0因为当冈皿时.等比级数MM产1n收敛.所以级数工|anxn|收敛.n力x0n=0qQ也就是级数Zanxn绝对收敛.n=0定理的第二部分可用反证法证明.倘若哥级数当x=x0时发散而有一点x1适合|x1|x0|使级数收敛.则根据本定理的第一部分.级数当x=x0时应收敛.这与所设矛盾.定理

26、得证.CO推论如果级数Sanxn不是仅在点x=0一点收敛.也不是在整个数轴上都收敛.则必有一个完全n=0确定的正数R存在.使得当|x|R时.哥级数绝对收敛；当|x|火时.哥级数发散；当x田与x-R时.哥级数可能收敛也可能发散,qQ收敛半径与收敛区间：正数r通常叫做哥级数ananxn的收敛半径开区间（-RR）叫做哥级数n=0qQqQanxn的收敛区间再由哥级数在xR处的收敛性就可以决定它的收敛域哥级数fanxnn=0nd0的收敛域是（-R,R）（或-R,R）、（R,R、-R,R之一,qQqQ规定：若哥级数：fanxn只在x田收敛.则规定收敛半径R=0,若哥级数Zanxn对一切x都收敛.n=0n-

27、0则规定收敛半径R*这时收敛域为（q,收）,关于哥级数的收敛半径求法，有下列定理：定理2如果lim|gn|=P.其中an、an由是哥级数fanxn的相邻两项的系数.n，二annJ则这哥级数的收敛半径+0P=0R=4-1P=00P=+=caxn1a一简要证明lim|n|二lim|亘|x|二|x|,nanxnnan1（1）如果0Pg.则只当取|：1n所以收敛半径为R=1=1.当xM时.哥级数成为（-1）n41.是收敛的；n=1n当x，时.哥级数成为().是发散的,因此.收敛域为(-1,11,nn二1c例2求哥级数11xnn=on!1+x+x2+-X3+xn十，的收敛域,23n!1_解因为P=lim

28、lan11=lim(n.1)!=limn!-=0.nann二n二(n1)!n!所以收敛半径为R3,从而收敛域为(q,代).oO例3求哥级数Zn!xn的收敛半径,n=0解因为3nl(n1)!.=lim1HAi=lim=n一ann:n!所以收敛半径为R斗,即级数仅在xV处收敛.例4求哥级数0萼x2n的收敛半径n以n!)2解级数缺少奇次哥的项.定理2不能应用.可根据比值审敛法来求收敛半径：哥级数的一般项记为Un(x)=空x2n.n，(n!)2因为lim|un4(|=4冈2.n-:Un(x)1o11当4x2即冈时级数收敛；当4|x|21即|x|72时级数发散.所以收敛半径为R-22.提示Un 1提示U

29、n 1仅)Un(x)2(n 1)!x2(n 1)(n 1)!2(2n)!x2n(n!)2_(2n 2)(2n 1) 2(n 1)2-：(x-1)n,例5求哥级数(n)的收敛域.nW2nnn解令t=K-1.上述级数变为Z2nn因为lim|-二因为lim|-二an2n n2n 1 (n 1)所以收敛半径R二,二1二(_1)当tJ时.级数成为1-.此级数发散；当t-2时.级数成为Z.此级数收敛,nnn-1nn因此级数二一的收敛域为二42因为/)_12.即_1勺3.n42nn所以原级数的收敛域为-1,3).三、骞级数的运算设备级数汇anxn及汇bnxn分别在区间(-R,R)及(R,R)内收敛.则在(-

30、R,R)与(-R*R)中较小的区间内有加法：E3nXn+Ebnxn封(an叱n)xn. TOC o 1-5 h z 减法：E3nxn-Ebnxn=E(an-bn)xn,00oO乘法(Z：anxn)(.二bnxn)=aobo(aobiaibo)x(aob2aibia2bo)x-(aobnabn_i-anbo)xn,nOnOqo、anxn除法：=Cnxnbnxnn=0这里假定bo #0这里假定bo #0。为了决定系数 g ,可以将Zbnxn与zcnxn相乘，然后比较n=0n=0qQ与Zanxn的同次塞项系数得出。n=0关于哥级数，有以下的重要性质oO性质1哥级数Zanxn的和函数s(x)在其收敛域

31、I上连续.n=0如果哥级数在x京(或x=R)也收敛.则和函数s(x)在(-R,R(或-R,R)连续,qQ性质2哥级数Zanxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积并且有逐项积分公式n=0(xs(x)dx=；(.anxn)dx=、:anxndx=-an-xn1(xI)n=0n=0n=0n1逐项积分后所得到的哥级数和原级数有相同的收敛半径qQ性质3哥级数Zanxn的和函数s(x)在其收敛区间(-RR)内可导并且有逐项求导公式n=0s(x)(Canxn)=y(azn)-nanxn(|x|R)n=0n=0n=1逐项求导后所得到的哥级数和原级数有相同的收敛半径例6求哥级数：f xn的和函数n=on 1解

32、求得哥级数的收敛域为-11)设和函数为s(x),即s(x) = Z 逐项求导后所得到的哥级数和原级数有相同的收敛半径例6求哥级数：f xn的和函数n=on 1解 求得哥级数的收敛域为-11)设和函数为s(x),即s(x) = Z xn n =0n 1x三一11)显然 s(0)=1 ,二 1在 xs(x)xn 1n zz0n 1的两边求导得xs(x) 工n =0 n 1xn 1)= xnn =0_ 11 -x对上式从0到x积分.得xs(x)=；11xdx = -ln(1-x) 1是.当 x 加时.有 s(x) =-ln(1-x),从而 s(x) = x1-1ln(1-x) 0；|x卜1 xx =

33、0qQ因为 xs(x) = Jn=01 xn 1,x=T二马xnTdxn =0n 1二:二 xndx = ：dx = -ln(1 -x). 0n0 1 -x所以.当 x0 时.有s(x) = 1ln(1x). x从而s(x)=-ln(1 -x) x10：冈二1x =0提示应用公式0 xF(x)dx=F(x)F(0)即F(x)=F(0)+jxF(x)dx上=1xx2x3+xn,1-x(1)n一例7求级数工匕)7的和.n=0n11解考虑哥级数Z-xn.此级数在T,1)上收敛.设其和nn1二(-1)n函数为s(x).则s(1)=工AL即哆n=0n即哆在例6中已得到xs(x)=ln(1r).于是-s(

34、-1)=ln2.s(1)=ln不4函数展开成哥级数一、教学目的与要求：.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。.会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成哥级数。二、重点(难点)：初等函数展成泰勒级数三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、泰勒级数问题：给定函数f(x).要考虑它是否能在某个区间内“展开成哥级数”.就是说.是否能找到这样一个哥级数.它在某区间内收敛.且其和恰好就是给定的函数f(x).如果能找到这样的哥级数.我们就说.函数f(x)在该区间内能展开成哥级数.或简单地说函数f(x)能展开成哥级数.而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x).以前学过泰勒多项式：

35、如果f(x)在点xo的某邻域内具有各阶导数.则在该邻域内f(x)近似等于f(x)=f(x0)f(x0)(x-x0)-f2xo)(x-x0)2f()(x0)(x-x0)nRn(x).n!f(n1)()其中Rn(x)=(x-x0)n41(次于x与x0之间(n1)!泰勒级数：如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f(x)f(x).f(n)(x).则当n4时.f(x)在点x0的泰勒多项式Pn(x)=f(x0)f(xo)(x刈)f(x0)(x-x0)2f7x)(x-x0)n2!n!成为哥级数f(X0)f(Xo)(xXo)f(x0)(xX0)2fx0)(xX0)3-(X0)(x-xo)n2!3!n!这

36、一哥级数称为函数f(X)的泰勒级数,显然.当X4o时(X)的泰勒级数收敛于f(X0),但是除了XT0外(X)的泰勒级数是否收敛？如果收敛.它是否一定收敛于f(X)?对此，有以下定理：定理设函数f(X)在点X0的某一邻域U(Xo)内具有各阶导数.则f(X)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(X)的泰勒公式中的余项Rn(X)当0时的极限为零.即limRn(X)=0(xU(Xo).ni二二证明先证必要性，设f(x)在U(xo)内能展开为泰勒级数.即f(x)Cf(n)(x)f(x)=f(Xo)f(Xo)(X-Xo)(x-Xo)2-(x-Xo).2!n!又设Sn4(x)是f(x)的泰勒级数的前

37、ny项的和.则在U(xo)内sn由(x)tf(x)(n-),而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)=Sn+(x)+Rn(x),于是Rn(x)T(x)-Sn+(x)T。(n*).是 Sn l(x)=f(x)Rn(x)f(x).再证充分性，设Rn(x)To(n是 Sn l(x)=f(x)Rn(x)f(x).因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)=Sn+(x)+Rn(x).于即f(x)的泰勒级数在U(Xo)内收敛.并且收敛于f(x).在泰勒级数中取xo=o.得f(o) f (o)xf_ .xn .f(o) f (o)xf_ .xn .2!n!此级数称为f(x)的麦克劳林级数.展开式的唯一性：如果f

38、(x)能展开成X的哥级数.那么这种展式是唯一的.它一定与f(x)的麦克劳林这是因为.如果f(x)在点xo=o的某邻域(-R.R)内能展开成x的哥级数.即f(x)=aoaixa2X2-anxn上那么根据哥级数在收敛区间内可以逐项求导.有2一_n1f(x)=ai2a2X3a3Xnanx:f(x)=2!a232a3X，n(nT)anxn，f(x)-3!a3:!，:!n(n-1)(n-2)anxn3f(n)(x)=n!an(n1)n(n-1)-2anix,于是得f(o)f(n)(o)aof(o).aid(o).a2=-an=2!n!注意：如果f(x)能展开成X的哥级数.那么这个哥级数就是f(x)的麦克

39、劳林级数，但是.反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点xo4的某邻域内收敛.它却不一定收敛于f(x),因此.如果f(x)在点xo=0处具有各阶导数.则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来.但这个级数是否在某个区间内收敛.以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察,二、函数展开成哥级数展开步骤第一步求出f(x)的各阶导数：(x)(x).,f(n)(x).,第一步第二步求函数及其各阶导数在x=0处的值：f(0)f(0)f(0).-f(n)(0).第三步写出嘉级数 TOC o 1-5 h z f(0)f(0)xf20)x2八0并求出收敛半径R.第四步考察在区间(-R,R)内时是否Rn(xZ0(n), HYP

40、ERLINK l bookmark164 o Current Document f(n1)(,)1nmEnm1可xn是否为零.如果Rn(x)T0(n).则f(x)在(-R.R)内有展开式f (x) = f (0) f (0)x =0)x22f (x) = f (0) f (0)x =0)x22f (0)n!xn(-RxR).例1将函数f(x)=ex展开成x的哥级数.解所给函数的各阶导数为f(n)(x)=ex(n=1.2,-).因此f(n)(0)=1(n=1.2.),于是得级数2!n!1x4：x22xn2!n!它的收敛半径R=,对于任何有限的数|Rn(xx对于任何有限的数|Rn(xx、e(n 1

41、)!-(:介于0与x之间).有n 1.|x| |x 1nlx | ；e| 11 (n 1)!一.lxln1而im=0.所以hmiRn(x)i=0.从而有展开式n(n1)!nnex=1xx21xn(-二:x:二),2!n!例2将函数f(x)=sinx展开成x的哥级数,解因为f(n)(x)=sin(x+n5)(ng.2.).所以f(n)(0)顺序循环地取0.1.01,(n=0.1.2.3).于是得级数x_X3x5,.(_1尸x2.3!5!(2n-1)!它的收敛半径为R=-；对于任何有限的数x、t(阶于。与x之间).有sin?1-凶ni(nJX|S，0()因此得展开式3535sin x =x 3!5!(-