中考数学复习微专题：利用辅助圆求解动点最值问题

1、利用辅助圆求解动点最值问题 许多几何问题虽然与圆无关，但是如果能结合条件补作辅助圆，就能利用圆的有关性质、结论，将某些最值问题通过圆中的几何模型求解.笔者经过研究，归纳为以下情况可考虑作辅助圆: 一、同一端点出发的等长线段例1 如图1，在直角梯形中，点是线段上一动点，将沿翻折到，连结.当点在上运动时，分别求的最小值.解析 如图1，当点在点时，与重合;当点在点时，设点在点处，由翻折可知.所以，点在以为圆心，为半径的圆上，运动轨迹为弧.如图2，点在内，延长交于点.当点在点时最小，最小值为. 点在外，设交于点，当点在点时最小，最小值为. 设与交点为，当点在点时最小，最小值为. 点评 当条件中有同一端

2、点出发的等长线段时，根据圆的定义，以该端点为圆心，等长为半径构造圆，将原问题转化为定点与圆上点的距离问题.模型1 如图3，点在外，到上各点连线段中最短；如图4，点在内，到上各点连线段中最短. 证明 在上任取一点，不与点重合，连结，如图3. ,得证. 如图4, ，得证. 二、动点对定线段所张的角为定值 模型2 如图5 , 为定线段，点为外一动点，为定值，则点形成的轨迹是弧、弧(不含点).证明 设为的外接圆，在上方任取三点，点分别在外、上、内. , 当为定值时，点形成的轨迹是弧、弧(不含点). 1.动点时定线段所张的角为直角 例2 如图6，正方形边长为2，点是正方形内一动点，连结，求的最小值.解析

3、 为定线段， 由模型2可知，点在以为直径的圆上.连交于点，由模型1，当在点处时最短，最小值是. 点评 当动点对定线段所张的角为直角时，根据直径所对圆周角为直角，以定线段为直径构造圆. 2.动点时定线段所张的角为锐角 例3 如图7, ，一把直角三角形尺的两个顶点分别在上移动，求点到距离的最大值.解析 如图8,为的外接圆，由模型2知，点的运动轨迹是弧(两点除外).过点作的垂线，垂足为点,交弧于点，当点在点处时，到 的距离最大，即为长.,. 故到距离的最大值为. 点评 本题是定长，为定值，利用模型2，找到点的运动轨迹是一段弧，这段弧所在的圆是一个定圆，于是原问题转化为圆上一点到弦的距离问题. 模型3

4、 如图9,是的一条弦，点是上一动点(不与重合)，过点作，垂足为，交于点在两侧).当点在点处时，点到的距离最大，即为长. 证明 如图9，作垂足为点,，得证. 3.动点对定线段所张的角为钝角 例4 如图10，正三角形边长为2，射线，点是射线上一动点(不与点重合)，外接圆交于点，求的最小值. 解析 如图10 , . 为定长，点的运动轨迹是弧(不与重合). 过点作垂足为，交弧于点，当点在点时最小，最小值为. 点评 本题将动点转化到动点，且因为,为定长，由模型2可知，点的运动轨迹是弧，这段弧所在的圆是一个定圆.于是，的最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最小值问题，由模型1即可求解. 三、动点对定线段所张的角的最值 例5 如图11，四边形中，均有.在边上，是否存在一点，使得的值最小?若存在，求出此时的值;若不存在，请说明理由. 解析 当为锐角时，随的增大而减小，求的值最小值，只要求最大值. 于是，作中垂线交于点.设三点确定，则切于点.此时上的点(除点)都在外，所以当点在点处时最大.由题意，可知. 设半径为,则，解得，,所以最小值为.