2021届【步步高】高考数学一轮总复习

1、 10/102021届【步步高】高考数学一轮总复习 2019届高考数学总复习一轮复习资料 北师大版 目录 专题1 集合与常用逻辑用语- 1 - 1.1 集合的概念与运算- 1 - 2 命题及其条件、充分条件与必要条件- 2 - 3 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词- 3 - 专题2 函数概念与基本初等函数- 5 - 1 函数及其表示- 5 - 2 函数的单调性与最值- 6 - 3 函数的奇偶性与周期性- 7 - 4 二次函数与幂函数- 8 - 5 指数与指数函数- 10 - 6 对数与对数函数- 11 - 7 函数的图像- 13 - 8 函数与方程- 16 - 9 实际问题的函数建模- 1

2、7 - 专题3 导数及其应用- 18 - 1 导数的概念及运算- 18 - 2 导数的应用- 20 - 2.1 导数与函数的单调性- 20 - 2.2 导数与函数的极值、最值- 21 - 3 定积分与微积分基本定理- 25 - 专题4 三角函数、解三角形- 26 - 1 任意角、弧度制及任意角的三角函数- 26 - 2 同角三角函数基本关系式及诱导公式- 28 - 3 三角函数的图像与性质- 29 - 4 函数yAsin(x)的图像及应用- 31 - 5 两角和与差的正弦、余弦正切公式- 33 - 6 简单的三角恒等变换- 34 - 7 正弦定理、余弦定理- 35 - 8 解三角形的综合运用-

3、 37 - 专题5 平面向量- 38 - 1 平面向量的概念及线性运算- 38 - 2 平面向量基本定理及坐标表示- 40 - 3 平面向量的数量积- 41 - 4平面向量应用举例- 42 - 专题6 数列- 43 - 1 数列的概念与简单表示法- 43 - 2 等差数列及其前n项和- 45 - 3 等比数列及其前n项和- 46 - 4 数列求和- 48 - 专题7 不等式- 50 - 1 不等关系与不等式- 50 - 2 一元二次不等式及其解法- 52 - 3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题- 53 - 4 基本不等式及其应用- 55 - 专题8 立体几何与空间向量- 57 - 1

4、 简单几何体的结构、三视图和直观图- 57 - 2 空间图形的基本关系与公理- 59 - 3 平行关系- 61 - 5 简单几何体的面积与体积- 65 - 6 空间向量及其运算- 67 - 7 立体几何中的向量方法- 69 - 7.1 证明平行与垂直- 69 - 7.2 求空间角和距离- 71 - 专题9 平面解析几何- 73 - 1 直线的方程- 73 - 2 两条直线的关系- 75 - 3 圆的方程- 77 - 4 直线与圆、圆与圆的位置关系- 78 - 5 椭圆- 80 - 6 抛物线- 82 - 7 双曲线- 85 - 8 曲线与方程- 87 - 9 圆锥曲线的综合问题- 89 - 专

5、题10 计数原理- 99 - 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理- 99 - 2 排列与组合- 100 - 3 二项式定理- 102 - 专题11 统计与统计案例- 104 - 1 随机抽样- 104 - 2 统计图表、用样本估计总体- 106 - 3 变量间的相关关系、统计案例- 108 - 专题12 概率、随机变量及其分布- 110 - 1 随机事件的概率- 110 - 2 古典概型- 112 - 3 几何概型- 114 - 4离散型随机变量及其分布列- 115 - 5 二项分布及其应用- 117 - 6离散型随机变量的均值与方差、正态分布- 119 - 专题13 推理与证明、算法、复

6、数- 121 - 1 归纳与类比- 121 - 2综合法与分析法、反证法- 123 - 3 数学归纳法- 125 - 4 算法与算法框图- 127 - 5 复数- 129 - 专题14 系列4选讲- 131 - 1 几何证明选讲- 131 - 1.1 相似三角形的判定及有关性质- 131 - 1.2 直线与圆的位置关系- 132 - 2 坐标系与参数方程- 133 - 2.1 坐标系- 133 - 2.2 参数方程- 134 - 3 不等式选讲- 135 - 3.1 绝对值不等式- 135 - 3.2 不等式的证明- 136 - 专题1 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念与运算 1.集合与

7、元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号或?表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法. (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N (或N *) Z Q R 2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn 图 子集 集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x A ，则x B ) A ?B (或 B=A ) 真子集 集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中 A ?B 集合 相等 集合A ，B 中元素相同或集合A ，B 互为子集 A B 3.集合的运算

8、 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 符号 A B x |x A ，或x B A B x |x A ，且x B ?U A x |x U ，且x ?A 4.集合关系与运算的常用结论 (1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集个数为2n 个，非空子集个数为2n 1个，真子集有2n 1个. (2)A ?B ?A B A ?A B B . 易错警示系列 1.遗忘空集致误 典例 设集合A 0，4，B x |x 22(a 1)x a 210，x R .若B ?A ，则实数a 的取值范围是_. 易错分析 集合B 为方程x 22(a 1)x a 210的实数根所构成的集合，由B ?A ，可知集合B

9、中的元素都在集合A 中，在解题中容易忽视方程无解，即B ?的情况，导致漏解. 解析 因为A 0，4，所以B ?A 分以下三种情况： 当B A 时，B 0，4，由此知0和4是方程x 22(a 1)x a 210的两个根，由根与系数的关系，得 ? 4(a 1)24(a 21)0， 2(a 1)4，a 210， 解得a 1； 当B ?且B A 时，B 0或B 4， 并且4(a 1)24(a 21)0， 解得a 1，此时B 0满足题意； 当B ?时，4(a 1)24(a 21)0；条件q ：xa ，且q 的一个充分不必要条件是p ，则a 的取值范围是( ) A.1，) B.(，1 C.1，) D.(，

10、3 解析 (1)由(a 1)21解得0a 2，p ：0a 2. 当a 0时，ax 2ax 10对任意x R 恒成立； 当a 0时，由? a0， a 2 4a 0 得0 p 是q 成立的充分不必要条件. (2)由x 22x 30，得x1，由q 的一个充分不必要条件是p ，可知p 是q 的充分不必要条 件，等价于q是p的充分不必要条件. x|xa?x|x1，a1. 答案(1)A(2)A 温馨提醒(1)本题用到的等价转化 将p，q之间的关系转化成p，q之间的关系. 将条件之间的关系转化成集合之间的关系. (2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到. 方法与

11、技巧 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定. 2.充要条件的几种判断方法 (1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法：即利用A?B与B?A；B?A与A?B；A?B与B?A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断：设Ax|p(x)，Bx|q(x)：若A?B，则p是q的充分条件或q是p 的必要条件；若A?B，则p是q的充分不必要条件，若AB，则p是q的充要条件

12、. 失误与防范 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提. 2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式. 3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言. 3 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词 1.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等. (2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等. 2.全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题. 3.命题的否定

13、(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题. (2)p或q的否定：p且q；p且q的否定：p或q. 4.简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词. (2)简单复合命题的真值表： p q p q p或q p且q 真真假假真真 真假假真真假 假真真假真假 假假真真假假 高频小考点1.常用逻辑用语及其应用 一、命题的真假判断 典例已知命题p：存在xR，x210，a 1) f (x )0 log f (x )g (x ) f (x )0，且f (x )1， g (x )0 tan f (x ) f (x )k 2，k Z 思想与方法系列 2.分类讨论思想在函数中

14、的应用 典例 (1)(2014课标全国)设函数f (x )? ? e x 1，x f(x2)，那么，就称函数f(x) 在区间A上是减少的 图 像 描 述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称A为单调区间. 2.函数的最值 前提函数yf(x)的定义域为D 条件(1)存在x0D，使得f(x0)M； (2)对于任意xD，都有f(x)M. (3)存在x0D，使得f(x0)M； (4)对于任意xD，都有f(x)M. 结论M为最大值M为最小值 答题模版系列1.确定抽象函数单调性解函数不等式 典例(12分)函数f(x)对任意

15、的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)0， 当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.2分 f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分 f(x2)f(x1)f(x2x1)10?f(x1)0时，f(x)1，构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，便找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M)f (2x )的x 的取值范围是_. 易错分析 (1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)0得k 1. (2)本题易出现以下错误：

16、 由f (1x 2)f (2x )得1x 22x ，忽视了1x 20导致解答失误. 解析 (1)f (x )k 2x 1k 2x k 2x 1 2x k ， f (x )f (x ) (k 2x )(2x k )(k 2x 1)(1k 2x )(1k 2x )(2x k ) (k 21)(22x 1)(1k 2x )(2x k ) . 由f (x )f (x )0可得k 21， k 1. (2)画出f (x )? ? x 2 1，x 0， 1，x f (2x )， 则? ? 1x 2 0，1x 2 2x ， 即? ? 10) f (x ) ax 2bx c (a 0时，幂函数的图像都过点(1,

17、1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增； 当0时，f (x )ax 22x 图像的开口方向向上，且对称轴为x 1 a . 当1 a 1，即a 1时，f (x )ax 22x 图像的对称轴在0,1内， f (x )在0，1a 上递减，在1 a ，1上递增. f (x )min f (1a )1a 2a 1 a . 当1 a 1，即0 (3)当a 1)；正数的负分数指数幂的意 义是m n a -1n a m (a 0，m ，n N ，且n 1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 (2)幂的运算性质：a m a n a m n ，(a m )n a mn ，(ab )n a n b

18、 n ，其中a 0，b 0，m ，n R . 2指数函数的图像与性质 y a x a 1 0 定义域 (1)R 值域 (2)(0，) 性质 (3)过点(0,1)，即x 0时，y 1 (4)当x 0时，y 1；当x 0时，01 (6)是R 上的增函数 (7)是R 上的减函数 思想与方法系列 4换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用 典例 (1)函数y ? ?14x ? ? 12x 1在区间3,2上的值域是_ (2)函数2 211()()2 x x f x -+=的单调减区间为_ 思维点拨 (1)求函数值域，可利用换元法，设t ? ? ?12x ，将原函数的值域转化为关于t 的二次函数的值域 (

19、2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求 解析 (1)因为x 3,2， 所以若令t ? ?12x ，则t ? ? 14，8， 故y t 2t 1? ? ?t 1223 4. 当t 12时，y min 3 4；当t 8时，y max 57. 故所求函数值域为? ? 34，57. (2)设u x 22x 1， y ? ? ? 12u 在R 上为减函数， 函数2 211()()2 x x f x -+=的减区间即为函数u x 22x 1的增区间 又u x 22x 1的增区间为(，1， f (x )的减区间为(，1 答案 (1)? ? 34，57 (2)(，1 温馨提醒 (1)解决和指数函数有关的

20、复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化 方法与技巧 1通过指数函数图像比较底数大小的问题，可以先通过令x 1得到底数的值，再进行比较 2指数函数y a x (a 0，a 1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a 1与0 1恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来 2复合函数的问题，一定要注意函数的定义域 3对可化为a 2x b a x c 0或a 2x b a x c 0 (0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围 6 对数

21、与对数函数 1.对数的概念 如果a (a 0，a 1)的b 次幂等于N ，即a b N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N b ，其中 a 叫作对数的底数， N 叫作真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a 0且a 1，M 0，N 0，那么 log a (MN )log a M log a N ； log a M N log a M log a N ； log a M n n log a M (n R )； log m n a M log am M n n m log a M (m ，n R ，且m 0). (2)对数的性质 log a N a N

22、；log a a N N (a 0且a 1). (3)对数的重要公式 换底公式：log b N log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； log a b 1 log b a ，推广log a b log b c log c d log a d . 3.对数函数的图像与性质 a 1 0 图像 性质 (1)定义域：(0，) (2)值域：R (3)过定点(1,0)，即x 1时，y 0 (4)当x 1时，y 0当0b c B.b a c C.a c b D.c b a (3)已知a 2log 3.45，b 4log 3.65，c 3log 0.31 ()5 ，则( ) A.a b c B.b a c C.a c b D.c a b 思维点拨 (1)可根据幂函数y x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小.(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较.(3)化为同底的指数式. 解析 (1)根据幂函数y x 0.5的单调性， 可得0.30.5lo