交通工程学第四章

1、第四章 交通流理论4.1 概述（了解）4.2 交通流的统计分布特性 （理解）4.3 排队论模型 （理解）4.4 跟驰模型 （理解）4.5 流体模型 （熟练掌握）第四章 交通流理论 交通流理论是交通工程学的基本理论，是借助于物理、数学的定律与方法来阐明交通流基本特性的一种论。4.1 概述4.1 概述交通设施分类：交通设施从广义上被分为连续流设施与间断流设施两大类。 连续流主要存在于设置了连续流设施的高速公路及一些限制出入口的路段。 间断流设施是指那些由于外部设备而导致了交通流周期性中断的设置。 连续交通流的拥挤分析(1) 交通拥挤的类型 周期性的拥挤 非周期性的拥挤 (2) 瓶颈处的交通流(3)

2、 交通密度分析(4) 非周期性拥挤 4.1 概述4.2.1 交通流统计分布的含义4.2.2 离散型分布4.2.3 连续性分布4.2 交通流的统计分布特性 为什么做交通流统计分析？ 车辆的到达在某种程度上具有随机性，描述这种随机性统计规律的方法称为交通流的统计分布。离散型分布：考察在一段固定长度的时间内到达某场所的交通量或一定距离内分布的交通量的波动性。 如：信号周期内到达的车辆数。连续型分布：以描述事件之间时间间隔的连续型分布为工具，研究事件发生的间隔时间或距离的统计分布特性。 如：车头时距分布、速度分布和可穿越空档分布。 4.2.1 交通流统计分布的含义4.2.2 离散型分布4.2.2.1

3、泊松分布4.2.2.2 二项分布4.2.2.1 泊松分布（1）基本公式 ， k0，1，2， Pk在计数间隔t内到达k辆车的概率；单位时间间隔的平均到达率（辆/s）； t每个计数间隔持续的时间（s）。若令m=t为计数间隔t内平均到达的车辆数，则 ，当m为已知时，可求出在计数间隔t内恰好有k辆车到达的概率。（2）递推公式： （3）适用条件：车流密度不大，车辆间相互影响较弱，其他外界干扰因素基本上不存在，即车流是随机的。（4）泊松分布的均值M和方差D都等于t，因此，当观测数据表明S2/m=1.0时，就是泊松分布不合适的表示。 m在某一给定时间间隔周期内到达车辆的平均数； S2各车辆到达数与均值之差的

4、平方和的平均数。（5）概率公式： 到达数小于x辆车的概率：到达数小于或等于x辆车的概率：到达数大于x辆车的概率：（5）概率公式： 到达数大于或等于x辆车的概率：到达数至少是L但是不超过x辆车的概率： 均值：方差：4.2.2.1 泊松分布例4-1 某路段每小时有120辆车通过，假设车辆到达服从泊松分布，问在指定的某一分钟内有3辆车通过的概率是多大，而一分钟内不超过3辆车的概率又是多大。 （5）应用举例例4-2 某信号灯交叉口的周期C=97s,有效绿灯时间g =44s,在有效绿灯时间内排队的车流以S=900（辆/h）的交通量通过交叉口，在有效绿灯时间外到达的车辆要停车排队。设信号灯交叉口上游车辆的

5、到达率q=369（辆/h），服从泊松分布公式中，求到达车辆不致二次排队的周期数占周期总数的最大百分率。 4.2.2.1 泊松分布（续）例42解：一个周期内能通过的最大车辆数AgS90044/360011辆，当某周期到达的车辆数N11辆时，则最后到达的（N-11）辆车就不能在本周期内通过而发生二次排队。 在泊松分布中，一个周期内平均到达的车辆数m=t36997/36009.9辆。 则可能到达车辆数大于11辆的周期出现的概率为 即到达车辆不致两次排队的周期数最多占71。4.2.2.2 二项分布（1）基本公式： ，k0，1，2，Pk在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率；单位时间间隔的平均到达率（辆

6、/s或人/s）；t每个计数间隔持续的时间（s）或距离（m）；n观测次数，正整数。通常记 ，则二项分布为：4.1.2.2 二项分布（续）（2）递推公式：（3）适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。（4）分布的均值M和方差D分别为M=np，D=np(1-p)，显然有MD。用观测数据计算出来的样本均值m和方差S2代替M和D，当S2/m显著大于1.0时，就是二项分布不适的表示。（2）概率公式：到达数小于x辆车的概率：到达数大于x辆车的概率：二项分布参数的确定： ： 在某条公路上，上午高峰期间，以15s间隔观测到达车辆数，得到的结果列入下表，试用二项分布拟合。 例题： 解题：思路：确定 参数和

7、解： 因为 ，用二项分布拟合是合适的。因此：取16。因此，拟合上表中数据的二项分布函数为： 解题： 一交叉口设置了专供左转的信号相位，经研究指出，来车符合二项分布，每一周期内平均到达20辆车，有25%的车辆左转但无右转。求：(1)到达三辆车中有一辆左转的概率；(2)某一周期不使用左转信号相的概率。 例题： 离散型分布拟合优度检验 检验 检验的基本原理及方法：（1）建立原假设H0；（2）选择适宜的统计量；（3）确定统计量的临界值；（4）判定统计检验结果。 离散型分布拟合优度检验 检验 离散型分布拟合优度检验 检验 离散型分布拟合优度检验 检验 离散型分布拟合优度检验 检验 4.2.3 连续型分布

8、4.2.3.1 负指数分布4.2.3.2 移位负指数分布4.2.3.1 负指数分布（1） 基本公式：P(ht)到达的车头时距h大于t秒的概率；车流的平均到达率(辆/s)。推导：由 可知，在计数间隔t内没有车辆（k0）到达的概率 ，这表明，在具体的时间间隔t内，无车辆到达，则上次车到达和下次车到达之间，车头时距至少有t，即 。4.2.3.1 负指数分布（续）（2）负指数分布的均值M和方差D分别为M=1/，D=1/2，用样本均值m代替M、样本的方差S2代替D，既可算出负指数分布的参数 。（3）适用条件：用于描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的车头时距分布，它常与计数的泊松分布相对应。

9、（4）负指数分布的概率密度函数 是单降的，车头时距越短，其出现的概率越大，但车头时距至少有一个车长，所以车头时距必有一个大于零的最小值。车头时距服从负指数分布的车流特性见图，曲线是单调下降的，说明车头时距愈短，出现的概率愈大。这种情形在不能超车的单列车流中是不可能出现的，因为车辆的车头与车头之间至少存在一个车长，所以车头时距必有一个大于零的最小值。4.2.3.1 负指数分布（续）4.2.3.1 负指数分布（续）4.2.3.2 移位负指数分布（1）基本公式 为克服负指数分布的车头时距趋近于零其频率出现愈大这一缺点，可将负指数分布曲线从原点O沿t向右移一个最小间隔长度，得到移位负指数分布曲线：大于

10、零的一个最小车头时距，一般在1.01.5s之间。（2）移位负指数分布的均值M和方差D分别为M=1/+ ，D=1/2，用样本均值m代替M、样本的方差S2代替D，则可算出移位负指数分布的参数和 。4.2.3.2 移位负指数分布（续）（3）适用条件 用于描述不能超车的单列车流的车头时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。（4）移位负指数分布的局限 移位负指数分布的概率密度函数曲线是随t-单调递降的，车头时距愈接近，其出现的可能性愈大。这在一般情况下是不符合驾驶员的心理习惯和行车特点的。从统计角度看，车头时距分布的概率密度曲线一般总是先升后降的。 【例题】在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向流量为3

11、60辆/h，该方向路宽7.5m，设行人步行速度为1m/s，求1h中提供给行人安全横过单向车道的次数，如果单向流量增加到900辆/h， 1h中提供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减少。 活学活用 你做对了吗？4.3.1 引言4.3.2 基本概念与原理4.3.3 M/M/1系统应用4.3 排队论模型1. 定义：排队论是研究服务系统因“需求”拥挤而产生等待行列(即排队)的现象，以及合理协调“需求”与“服务关系的一种数学理论，是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称随机服务系统理论。【食堂、医院、超市、银行、买火车票等等】4.3.1 引言2 排队论的应用：研究排队论实质上是解决最优化问题，在

12、交通设计和管理方面有动态优化和静态优化动态优化：是指排队系统的运营，也就是按什么方式接收服务，常见的例子有：行人管理、交通信号控制、对车行道上延滞的处理静态优化：是指合理的设计方案，比如：高速公路收费口的设计、地上地下停车场的设计、加油站的设计等。4.3.1 引言4.3.2 基本概念与原理1基本概念(1) 顾客：要求服务的人或物（车）。(2) 服务台：为顾客服务的人或物。（交叉口、收费站）(3) 排队：等待服务的顾客，不包括正在被服务的顾客。(4) 排队系统：既包括了等待服务的顾客，又包括了正在被服务的顾客。1基本概念(5) 队长：有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，平均顾客数（期望值）。(6

13、) 等待时间：顾客到达时起至开始接受服务时止的这段时间。(7) 逗留时间：一个顾客在系统中停留的时间。(8) 忙期：服务台连续繁忙的时期。4.3.2 基本概念与原理2排队系统的组成(1) 输入过程：就是指各种类型的顾客(车辆或行人)按怎样的规律到达。有各式各样的输入过程，例如：D定长输入：顾客等时距到达。M泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。Ek爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。4.3.2 基本概念与原理2排队系统的组成(2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如：损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他

14、们就排成队伍，等待服务，服务次序有先到先服务(这是最通常的情形)和优先权服务(如急救车、消防车优先)等多种规则。混合制：顾客到达时，若队伍长小于L，就排入队伍；若队伍长大于等于L，顾客就离去，永不再来。4.3.2 基本概念与原理(3) 服务方式：指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。每次服务可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。D定长分布：每一顾客的服务时间都相等；M负指数分布：即各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布。Ek爱尔朗分布：即各顾客的服务时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。2排队系统的组成4.3.2 基本概念与原理3服务台的排列方式4.3.2 基本

15、概念与原理M/M/1系统（单通道服务系统）的基本概念：由于排队等待接受服务的通道只有单独的一条，因此也叫做“单通道服务”系统。4.3.3 M/M/1系统应用主要参数：设平均到达率为，则两次到达的平均间隔时间（时距）为1/；设排队从单通道接受服务后出来的系统平均服务率（输出率）为， 则平均服务时间为1/ ；比率： 称为交通强度或利用系数，由比率即可确定各种状态的性质。4.3.3 M/M/1系统应用4.3.3 M/M/1系统应用当1（即），且时间充分，每个状态都会以非0的概率反复出现；当1（即），任何状态都是不稳定的，且排队会越来越长。要保持稳定状态，确保单通道排队消散的条件是1。例如：某高速公路

16、进口收费站平均每10s有一辆车到达，收费站发放通行卡的时间平均需要8s，即: 1/=10s； 1/=8s 如果时间充分，这个收费站不会出现大量阻塞。在系统中没有顾客的概率为（即没有接受服务，也没有排队）：在系统中有n 个顾客的概率为（包括接受服务的顾客与排队的顾客之和）：在系统中的平均顾客数为（平均接受服务的顾客与排队的顾客之和）：4.3.3 M/M/1系统及应用系统中顾客数的方差： 当0.8以后，平均排队长度迅速增加，排队系统变得不稳定，造成系统的服务能力迅速下降。排队系统中平均消耗时间： 是指排队中消耗时间与接受服务所用时间之和。4.3.3 M/M/1系统及应用排队中的平均等待时间： 这里

17、在排队时平均需要等待的时间，不包括接受服务的时间，等于排队系统平均消耗时间与平均服务时间之差。4.3.3 M/M/1系统及应用平均排队长度： 这里是指排队顾客（车辆）的平均排队长度，不包括接受服务的顾客（车辆）。平均非零排队长度： 即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度，即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。4.3.3 M/M/1系统及应用系统中顾客数超过k的概率： 4.3.3 M/M/1系统及应用系统中排队等候的顾客数超过k的概率： 即系统中顾客数超过k+1的概率 4.3.3 M/M/1系统及应用例题1：某条道路上设一观测统计点，车辆到达该点是随机的（

18、服从泊松分布），单向车流量为800辆/h。所有车辆到达该点要求停车领取OD调查卡片，假设工作人员平均能在4s内处理一辆汽车，符合负指数分布。试估计在该点上排队系统中的平均车辆数、平均排队长度、非零排队平均长度、排队系统中的平均消耗时间以及排队中的平均等待时间。 M/M/1排队问题例题 例题1答案 例题2：一收费站，车辆到达是随机的，单面车流量为300辆/小时，收费员平均每10秒完成一次收费并放行一辆汽车，符合负指数分布。试后计在检查站上挤占队系统中的平均车辆数。平均排队长度，平均消耗时间及平均等待时间。M/M/1排队问题例题2例题3：某收费公路入口处设有一收费亭，汽车进入公路必须向收费亭交费。

19、收费亭的收费时间服从负指数分布，平均每辆车的交费时间为7.2秒，汽车到达率为400辆/h，并服从泊松分布。求： 收费人员空闲的概率； 收费亭前没有车辆排队的概率； 收费亭前排队长度超过12辆的概率； 平均排队长度； 车辆通过收费亭所花费时间的平均值； 车辆的平均排队时间。M/M/1排队问题例题3 例题3答案例题4 有一超市的收款员平均每小时服务30人，顾客平均每小时25人的速率到达。问（1）有一名顾客或更多顾客排队的平均队长？ （2）欲使平均队长减少一人，服务时间要如何改进才能适应需求？解： =25（人/h）, =30 （人/h） =/=0.83 1 ，排队系统是稳定的。则得到p=0.8， =

20、/得到=31 （人/h）M/M/1排队问题例题41. 行车时间2. 延误延误指车辆在行驶中，由于受到驾驶员无法控制的或意外的其他车辆的干扰或交通控制设施等的阻碍所损失的时间。行车时间指汽车沿一定路线在实际交通条件下从一处到达另一处行车所需总时间(包括停车和延误)。简化排队论的延误分析基本延误(固定延误)：由交通控制装置所引起的延误，与道路交通量多少及其他车辆干扰无关的延误。运行延误：由于各种交通组成间相互干扰而产生的延误。一般它含纵向、横向与外部和内部的干扰，如停车等待横穿、交通拥挤、连续停车以及由于行人和转弯车辆影响而损失的时间。行车时间延误：指车辆在实际交通流条件下由于该车本身的加速、减速

21、或停车而引起 时间延误，即与外部干扰无关的延误；停车延误：由于某些原因使车辆实际停止不动而引起的时间延误。简化排队论的延误分析3. 延误产生的原因基本延误主要产生在车辆通过交叉口时，这种延误与交通流动特性无关，是由信号、停车标志、让路标志及平交道口等原因造成的。运行延误是因受其他车辆或行人干扰而产生的。车辆干扰，如车辆停止、启动、转弯、故障以及行人过街等的干扰交通内部干扰，如交通量增大产生拥挤、道路通行能力不足、合流及交织交通等的影响。简化排队论的延误分析简化排队论的延误分析例题答案 例题： 已知信号控制交叉口，其进口道的红灯时间为40S，绿灯时间为45S，黄灯时间为5S。假设该进口道上游的交

22、通流均匀到达，其到达率为600辆/小时，绿灯亮启后的饱和流率为1200辆/小时，每周期绿灯信号结束时进口道无残留排队车辆。试求该进口的最长排队延误、最大排队车辆、绿灯亮启后排队的消散时间，受阻车辆总数。简化排队论的延误分析4.4.1 车辆跟驰特性分析4.4.2 线形跟驰模型4.4 跟驰模型4.4.1 车辆跟驰特性分析一、引言原理：跟驰理论是运用动力学方法，探究在无法超车的单一车道上车辆列队行驶时，用数学理论描述后车跟随前车的行驶状态。发展：1950年 鲁契尔与1953年派普斯奠定基础； 1960年 赫尔曼与罗瑟瑞进一步扩充； 1961年 伽塞斯提出了最一般跟驰模型。适用范围：非自由行驶状态下车

23、队的特性：密度高、车间距离不大，车队中人一辆车的车速都受前车速度的制约，司机只能按照前车所提供的信息采用相应的车速。二、车辆跟驰特性分析1制约性紧随要求：司机不愿落后很多，而是紧跟前车前进车速条件：后车速度不能长时间大于前车的速度，否则会追尾间距条件：前后车之间必须保持一个安全距离4.4.1 车辆跟驰特性分析4.4.1 车辆跟驰特性分析二、车辆跟驰特性分析2. 延迟性前车运行状态改变之后，后车也要相应作出改变，但是这种改变不是同步的。有一个反应时间的延迟。3. 传递性第1辆车的状态改变第2辆车状态改变第3辆车改变由于延迟性的存在，这种传递不是平滑连续的，而是脉冲一样间断连续的三、线性跟驰模型跟

24、驰模型是一种刺激反应的表达式。一个驾驶员所接受的刺激是指其前方导引车的加速或减速以及随之而发生的这两车之间的速度差和车间距离的变化；该驾驶员对刺激的反应是指其为了紧密而安全地跟踪前车地加速或减速动作及其实际效果。4.4.1 车辆跟驰特性分析4.4.1 车辆跟驰特性分析三、线性跟驰模型4.4.1 车辆跟驰特性分析三、线性跟驰模型4.4.1 车辆跟驰特性分析三、线性跟驰模型4.4.1 车辆跟驰特性分析三、线性跟驰模型缺陷：后车反应只依赖于它与前导车的速度差，而与两车间距及后随车本身的速度无关事实上：两车间距愈小，尾撞危险越大；后车速度越高，一旦尾撞事故越严重，要求反应越迅速有效。因此将模型推广为：

25、4.4.1 车辆跟驰特性分析4.5.1 理论概述4.5.2 车流连续性方程4.5.3 波动理论4.5.4 交通波理论的应用举例4.5 流体模型1955年，英国学者莱脱希尔和惠特汉提出。车流波动理论的定义：通过分析车流波的传播速度，以寻求车流流量和密度、速度之间的关系，并描述车流的拥挤消散过程。适用条件：流体力学模拟理论假定在车流中各个单个车辆的行驶状态与它前面的车辆完全一样，这与实际不符，因此该模型运用于车辆拥挤路段较为合适。4.5.1 理论概述车流连续性方程的建立 设车流顺次通过断面和的时间间隔为t，两断面得间距为x。车流在断面的流入量为Q、密度为K；同时，车流在断面得流出量为：(Q+q)，

26、 (K-K)，其中： K的前面加一负号，表示在拥挤状态，车流密度随车流量增加而减小。 x tQ KQ+Q K-K KQ(K,Q)(K-K,Q+Q ) 根据物质守恒定律，在t时间内： 流入量-流出量=x内车辆数的变化， 即： Q-(Q+Q)t=K-(K-K)x 或： 取极限可得： 含义为：当车流量随距离而降低时，车辆密度随时间而增大。车流连续性方程的建立 列队行驶的车辆在信号交叉口遇到红灯后，即陆续停车排队而集结成密度高的队列；当绿灯开启后，排队的车辆又陆续起动疏散成一列具有适当密度的队列。 车流中两种不同密度部分的分界面掠过一辆辆车向车队后部传播的现象，称为车流的波动。 此车流波动沿道路移动的

27、速度称为波速。车流波及波速波速公式的推导： 假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度区域（K1和K2）用垂线S分割这两种密度，称S为波阵面，设S的速度为w（ w为垂线S相对于路面的绝对速度），并规定垂线S的速度w沿车流运行方向为正。由流量守恒可知，在t 时间内由A进入S面的车辆数等于由S面驶入B的车辆数，即： 式中: (V1-w)、(V2-w)分别为车辆进出S 面前后相对于S 面的速度。V1=100km/hK1=10辆/kmV2=80km/h K2=14辆/km 车头间距71mwwK1 V1K2 V2ABSS 由： 规定：当K2K1，密度增加，产生的w为集结波。车流波及波速 当Q2Q1 、K2

28、Q1 、K2K1时，产生一个集结波， w为正值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相同的方向，以相对路面为w的速度移动。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)车流波及波速 当Q2K1时，产生一个集结波， w为负值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相反的方向，以相对路面为w的速度移动。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)车流波及波速 当Q2Q1 、K2K1时，产生一个集结波， w=0，集结波在波动产生的那一点原地集结。KQ(K1,Q1)(K2,Q2)车流波及波速 当Q2=Q1 、K2K1时，产生一个消散波， w=0，消散波在波动产生的那一点原地消散。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)车流波及波速车流波

29、及波速 停车波： 推导过程见书：P124 启动波： 推导过程见书：P125 4.5.4 交通波理论的应用举例 例题 车流在一条6车道的公路上畅通行驶，其速度为V=80km/h，高峰时流量为4200辆/h（单向）。路上有座4车道的桥，每车道的通行能力为1940辆/h。在过渡段的车速降至22km/h，这样持续了1.69h，然后车流量减到1956辆/h（单向）。试估计桥前车辆的排队长度和阻塞时间。 （1）分析道路上瓶颈地段的车流状况（2）低速车插入高速车流产生的影响（3）车队在信号等交叉口处的排队长度4.5.4交通波理论的应用举例（续）解：（1）排队长度 在能畅通行驶的车道里没有堵塞现象，其密度为

30、在过渡段，由于该处只能通过3800辆/,而现在需要通过4200辆/h，故出现拥挤，其密度为波速平均排队长度4.5.4交通波理论的应用举例（续）（2）计算堵塞时间 已知高峰后的车流量q31956辆/h3880辆/h，表明通行能力已有富裕，排队已开始消散。 排队车辆疏散车辆则排队消散时间则阻塞时间例：道路上的车流量为720辆/h，车速为60 km/h，今有一辆超限汽车以30km/h的速度进入交通流并行驶5km后离去，由于无法超车，就在该超限车后形成一低速车队，密度为40辆/km，该超限车离去后，受到拥挤低速车队以车速50km/h，密度为25辆/km的车流疏散，计算： (1)拥挤消散时间ts；(2)

31、拥挤持续时间tj；(3)最大排队长度；(4)排队最长时的排队车辆数；(5) 参与过排队的车辆总数。4.5.4交通波理论的应用举例（续）4.5.4交通波理论的应用举例（续） 解：三种状态的Q、K、V分别如图所示： 超限车进入后，车流由状态变为状态 ，将产生一个集结波：（注意集结波的方向！）5km Q1=720V1=60K1=12 Q2=1200V2=30K2=40 Q3=1250V3=50K3=25 w1 w2 超限车插入后，领头超限车的速度为30km/h，集结波由超限车进入点以w1=17.14km/h的速度沿车流方向运动。如果这种状况持续1h， 1h后跟在超限车后的低速车队长度为：30-17.14=12.86 km。但超限车行驶5km后离去，超限车行驶5km所用集结时间为：ta=5/30=0.