数学分析课本(华师大三版)习题及答案第十三章

1、第十三章函数列与函数项级数一、证明题1.讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D上是否一致收敛，并说明理由：1fn(x)=x2口2n=12.：D=(-l，l)；x侶话寸1，2，-）；(3)fn(x)=-(n+1)x+1,0 x(n=1，2）；n1(n=1，2）；0,0),若对每个自然数n.有lfn(x)-f(x)IWan,xWD,则fn在D上一致收敛于f.设fn为定义在a,b上的函数列，且对每一个n,fn在点a右连续，但fn(an)是发散的，证明在任何开区间(a,a+5)这里(a+8b)内fn都不一致收敛.设函数项级数u(x)在D上一致收敛于S(x),函数g(x)n在D上有界，证明级数g(x)u

2、(x)在D上一致收敛于ng(x)S(x).5.若在区间I上,对任何自然数n,lun(x)IWVn(x),证明当v(x)在I上一致收敛时，级数u(x)在I也一致收敛.nnun(a)n6.设un(x)(n=l,2，)是a,b上的单调函数，证明un(a)nu(b)都绝对收敛,则级数n收敛.7.在0,1上定义函数列u(x)=n0,1x=n1u(b)都绝对收敛,则级数n收敛.7.在0,1上定义函数列u(x)=n0,1x=n1XHnn=1,2证明：级数u(x)在0,1上一致收敛，但它不存在优级n数.8.证明:级数(-1)nxn(1-x)在0,1上绝对并一致收敛,n，0但由其各项绝对值组成的级数在0,1上却

3、不一致收敛.9.设f为定义在区间(a,b)内的任一函数,记fn(x)=mx),n=1,2,，证明函数列fn在(a,b)内一致收敛于f.设un(x)为a,b上正的递减且收敛于零的函数列，每一个un(x)都是a,b上的单调函数.则级数Ui(x)-U2(x)+U3(x)-U4(x)+在a,b上一致收敛.证明：若函数列fn在a,b上满足定理13.10的条件，则fn在a,b上一致收敛.sinnx在(-8,+)上连续，且有连n3续的导函数.13.证明：定义在0,2n上的函数项级数rncosnxn，0(0r0);15.证明函数E(x)=丄在(1,+g)内连续，且有连续的各nx阶导数.nxTx0在且相等,即l

4、imlimf(x)=limnnTgxTxxTx00 xTx016证明:若函数列fn在x0nxTx0在且相等,即limlimf(x)=limnnTgxTxxTx00 xTx0limf(x)nnTg17.设f在(-8,+)上有任何阶导数，记Fn=f(n),且在任何有限区间内,FnP(ng),试证P(x)=cex(c为常数).、计算题1.判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性.(1)xn(1)xn(n-1)!,xG-r,r；(2)(2)嘗1：,XG-g,+g;(1+x2)n(3)工上,丨(3)工上,丨x|0;xn(4)xn(4),xG0,1.n24.4.设S(x)=n-n,xW(-b,+b),计

5、算积分0S(t)dt.2.讨论下列函数列或函数英级数在所示区间D上的敛散性:(1)f(x)-1,n-1,2,D-(0,1n1+nxsinnx,D-0,2tt;n,1-2n,D=-1,1;(X2+n2)x2+(n-1)2n-2,2nsin,D=(0,+b)3nD=(O,+b)(5)1+(n一(5)1+(n一l)x2(l+nx2)(6),D=-l,0;(7)(1)nX2n+1(7)(1)nX2n+12n+1D=-l,l3.设S(x)=Xn1n2,x-1,1,计算积分J0S(t)dt.4.4.设S(x)=n-n,xW(-b,+b),计算积分0S(t)dt.4.4.设S(x)=n-n,xW(-b,+b

6、),计算积分0S(t)dt.cosnx5.设S(x)=ne-nx(xo),计算积分,怜侧ln2三、考研复习题1.试问K为何值时，下列函数列fn致收敛:(1)fn(x)=xnke-nx,0Wxv+8；xnk，nnnn(2)f(x)=n(2-xnk,5丿0,x1n2证明:若fn(x)ff(x)(n-g)(x丘I),且f在I上有界，则fn至多除有限项外，在I上是一致有界的;(2)若fn(x)=f(x)(n-)(xGI),且对每一个自然数n,fn在I上有界，则fn在I上一致有界.3.设f为上的连续函数，证明：1(1)xnf(x)在2,1上收敛;xnxnf(x)在2，1致收敛的充要条件是f在I2，1上有界且f(1)=04.若把定理13.9中一致收敛函数列fn的每一项在a,b上连续改为在a,b上可积，试证fn在a,b上的极限函数在a,b上也可积.5.证明：由二重极限lim(limcos