递推数列通项公式的求法 副本

1、递推数列通项公式的求法 副本第1页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三1、等差数列的递推公式： 复习等差(等比)数列的递推公式2、等比数列的递推公式： 第2页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三类型1 定义法等差数列等比数列练习：第3页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三类型2求法：累加法例若数列有形如an1anf(n)的解析式，而f(1)f(2)f(n)的和是可求的，则可用多式累(迭)加法求得an.第4页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三1.已知an中, an+1=an+ n (nN*),a1=1,求通项an解

2、:由an+1=an+ n (nN*) 得a2 a1 = 1a3 a2 = 2a4 a3 = 3anan1 = n 1an=( anan1)+(an1an2)+ + (a2 a1)+ a1 =(n 1)+(n 2)+ +2+1+1 演练：累加法(递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)n个等式相加得a1 = 1an+1 an= n (nN*)第5页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三练习：第6页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三累加法 第7页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三类型3求法：累乘法例若数列有形如anf(n)an1

3、的解析关系，而f(1)f(2)f(n)的积是可求的，则可用多式累(迭)乘法求得an.第8页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三演练： 累乘法 (形如an+1 =f(n)an型)2.已知an是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12 +an+1annan2=0, 求an的通项公式解: (n+1)an+12 +an+1annan2=0 ( an+1+ an)(n+1) an+1 nan=0 an+1+ an0 (n1) an= . 注意：累乘法与累加法有些相似，但它是n个等式相乘所得 (n+1) an+1 = nan第9页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期

4、三累乘法第10页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三例类型4练习：第11页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三 已知数列an中，a11，an1 an1，求an.解析：解法一：数列bn为等比数列，又a132，第12页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三第13页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三点评：(1)注意数列解题中的换元思想的运用，如bnan3.(2)对数列递推式an1panq，我们通常将其化为 p ，设bnanA，构造数列bn为等比数列第14页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三4已知数列

5、an的首项a1 ，an1 ，nN*.求an的通项公式解析：第15页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三递推式如anpan1rqn(n2，pqr0，p，q，r为常数)型的通项的求法具体思路：1.等式两边同除以qn，类型5第16页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三第17页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三 已知数列an满足an4an12n(n2，nN*)，且a12.求an.解析：解法一： an4an12n , 第18页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三解法二： an4an12n，令an2n4(an12n1)，(n

6、2)，得an4an12n，与已知递推式比较得1，an2n4 ，又a12214，an2n是首项为4，公比为4的等比数列an2n44n1，an4n2n22n2n.第19页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三变式探究5(2011年盐城模拟)在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*)，其中0.求数列an的通项公式解析：由an1ann1(2)2n(nN*)，0，得an1ann12n12n，所以数列an的通项公式为an(n1)n2n.第20页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三类型六、递推式如anpan1qnr(n2，pq0，p，q为常数)型数列的通项

7、求法具体思路：等价转化为anxnyp(an1x(n1)y)，再化为anpan1(p1)xn(p1)y，比较对应系数，解出x，y，进而转化为例3的数列 (2011年济宁模拟)已知数列an中，a1 ，点(n,2an1an)在直线yx上，其中n1,2,3，.求数列an的通项解析：点(n,2an1an)在直线yx上，2an1ann.第21页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三令an1x(n1)y (annxy)，可化为2an1anxn2xy0与比较系数得x1，y2. 可化为an1(n1)2 (ann2)，第22页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三变式探究6(2

8、010年丰台区模拟)在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)设bnann，求数列 的通项；(2)求数列an的前n项和Sn.解析：(1)由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.bnann，bn1an1(n1)，bn14bn.又b1a111，所以数列 是首项为1，且公比为4的等比数列bn4n1.第23页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三(2)由(1)可知ann4n1，于是数列an的通项公式为an4n1n.第24页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三类型七、递推式如an1panqan1(pq0)型的数列通项的求法具体思

9、路：等价转化为an1xany(anxan1)，利用其与an1panqan1恒等，求出x，y，得到一等比数列an1xan，得an1xanf(n)，进而化为例5的数列 在数列an中，a12，a23，an23an12an，求an.解析：由条件an23an12an，得an2an12(an1an)，又因a2a1321，所以数列an1an是以1为首项，2为公比的等比数列，an1an2n1.再用多式累加法可得：ana1 2n11.第25页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三变式探究7(2011年漳州模拟)已知数列 an 满足a11，a23，an23an12an(nN*)(1)证明：数列

10、是等比数列；(2)求数列 an 的通项公式；(3)若数列 满足 (an1)bn(nN*)，证明 是等差数列解析：(1)证明：an23an12an，an2an12(an1an)，a11，a23，第26页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三 是以a2a12为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)得an1an2n(nN*)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1(nN*)(3)证明： (an1)bn，4(b1b2bn)n2nbn，2(b1b2bn)nnbn，2(b1b2bnbn1)(n1)(n1)bn1.，得2(bn11)(n1)bn1nbn，即

11、(n1)bn1nbn20.第27页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三nbn2(n1)bn120.，得nbn22nbn1nbn0，即bn22bn1bn0，bn2bn1bn1bn(nN*)， 是等差数列第28页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三类型八、倒数法求通项(1)对于递推式如an1panqan1an(p，q为常数，pq0)型的数列，求其通项公式具体思路：两端除以an1an得： p q，若p1，则构成以首项为 ，公差为q的等差数列 ；若p1,转化为例3求解第29页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三 (2011年保定摸底)已知数列an满足a11，n2时，an1an2an1an，求通项公式an.解析：an1an2an1an，第30页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三变式探究答案：an第31页，共34页，2022年，5月20日，19点40分，星期三(2)若数列an有形如an1 的关系，求其通项的具体思路是：取倒数后得 ，即化为例3的数列，求出 ，再求得an. 设数