湖南省永州市第五中学2020-2021学年高三数学理模拟试题含解析

1、湖南省永州市第五中学2020-2021学年高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则的大小关系是（）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于，而，故.综上所述，故选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对

2、数和指数函数的性质.2. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，该双曲线的离心率为，则（ ）A. 2B. C. D. 参考答案：D由已知条件求出圆的方程和直线方程,联立求出在第一象限的交点M坐标,由两点间距离公式,求出离心率的平方. 涉及的公式有双曲线中,两点间距离公式, 求根公式等.解答：以线段 为直径的圆方程为 ,双曲线经过第一象限的渐近线方程为 ,联立方程 ,求得 ,因为 ,所以有 又 ,平方化简得 ,由求根公式有 (负值舍去).选D.说明：本题主要以双曲线的离心率为载体设问，考查双曲线的定义以及双曲线与直线的位置关系.3. 已知函数对

3、任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是( )A B C D 参考答案：【知识点】导数的应用；构造函数法.B12【答案解析】D 解析：设，则，因为对任意的满足，所以在上恒成立，所以是上的增函数，所以，即.故选D.【思路点拨】根据已知条件，构造函数，利用导数确定函数在上的单调性，从而得到正确选项.4. 若点P是ABC所在平面内的一点，且满足,则ABP与ABC的面积比为（ ）A B C D 参考答案：B略5. 以为焦点的抛物线C的准线与双曲线相交于M，N两点，若MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为ABCD参考答案：C6. 已知集合A=x|x216，B=m，若AB=A，则实数m的取

4、值范围是（）A（，4）B4，+）C4，4D（，44，+）参考答案：D【考点】并集及其运算【分析】化简集合A、B，根据AB=A，得出B?A；从而求出实数m的取值范围【解答】解：集合A=x|x216=x|x4或x4，B=m，且AB=A，B?A；m4，或m4，实数m的取值范围是（，44，+）故答案为：D7. 复数的虚部为 （ ） Al Bi C D参考答案：C略8. 已知函数则下列结论正确的是（ ）A.是偶函数 B. 是增函数 C.是周期函数 D.的值域为参考答案：D9. 已知x，yR，i为虚数单位，且(x2)iy1，则(1i)xy的值为()A4 B4 C2i D22i参考答案：D略10. 已知圆C

5、：的圆心为抛物线的焦点，直线3x4y20与圆 C相切，则该圆的方程为( )ABCD参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知变量,满足约束条件,则的最大值是 . 参考答案：512. 若，且则的定义域为 .参考答案：13. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则= 参考答案：14. 若直线始终平分圆的周长，则的值为_参考答案：1 15. 已知点,，设的平分线与相交于，如果，那么等于参考答案：试题分析：由题意可知,根据三角形内角平分线定理，可知,根据等合比性质，可知,根据两个向量方向是相反的，所以考点：三角形的内角平分线定理，向量共线的条件.16. 设向量

6、a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= .参考答案：2试题分析：由，得，所以，解得.17. 已知点和圆：，是圆的直径，和是的三等分点，（异于）是圆上的动点，于，直线与交于，则当时，为定值参考答案：设，则， 由得，将代入，得由，得到三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （18分）已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（x0）=f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点（1）若aR且a0，证明：函数f（x）=ax2+xa必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间1，2内有局部对称点，求

7、实数b的取值范围；（3）若函数f（x）=4xm?2x+1+m23在R上有局部对称点，求实数m的取值范围参考答案：考点：函数的图象；函数的值专题：函数的性质及应用分析：（1）根据定义构造方程ax2+xa=0，再利用判别式得到方程有解，问题得以解决（2）根据定义构造方程2x+2x+2b=0在区间1，2上有解，再利用换元法，设t=2x，求出b的范围，问题得以解决（3）根据定义构造方程4x+4x2m（2x+2x）+2（m23）=0（*）在R上有解，再利用换元法，设t=2x+2x，方程变形为t22mt+2m28=0 在区间2，+）内有解，再根据判别式求出m的范围即可解答：解：（1）由f（x）=ax2+x

8、a得f（x）=ax2xa，代入f（x）=f（x） 得ax2+xa+ax2xa=0得到关于x的方程ax2+xa=0（a0），其中=4a2，由于aR且a0，所以0恒成立，所以函数f（x）=ax2+xa必有局部对称点；（2）f（x）=2x+b在区间1，2内有局部对称点，方程2x+2x+2b=0在区间1，2上有解，于是2b=2x+2x，设t=2x，t4，2b=t+，其中2t+，所以b1（3）f（x）=4xm?2x+1+m23，由f（x）=f（x），4xm?2x+1+m23=（4xm?2x+1+m23），于是 4x+4x2m（2x+2x）+2（m23）=0（*）在R上有解，令t=2x+2x（t2），则4

9、x+4x=t22，方程（*）变为t22mt+2m28=0 在区间2，+）内有解，需满足条件：即，化简得1m2点评：本题依据新定义，考查了方程的解得问题以及参数的取值范围，以及换元的思想，转化思想，属于难题19. （本题满分12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析。（1）如果按性别比例分层抽样，男、女生各抽取多少名才符合抽样要求？（2）随机抽出8名，他们的数学、物理分数对应如下表：学生编号12345678数学分数x6065707580859095物理分数y7277808488909395(i)若规定85分以上（包括8

10、5分）为优秀，在该班随机调查一名同学，他的数学和物理分数均为优秀的概率是多少？(ii)根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱。如果有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，说明理由。参考公式：相关系数；回归直线的方程是：，其中，是与对应的回归估计值。参考数据：，。参考答案：解：(1)应选女生名，男生名。(2) (i)由表中可以看出，所选的8名同学中，数学和物理分数均为优秀的有3人，故所求概率是。(ii)变量y与x的相关系数是。可以看出，物理与数学成绩高度正相关。也可以数学成绩x为横坐标，物理

11、成绩y为纵坐标做散点图（略）。从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关。设y与x的线性回归方程是，根据所给数据可以计算出，所以y与x的线性回归方程是。20. 选修4-1几何证明选讲 如图，已知O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD5。（）若，求CD的长；（）若 ADO ：EDO4 ：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。参考答案：（1）因为AB是O的直径，OD5所以ADB90，AB10 在RtABD中， 又，所以，所以。2分 因为ADB90，ABCD所以所以所以，所以 。5分（2）因为AB是O的直径，ABCD，

12、所以，所以BADCDB，AOCAOD.因为AODO，所以BADADO,所以CDBADO。2分设ADO4x，则CDB4x.由ADO ：EDO4 ：1，则EDOx.因为ADOEDOEDB90,所以,所以x10所以AOD180（OADADO）100所以AOCAOD100,故。5分略21. 已知无穷数列的前项和为，且满足，其中、是常数.（1）若，求数列的通项公式；（2）若，且，求数列的前项和；（3）试探究、满足什么条件时，数列是公比不为的等比数列.参考答案：解：（1）由，得； 当时，即所以； （2）由，得，进而，当时，得， 因为，所以，进而 （3）若数列是公比为的等比数列，当时，由，得恒成立.所以，与数列是等比数列矛盾； 当，时，由恒成立，得对于一切正整数都