大一下高数9第六节微分法在几何上的应用

1、第六微分法在几何上的应第六微分法在几何上的应一、空间曲线的切线与法平x(ty 一、空间曲线的切线与法平x(ty (tz (tz(1)式中的三个函数均可导Mx0y0z0),t t0M(x0 x,y0 y,z0 z)MMoyx对应于t t.0zMMM y zxMoyx割线趋近于极限位置x y zzMMM y zxMoyx割线趋近于极限位置x y z 上式分母同除以t,当M M,即t 01、曲线在Mx (t0 y (t0 z当M M,即t 01、曲线在Mx (t0 y (t0 z (t0 .切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量(t),(t )(tT000切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量

2、：切线的方向向量称为曲线的切向量(t ),(t),(t )T0002、法平面：过M点且与切线垂直的平面(t0)(x x0)(t0)(y y0)(t0)(zz0)t求曲线x ucosudu，y 2sin例0cost,zt求曲线x ucosudu，y 2sin例0cost,z1e3t在t 0处的切线和法平面方程t求曲线x ucosudu，y 2sin例0costt求曲线x ucosudu，y 2sin例0cost,z1e3t在t 0处的切线和法平面方程当t 0 x 0y 1z 解y 2costsint,xetcost,z 3e3ty(0) z(0) x(0) x0 y1 z2123x2(y1)3(

3、z2) x2y 3z8 ,x)在0,x z , ,x)在0,x z ,切线方程 ( 1)y z )0.0F(x,y,z) G(x,y,z) x y z ,GyGxGxGy000(F(x,y,z) G(x,y,z) x y z ,GyGxGxGy000(y y ) (x x ) (z )000GGGGGGyzxyzx000 求曲线x2 y2 z2 求曲线x2 y2 z2 6x yz 0例2求曲线x2 y2 z2 6x yz 0例2求曲线x2 y2 z2 6x yz 0例2直接利用公式将所给方程的两边对dy z xydy zdz y x ,dxy dx(1,2,dx(1,2,T dx(1,2,dx

4、(1,2,T 1,x1y2 z1,10(x1)0(y2)(z1) xz 二、曲面的切平面与法二、曲面的切平面与法F(x,y,z)x(ty (t (tT (t0),(t0),(t0),Mn(,),F (,),F (, ,)令x00n(,),F (,),F (, ,)令x000y000z000nT由于曲线是曲面上通过M的任意一条曲线，它们在M 的切线都与同一向垂直n面上通过M的一切曲线在点M的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M的切平面Fx(x0,y0,z0)(x x0)Fy(x0,y0,z0)(y y0Fz(x0,y0,z0)(zz0)通过点Mx0, y0z0 )2称为曲面在该点的法线x

5、y zFx(x0,y0,z0Fy通过点Mx0, y0z0 )2称为曲面在该点的法线x y zFx(x0,y0,z0Fy(x0,y0,z0Fz(x0,y0,z0n(,),F (,),F (, ,)x000y000z000y2z10在点求旋转抛物面 x2处的切平面及法线方程y2z10在点求旋转抛物面 x2处的切平面及法线方程求旋转抛物面z x y2 1在点例3处的切平面及法线方程f(x,y)求旋转抛物面z x y2 1在点例3处的切平面及法线方程f(x,y) x2 y2 解 2x, 2y, 4,2,1n(4(x2)2(y1)(z4) 4x2y z6 x2 y1 z442z f(x,y)F(x,y,

6、z)f(x,y) z,令fx(x0,y0)(xz f(x,y)F(x,y,z)f(x,y) z,令fx(x0,y0)(x x0)fy(x0,y0)(y y0) z z0 x y z .fx(x0,y0fy(x0,y0函数zf x,函数zf x, y)在点x0 y0的全微z fx, y)在x0y0)z fx, y在点x y z 处的000zfx(x0,y0)(x x0) fy(x0,y0)(y y0若 、 、 表示曲面的法向量的方向角并假定法向量的方向是向上的，即使得它与轴的正向所成的角是锐角，则法向量的方向fxcos ,12x2yfffcos ,fx 若 、 、 表示曲面的法向量的方向角并假定

7、法向量的方向是向上的，即使得它与轴的正向所成的角是锐角，则法向量的方向fxcos ,12x2yfffcos ,fx fy 12x2yfffx(x0,y0fy(x0,y01.12x2yff求曲面zez 2xy 3在点(1,2,0)处的求曲面zez 2xy 3在点(1,2,0)处的例4求曲面zez 2xy 3在点(1,2,0)处的例4F(x,y,z) 求曲面zez 2xy 3在点(1,2,0)处的例4F(x,y,z) zez 2xy令解(1,2,0) 2(1,2,0) Fx(1,2,0) 2y(1,2,0) F1ez z(1,2,0)(1,2,0)4(x1)2(y2)0(z0) 2x y4 x1y

8、2 z0210求曲面 x2 2y2 3z2 21平行于平面例5x 4y 6求曲面 x2 2y2 3z2 21平行于平面例5x 4y 6z 0的各切平面方程平行于平面求曲23例x 解5yz 0 xy0 0) 曲面上的切点切平面方程0( yz602()0依题意，切平面方程平行于已知平面24平行于平面求曲23例x 解5yz 0 xy0 0) 曲面上的切点切平面方程0( yz602()0依题意，切平面方程平行于已知平面242 .000146因为x0y0z0因为x0y0z0)x0 2(x1)8(y2)12(z2)x4y6z 2(x1)8(y2)12(z2)x4y6z 关键：关键：思思考如果平面3xy3z16 0与椭球面 3x2 y2 z2 16相切，求.设切y0, 332 , z 0 依题意知切向量,6x yz设切y0, 332 , z 0 依题意知切向量,6x yz,000003切点满足曲面和平面方, ., y 1 tz t2再对应于t , y 1 tz t2再对应于t 1的点处切线t1x 1 t方程法平面方程(2,1,0) 2ez xy 法线方程二、 求出曲线x t, y t2z t3线平行于平面x 2y z 4.求球面 x2 y2 z2 6与抛物面 z x2 y的交线在.四、求椭球面x2 2y四、求椭球面x2 2y2 z2 1上