高等数学复习第四次课件

1、高等数学复习第四次课件高等数学复习第四次课件2/26过 程时 刻从此时刻以后 过 程时 刻从此时刻以后 牛牛文库文档分享4/26过 程时 刻从此时刻以后 过 3/26第四节 无穷小与无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小 二、无穷大四、小结 牛牛文库文档分享5/26第四节 无穷小与无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无4/26一、无穷小1.定义:例如：注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的常数. 牛牛文库文档分享6/26一、无穷小1.定义:例如：注意1.无穷小是变量,不能5/262.无穷小与函数极限的关系:证：必要性充分性意义：1.将一般极限问题转化为特殊极限

2、问题(无穷小);).(,)()(.20 xAxfxxfa误差为附近的近似表达式在给出了函数 牛牛文库文档分享7/262.无穷小与函数极限的关系:证：必要性充分性意义：16/263.无穷小的运算性质:定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.注意：时恒有当当时恒有时恒有当 牛牛文库文档分享8/263.无穷小的运算性质:定理2 在同一过程中,有限个7/26定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证： 牛牛文库文档分享9/26定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证：www8/26在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.常数与无穷小的乘积

3、是无穷小.有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小推论1：推论2：推论3：有限个无穷小之间进行加、减、乘以及数乘运算得到的还是无穷小。小结：问题：无穷小之间进行除运算会得到什么结果呢？ 牛牛文库文档分享10/26在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.9/26二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大. 牛牛文库文档分享11/26二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.www.10/26特殊情形：正无穷大，负无穷大注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 牛牛文库文档分享12/26特殊情形：正无穷大，负无穷大注意1.无穷大

4、是变量11/26不是无穷大无界， 牛牛文库文档分享13/26不是无穷大无界， 牛牛12/26证 牛牛文库文档分享14/26证 牛牛文库文档分享13/26【渐近线】(1)铅直渐近线【例如】是函数的铅直渐近线。(2)水平渐近线(3)小结求渐近线 牛牛文库文档分享15/26【渐近线】(1)铅直渐近线【例如】是函数的铅直14/26例【解】 牛牛文库文档分享16/26例【解】 牛牛文库文档分15/26三、无穷小与无穷大的关系在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.定理4：关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.意义：证明：略 课本P41 牛牛文库文档分享17/26三、无

5、穷小与无穷大的关系在同一过程中,无穷大的倒数16/261、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3） 无界变量未必是无穷大.小结 牛牛文库文档分享18/261、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几17/26第五节 极限运算法则二、求极限方法举例一、极限运算法则三、小结、思考题 牛牛文库文档分享19/26第五节 极限运算法则二、求极限方法举例一、极限18/26一、极限运算法则定理1证：略（课本 P44） 牛牛

6、文库文档分享20/26一、极限运算法则定理1证：略（课本 P44）www19/26推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2推论3(1)、(2)的结论可推广到有限个函数的情形 牛牛文库文档分享21/26推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2推论3(20/26【定理2】设数列【注意】定理1及其两个推论成立的前提条件是： “f (x)与g (x)的极限存在”若则2.数列极限运算法则 牛牛文库文档分享22/26【定理2】设数列【注意】定理1及其两个推论成立的前21/26【定理3】【证】令则由定理3可知由第三节函数极限的局部保号性的推论可知【证完】3.极限保序性 牛牛文库文档分享23/26【定理3

7、】【证】令则由定理3可知由第三节函数极限的22/26定理4(复合函数的极限运算法则）证明： 牛牛文库文档分享24/26定理4(复合函数的极限运算法则）证明：www.ni23/26说明：或可得类似的定理。1、把定理中的换成而把换成2、给出了用变量代换法求复合函数极限理论依据。 牛牛文库文档分享25/26说明：或可得类似的定理。1、把定理中的换成而把换成24/26二、求极限方法举例例1解 牛牛文库文档分享26/26二、求极限方法举例例1解25/26小结: 牛牛文库文档分享27/26小结: 牛牛文库文档分享26/26解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2 牛牛文库文档分享28/26解商的法则

8、不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2ww27/26解例3消去零因子法 牛牛文库文档分享29/26解例3消去零因子法 牛牛28/26例4解无穷小因子分出法 牛牛文库文档分享30/26例4解无穷小因子分出法 29/26小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 牛牛文库文档分享31/26小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子30/26例5（补充）解先变形再求极限. 牛牛文库文档分享32/26例5（补充）解先变形再求极限.www.niuwk.31/26例6解 牛牛文库文档分享33/26例6解 牛牛文库文档分享32/26例7（补充）解左右极限存在且相等, 牛牛文库文档分享34/26例7（补充）解左右极限存在且相等,www.niuw33/26思考题： 1 在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么（1） 是否有极限？为什么？（2） 是否有极限？为什么？作业：P42 6、8 P49 1（3,8,12,1