数学建模第二章作业答案章绍辉

1、. 习题 作业讲评1. 继续考虑 2.2 节的汽车刹车距”案例，问“两秒准则和“车长度准”一吗？“秒准则是否足够安全？对于安全车，有没有更的建议“两准则，后车司机从前车经某一标志开，数 2 之后到达同一志，不管 车 速 如 何 .刹 车 距 离 与 车 速 的 经 验 公 式 v 解答，速度单位 距离单位 （“秒准则”明前后车距车速成正例关系 . 引 入以下符号 前后车距（ m 车速（m/s；于是“两秒则”的数学型为 K v . 与“一长度准则”相比是一样，依赖一车长度的取 比较 v 与 D v，得： 所以当 （约合 54.43 ）时有 dD，即前后距大于刹车离的理论值认为足够全当 v 时，有

2、 ，即前后车小于刹车离的理论值不够安. 也就 说两秒准则适用于车速算很快的情 .另外还可以通绘图直观解释“秒准则够不够全 .用以下 MATLAB 程序把刹车距实测数据“两秒准则都画在 同一幅图中图 ）学习参考. v=(20:5:80).*0.44704;d2=18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,33422,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,41820,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376;d2=0.3048.*d2;k1=0.75;

3、k2=0.082678; K2=2;d1=v;v;v.*k1;d=d1+d2;plot(0,40,0,K2*40,k)hold onplot(0:40,polyval(k2,k1,0,0:40),:k)plot(v;v;v,d,ok,MarkerSize,2)title( 较刹车距实测数据理论值和秒准则 ) legend( 两秒准则,车距离理论 ,. 刹车距离最小值、平值和最大 ,2)( 速 m/s）( 离（ mhold off学习参考. 比 较 刹 车 距 离 实 测 数 据 、 理 论 值 和 两 秒 准 则两 秒 准 刹 车 距 离 理 论 值刹 车 距 离 的 最 小 值 、 平 均

4、和 最 大 值 5 20 25车 速 （ m/s ）图 1 35 （用最刹车距离以车速，得最大刹车离所需要 的尾随时间表 1 ，以尾随时间依据，提更安全的“ t 秒准则（ 2）后车司机据车速快的范围，从车经 过某一标志始，默数 t 钟之后达同一标志表 尾随时间车速mph)车速m/s) 最大刹车距 m) 尾随时间(20 8.9408 13.411 1.525 11.176 17.831 1.595530 13.411 23.774 1.772735 15.646 29.413 1.879940 17.882 37.795 2.113645 20.117 46.482 2.310650 22.35

5、2 56.693 2.536455 24.587 68.732 2.795560 26.822 81.686 3.045565 29.058 96.469 3.3199学习参考. 70758031.29333.52835.763113.39132.74154.233.623495913125车速mph)t (s)表 t 秒准 0 1035 351 2 3604绘制图 2 MATLAB 序：v=(20:5:80).*0.44704;d2=18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,33422,31,45,58,80,103,131,165,202,245,

6、295,353,41820,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376;d2=0.3048.*d2;k1=0.75; k2=0.082678;d=d2+v;v;v.*k1;vi=0:40;plot(0,10*0.44704,0,10*0.44704,k,.vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,k:,.v;v;v,d,ok,MarkerSize,2)legend(t 秒准则,车距离理值 ,.车距离的小值、平值和最大值,2)hold onplot(10,35*0.44704,2*10,35*0.44704,k,.35,60*0.44

7、704,3*35,60*0.44704,k,.60,75*0.44704,4*60,75*0.44704,k)title(t 秒准则，车距离的模和数据( 速 m/s）( 离（ mhold off学习参考. t 秒 准 则 ， 刹 车 距 离 的 模 型 和 数 180t 秒 160140120刹 车 距 离 理 论 刹 车 距 离 的 最 小 值 、 平 均 和 最 大 值1008060402000 5 车 速 （ m/s 图 230 404. 继续考虑 2.3 “生猪出时机”案，假设在 t 天 的生猪出售市场价格（ 公斤）为 ( ) p (0) gt ht(1)其中 h 价格的平率，取 =0

8、.0002. 其它模假设和参取 值保持不变.试比较1)式与 (2.3.1)，释新的假和原来的假 设的区别与系；在新的假设求解最佳出时机和多赚纯利润； （作灵度分析，别考虑 h 最佳出售机和多赚的纯利润的影；学习参考. （讨论型关于价假设的强健 解答一（用 MATLAB 数值算）（ 1 ）比较 ( 与 (2.3.1) 式， (1)式表明价格先降升，(2.3.1) 假设价格速下降(1)更接近际（图 3） 两个假设都满足 ，在最佳出时机附近误微小（图 ）.绘图的程序p=(t)12-0.08*t+0.0002*t.2;figure(1)n=400;plot(0,n,12,12-0.08*n,k:,.0

9、:.1:n,p(0:.1:n),k)axis(0,400,0,20)title( 型假设1)式与 2.3.1)式的比 legend(p(0) - g t 式,.p(0) - t + h t2 式) xlabel(t （天） )ylabel(p （元 /斤） )figure(2)n=20;plot(0,n,12,12-0.08*n,k:,.0:.1:n,p(0:.1:n),k)title( 型假设1)式与 2.3.1)式的比 legend(p(0) - g t 式,.p(0) - t + h t2 式)xlabel(t （天） ), ylabel(p（元斤） )学习参考/. 模 型 设 (1)式

10、 与 (2.3.1)式 的 比 较20p(0) - g t (1) 式18p(0) - g t + t2 式161412）斤公 10元（ 8p64200 50 100 150 200t （ 天 图 3250 300 350 400模 型 设 (1)式 与 (2.3.1)式 的 比 较12p(0) - g t (1) 式11.8p(0) - g t + t2 式）11.611.4斤公 11.2元（p1110.810.610.402 4 6 8 1012 14 16 18 20t （ 天 图 4学习参考. （在1)和2.3.1)组成的设下，多赚纯利润为 (t ) (0) 保留 h代入其他具体数，得

11、Qt ) ht32t令Q ht 2 解得生猪出时机为 10.16 0.16 6（舍去负根多赚的纯利为 t1 1 1 .代入 =0.0002 ，得t 13.829 天 10.798 1元或者用 MATLAB 数 fminbnd 计，脚本如： C=(t)3.2*t;w=(t)90+t;p=(t,h)12-0.08*t+h*t.2;Q=(t,h)p(t,h).*w(t)-C(t)-90*12;Qh=(t)-Q(t,0.0002);t1=fminbnd(Qh,0,30)Q1=Q(t1,0.0002)为帮助理解可用以下脚绘制图 ： figure(2)tp=0:250;plot(tp,Q(tp,0.000

12、2),k)title( 利润 (t （天） )(Q （元） )学习参考）元（Q. 纯 利 Q1000-100-200-300-400-500-6000 50 100150 200 250t （ 天 图 5（ 3 ） 以 MATLAB 脚 本 敏 QS ( h) ，将结果列 hS , ) t 和结论： 的微小变化对 t Q 影响都很 Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.01);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.01(-Qn-Q1)/Q1/0.01Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.05);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/

13、t1/0.05(-Qn-Q1)/Q1/0.05Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.1);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.1学习参考. (-Qn-Q1)/Q1/0.1表 数值计算最出售时机 t h 的灵敏度 h(%)t (%)S (t , h) t h0.0002020.000210.00022151088612114.4310.414592.11764.35360.414590.423520.43536表 数值计算多的纯利润 Q h 的灵敏度h h(%) (%)S (Q ) 0.0002020.000210.00022151083800111.214

14、0.369361.88023.84790.369360.376040.38479（市场格是经常动的，如果格下跌，往会止跌回稳，模型设 1)式以二次函数刻画价格跌回升的化趋势，果考虑的时段长达数，比 2.3.1)更接近实际（见图 3，但本问题的最出售时机不过 20 ，(1)式与(2.3.1) 在最佳出时机附近常近似（图 4导致的模型解答以由 (2.3.1)导致的解加上灵敏分析所代 . 所以采用更简单的 2.3.1) 式作假设更好具体分析如：由 2 g t ( , h学习参考，得. 12 p( ) gt，代入 h=0.0002，=13.82852279 g=0.08得由于 (t )t g.根据课

15、节代入 S (t g =10算得 t ，与 t=13.829 只相差两天用于以上分计算的 MATLAB 脚本： dg_g=(12-p(ts,0.0002)/ts/0.08-110+dg_g*10*(-5.5)解答二（用 MATLAB 的 Symbolic Math Toolbox MuPAD 软 件符号计算（运行下 MuPAD 语句绘得图 6 和图 (1) 式表价格先降升，在实当中有一定理 . 而(2.3.1) 式假设格匀速下 . 两个假都满足 ，在最佳出售时附近误差微 学习参考. 图 6 假式与1)的较图 7 假式与1)的较(2) 在1)式和(2.3.1)式组的假设下保留 h，代入其具体数值

16、，算多赚的纯润 运行以 MuPAD 语句 学习参考. 算得Q h ) 3 8 2 25 ，绘得图 8.图 (t ,0.0002)的像运行以下 MuPAD 句： 学习参考. 由方程，解得两根 1 324002384 h 5h166254500h 2 32400 2 384 165 代入 h=0.0002， 2（天）.符合题意，t应该舍去（应的 Q 是数.对应的多赚纯利润为 10.79837809元（接着一小题，行以下 MuPAD 语句： /t h 的灵敏 利用导数算 对 h 的灵敏度：dt hS (t , h dh t运行以下 MuPAD 句：. /Q h 的敏，法 /Q h 的敏，法，简用两种

17、方法用导数算得 h 的灵度：Q hS ( h .结论： 的微小变化对 t 的响都很小.2 2（同解一学习参考. 5. 继续考虑 “生猪出时机”案，假设在 t 天的生猪体（公斤）为w w(t ) m w w e 0(2)其中w (0) 90 0（公斤，w （公斤，其它模假设和参数取值持不变 （试比 2)式与2.3.2) 式解释新的假和原来的假 设的区别与系（提示：明当 (何值时， t 可以保持 w 说明当 大时猪的重会如何变.（在新假设下求最佳出售时和多赚的利润 （）数 w 代表猪长时的最终重，对 w 做灵度分 析，分别考 w 对最佳出售时机多赚的纯润的影响.（讨论型关于生体重假设的健性 .解答

18、一（用 MATLAB 数值算）（在(中，为使 ，必须w ( w w ) w 0 m.当 w =270， w =90 时，有 0 60.新假设 (是阻滞增模型，假生猪体重的长率是体重的线性递函数，是体重增的速率先后慢时间充分后体重趋于 w . 而(2.3.2)式w w rt 只假设体重速增加 长时间来，新假设原假设更符实际（图 9） 两个假设都满足 ，在最佳出时机附近误微小（图 学习参考/. 模 型 设 (2.3.2)式 与 (2)式 的 比 较300250）斤公元（p格价20015010050p(0) - g t (2.3.2) 式p(0) - g t + 2(2) 式01150 50 100

19、 150 200t （ 天 图 9p(0) - g t (2.3.2) 式250 300 350 400p(0) - g t + 2(2) 式）斤公元（p格价11010510095900 2 4 6 8 10t （ 天 图 1012 14 16 18 20学习参考. (2) 在 ( 式和 (2) 组成的设下，用 MATLAB 函数 fminbnd 计算，以求得生出售时机为 t=14.434 天，赚的 纯利润为 Q=12.151 元(3) 编程计算 (t , w w 和 (Q w ) 将结果列表表 数值计算最出售时机 t w 的灵敏性mw w(%)t (%) (t , w ) t 272.728

20、3.52971 14.9775 17.05710 19.463.76718.17334.8253.7673.63453.4825表 数值计算多的纯利润 Q w 的灵敏性mw w(%) (%)S ( , ) Q 272.7283.52971 13.1085 17.12110 22.4757.87240.89784.96387217948.4963结论： w 的微小变化对 t Q 影响都较小.m（模型设 (式导致模型解答以由 2.3.2) 导致的解答加上敏度分析所替，所以实中采用更简单的(2.3.2) 作为假设可 具体分析过程解答二之 4） MATLAB 脚：学习参考. % (1) 图的程w=(t

21、)90*270./(90+180*exp(-t/60);figure(1)n=400;plot(0,n,90,90+n,k:,.0:.1:n,w(0:.1:n),k)axis(0,400,0,300)legend(p(0) - g t 式,.p(0) - t + h2 (2) 式,4)title( 型假设2.3.2)与2)式的比较 )(t （天） )( 格 p（元斤） )figure(2)n=20;plot(0,n,90,90+n,k:,.0:.1:n,w(0:.1:n),k)legend(p(0) - g t 式,.p(0) - t + h2 (2) 式,2) xlabel(t （天） )y

22、label( 价格 p（元斤） )% (2) 佳出售机和多赚的利润C=(t)3.2*t;学习参考. w=(t,m)90*m./(90+(m-90)*exp(-t/60);p=(t)12-0.08*t;Q=(t,m)p(t).*w(t,m)-C(t)-90*12;Qh=(t)-Q(t,270);ts=fminbnd(Qh,0,30)Qs=Q(ts,270)% (3) 敏度分Qh=(t)-Q(t,270*1.01);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-ts)/ts/0.01(-Qn-Qs)/Qs/0.01Qh=(t)-Q(t,270*1.05);tn,Qn=fminbnd(Qh,

23、0,30);(tn-ts)/ts/0.05(-Qn-Qs)/Qs/0.05Qh=(t)-Q(t,270*1.1);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-ts)/ts/0.1(-Qn-Qs)/Qs/0.1% (4) 健性分dr_r=(w(ts,270)-90)/ts-110+dr_r*10*6.5学习参考. 解答二（用 MATLAB 的 Symbolic Math Toolbox MuPAD 软 件符号计算（运行下 MuPAD 语句算得 ： a);运行以下 MuPAD 句，绘得图 ： 运行以下 MuPAD 句，绘得图 ：(2) w wt ) m w 60是阻滞增长型，假设生体重的

24、增长是体重的线递减函数 . 于是体重 w 时间 的增函数体重增加的率先快后时间充长后体重趋于. 而2.3.2) 式t rt 0只假设体重速增加 . 长时间看，新假设原假设更符实. 两假都满足 w r 佳出售时机近误差微小.，在最学习参考. 图 假与2)的较图 假与2)的较（在(2)式(2.3.1) 式成的假设，保留 ，代其他具体数，计算多赚纯利润 . 行以下 MuPAD 语句：学习参考mm. 算得Q ( , w ) m t mt ，绘得图 13.图 13运行以下 MuPAD 句： t 的像可解出 的驻点的数值解 14.43357158（天根据函数像和问题的实意义，知这是所求最佳出售时，应的多赚 学习参考t t . 的纯利润为 元（接着一小题，行以下 语句，但是不出当Q (t , ) 达到最大值 于的函数解析： 运行以下 MuPAD 句：可见当Q (t , ) 达到最大值 关于 反函数解式却有可能求得只是 MuPAD 给出表达式很杂