2022-2023学年北京西第四中学高二数学理联考试题含解析

1、2022-2023学年北京西第四中学高二数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 参考答案：C解析：令则,连异面直线与所成的角即与所成的角。在中由余弦定理易得。2. 如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量ab可表示为()A3e2e1B2e14e2Ce13e2D3e1e2参考答案：C3. 已知的周长是16，B, 则动点C的轨迹方程是( )A B C D参考答案：B略4. 双曲线的渐近线方程是A B C D参考答案：A略

2、5. 已知点、，直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是 （ ）A或 B或C D参考答案：A略6. “”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：A7. 函数f(x)的图象是如图所示的折线段OAB，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)定义函数g(x)f(x)(x1)，则函数g(x)的最大值为 A0 B2 C1 D4参考答案：C略8. 已知，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为( )A B C D参考答案：C略9. 过坐标原点O作圆的两条切线，切点为A，B，直线AB被圆截得弦|AB|的长度为A. B. C.

3、 D. 参考答案：B10. 设，则导函数等于（ ）A B C D参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若ABC中，三个内角A、B、C成等差数列，且，则边b的取值范围是_。参考答案：12. 由“若直角三角形两直角边的长分别为，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径为”. 对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球半径为R= .参考答案：13. 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数（x）组成的集合：对于函数（x），存在一个正数M，使得函数（x）的值域包含于区间M，M例如

4、，当1（x）=x3，2（x）=sinx时，1（x）A，2（x）B现有如下命题：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）A”的充要条件是“?bR，?aD，f（a）=b”；函数f（x）B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）A，g（x）B，则f（x）+g（x）?B若函数f（x）=aln（x+2）+（x2，aR）有最大值，则f（x）B其中的真命题有（写出所有真命题的序号）参考答案：【考点】命题的真假判断与应用；充要条件；全称命题；特称命题；函数的值域【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题是否正确，再利用导数研究命题中函数的值域，可得

5、到其真假情况，从而得到本题的结论【解答】解：（1）对于命题，若对任意的bR，都?aD使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R反之，f（x）的值域为R，则对任意的bR，都?aD使得f（a）=b，故是真命题； （2）对于命题，若函数f（x）B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间M，MMf（x）M例如：函数f（x）满足2f（x）5，则有5f（x）5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故是假命题； （3）对于命题，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）A，g（x）B，则f（x）值域为R，f（x）（，+），并且存在一个正数M，使得Mg（x）M故f（x）+g（x）（，+）则f（x

6、）+g（x）?B，故是真命题； （4）对于命题，当a0或a0时，aln（x+2）（，+），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）B，故是真命题故答案为14. 已知为双曲线上一点，为该双曲线的左、右焦点，若则的面积为 参考答案：略15. 若函数f（x）=，则f（f（2）= 参考答案：【考点】函数的值；分段函数的应用【分析】由函数f（x）=，将x=2代入计算可得答案【解答】解：函数f（x）=，f（f（2）=f（）=，故答案为：16. 将3名男生和4名女生排成一行，甲、乙两人必须站在两头，则不同的排列方法共有 种。（用数字作答） 参考答案：240 略17. 已

7、知x，y的值如下表所示：x234y546如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，那么b= .参考答案：0.5三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知数列的前项和(1) 求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和参考答案：解析：(1)时，; 当 6分 (2) 设的前项和为，当时， ；时， 12分19. 某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励已知此技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为，被乙小组攻克的概率为（）设为攻关期满时获奖的攻关小组数，求的

8、分布列及；（）设为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“”为事件，求事件的概率参考答案：（）解：记“甲攻关小组获奖”为事件A，则，记“乙攻关小组获奖”为事件B，则 1分由题意，的所有可能取值为0，1，2 ， ， 4分的分布列为：012P 6分（）获奖攻关小组数的可能取值为0，1，2，相对应没有获奖的攻关小组的取值为2，1，0的可能取值为0，4当时,即 12分略20. 在经济学中，函数的边际函数M定义为M=，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差。 （1）求利润函数及边际利润函数M； （2）利润函数与边际利润函数M是否具有相同的最大值？参考答案：21. 已知函数f（x）=x?lnx（e为无理数，e2.718）（1）求函数f（x）在点（e，f（e）处的切线方程；（2）设实数a，求函数f（x）在a，2a上的最小值；（3）若k为正数，且f（x）（k1）xk对任意x1恒成立，求k的最大值参考答案：解：4分（2）时，单调递减；当时，单调递增.当 8分(3) 方法1：记则当时，在上为增函数，符合11分当时，在上为减函数，在上为增函数 ，不符合综上可知，k的最大值是3 14分方法2：对任意恒成立，即对任意恒成立， 即对任意恒成立令令在上单调递增。所以存在唯一零