广东省高中数学竞赛试题详解

1、广东省高中数学比赛试题及详解答案广东省高中数学比赛试题及详解答案5/5广东省高中数学比赛试题及详解答案全国高中数学联赛广东省赛区初赛试题（考试时间：9月4日上午10：0011：二题号一共计123得分评卷人复核人注意事项：1.本试卷共二大题，全卷满分1用圆珠笔或钢笔作答。解题书写不要高出装订线。不可以使用计算器。一、填空题：本大题共8小题，每题8分，共64分.把答案填在横线上.1.方程logxsinx2在区间(0,上的实根个数为_.222.设数列8(1n)1的前n项和为Sn，则知足不等式|Sn6|1的最小整数n是3125_.3.已知n（nN，n2）是常数，且x1，x2，xn是区间0,内随意实数，

2、则函数2f(x1,x2,xn)sinx1cosx2sinx2cosx3sinxncosx1的最大值等于_.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，假如没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_个交点.5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个极点，它都等机会地爬向其他两个极点之一，则它在n次爬行后恰好回到初步点的概率为_.设O是平面上一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P知足OPACOAAB0,)，则点P的轨迹为_.|AC|，此中|AB|7.对给定的整数m，符号(m)表示中使m(m)能被3整除的独一值，那么1,2,3(220101)(220102)(220103)_.分别以直角三角形

3、的两条直角边a，b和斜边c为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积挨次为Va，Vb，Vc，则Va2Vb2与(2Vc)2的大小关系是_.二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（本小题满分16分）能否存在实数a，使直线yax1和双曲线3x2y21订交于两点A、B，且以AB为直径的圆恰巧过坐标系的原点？（本小题满分求证：不存在这样的函数f:Z1,2,3，知足对随意的整数x，y，若|xy|2,3,5，则f(x)f(y).3.（本小题满分设非负实数a，b，c知足abc1，求证：9abcabbcca1(19abc)4全国高中数学联赛广东省初赛参照答案一、填空题1.

4、设f(x)logxsinx2，则f(x)1oscx，0 x，0cos1x，又0nl1，2xln222f(x)0，即在区间(0,上单一递加，故方程logxsinx2在区间(0,上有且只有一个实根.2221)n1181(1)n1)n，于2.易知数列8(是首项是8，公比是的等比数列，Sn366(331(13)3是|Sn6|1213n1250，35243250，36729250，故最小整数n是7.1253n1125a2b2，3.ab2f(x1,x2,xn)sinx1cosx2sinx2cosx3sinxncosx1sin2x1cos2x2sin2x2cos2x3sin2xncos2x1222(sin2

5、x1cos2x1)(sin2x2cos2x2)(sin2xncos2xn)2n，2n故所求函数的最大值等于.圆周上随意四点组成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等，故有C10410987210个交点.12342n2(1)n5.32nACOAABABAC6.OP，OPOA()，|AC|AB|AB|AC|即AP(ABAC)，又AB，AC为单位向量，由向量加法的平行四边形法例，知点P的轨|AB|AC|AB|AC|迹为BAC的均分线.7.由二项式定理知，2201041005(31)10053p1，即22010被3除余1，(220101)3，(220102

6、)1(220103)2，故(220101)(220102)(220103)6.8.Va2Vb2(b2a)2(a2b)22a2b2(a2b2)2a2b2c2，9933(2Vc)2(23h2(ab)242(ab)4c242a4b4，9c9c2作商，有Va2Vb2c4(a2b2)2(2ab)21，故Va2Vb2(2Vc)2.(2Vc)24a2b24a2b24a2b2二、解答题1.解：设交点A、B的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，由yax1消去y，得3x2y21(3a2)x22ax20，由韦达定理，得x1x22a，23a2x1x2，3a2以AB为直径的圆恰巧过坐标系的原点，OAOB，x1x2

7、y1y20，即x1x2(ax11)(ax21)0，整理，得(a21)x1x2a(x1x2)10将代入，并化简得1a20，a1，3a2经查验，a1的确知足题目条件，故存在实数a知足题目条件.2.证明：假定存在这样的函数f，则对随意的整数n，设f(n)a，f(n5)b，此中a,b1,2,3，由条件知ab.因为|(n5)(n2)|3，|n(n2)|2，f(n2)a且f(n2)b，即f(n2)是1,2,3除掉a，b后剩下的那个数，不如设f(n2)c又因为|(n5)(n3)|2，|n(n3)|3，f(n3)f(n2).以n1取代n，得f(n4)f(n3)f(n2)，但这与|(n4)(n2)|2矛盾！所以假定不建立，即不存在这样的函数f.证明：先证左侧的不等式.abc1，abbcca(abbcca)(abc)a2bab2b2cbc2a2cac23abc6abc3abc9abc再证右侧的不等式.不如设abc，注意到条件abc1，得14(abbcca)9abc