2015广东高考理科数学试卷

1、精品精品=4=4精细；挑选；21精细；挑选；21精细；挑选；2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1.若集合M=x1(x+4)(x+1)=0,N=x1(x-4)(x-1)=o,则McN=A.h,4C.A.h,4C.0D.0答案】解析】/M=解析】/M=x+1）=0=-4,-1,N=I（x一4）（x一1）=0=1,42若复数z=2若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位)，则z=A.23iB.2+3i【答案】A【解析】z=i（32i）=3i+2,.z=23iC.3+2i

2、D.32i3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y=A.y=*1+x2答案】DB.D.y=x+ex【解析】A和C选项为偶函数，B选项为奇函数，D选项为非奇非偶函数4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为A.52121A.52121D.1答案】BC1C1【解析】P=亡5C210211510215.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是A.2x+y+5=0或2x+y一5=0B.2x+y+=0或2x+y一*5=0C.2x一y+5=0或2x-y一5=0D.2x一y+冷5=

3、0或2x-y一=0【答案】A【解析】设所求直线为2x+y+c=0，因为圆心坐标为（0,0）,则由直线与圆相切可得d=8若变量x,y满足约束条件1x3，则z=3x+2y的最小值为、0y2A.4B.C.65答案】B解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标8函数z=3x+2y，则当目标函数过点（1,）,23z=3x+2y取最小值为一D.315已知双曲线C:壬-兰=1的离心率e=5，且其右焦点为F（5,0），则双曲线C的方程为D.315A.B.D.a2b242A.B.D.答案】C【解析】由双曲线右焦点为F2（5,0），则c=5,x2y2.b2=c2-a2=9，所以双曲线方程为-=1169若空间中

4、n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值精品精品精品精品精细;挑选;精细;挑选;精细；挑选；精细；挑选；A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5【答案】B【解析】当n=3时，正三角形的三个顶点符合条件；当n=4时，正四面体的四个顶点符合条件故可排除A，C，D四个选项，故答案选B二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.(一)必做题(9-13题)TOC o 1-5 h z在(、G-1)4的展开式中，x的系数为.【答案】6【解析】Cr(-l)r=(-JrCrXT，则当r=2时，X的系数为(-11C2=6444在等差数列a中，若a+a+a+a+a=25，则a+a

5、=.n3456728【答案】10【解析】由等差数列性质得，a+a+a+a+a=5a=25，解得a=5，所以3456755a+a=2a=10285设AABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,若a=3，sinB=1，C=-，则26b=.【答案】1-5-2-【解析】tsmB=,aB=或，又C=，故B=，所以A=-66663ab由正弦定理得，.人=.，所以b=1sinAsinB某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言。(用数字作答)【答案】1560已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，E(X)=30，D(X)=20，则p=.【答案】3【解析】E(X

6、)=np=30，D(X)=np(1-p)=20，解得p=；(二)选做题(14-15题，考生只能从中选做一题)，14.（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的极坐标方程为2psin（O-）=、込,点A的极坐标4为A（2边,：），则点A到直线l的距离为.答案】兀【解析“兀【解析“2p曲-）=cos0)=、；2:.psin0-pcos0=1，所以ODOCABBC，所以OD，所以ODOCABBC，所以OD=8即直线1的直角坐标方程为y一x=1，即兀一y+1=0，点a的直角坐标为（2,-2）A到直线的距离为d=P*1=半&2215.（几何证明选讲选做题）如图1,已知AB是圆O的直径，AB=4,EC是圆O的

7、切线，切点为C，BC=1，过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P，则OD=.答案】8解析】如图所示，连结0,C两点，则OC丄CD,OD丄AC:.ZCDO+ZACD=90。ZACD=ZCBA，ZCBA+ZCAB=90,ZCDO=ZCAB三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=（1，函数f(x)=(l+x2)ex-a.1)求f(x)的单调区间；2)证明：f(x)在(-?,?)上仅有一个零点；(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点

8、M(m,a)的切线与直线OP平行(平行(O是坐标原点)，证明：m?a2-1-解析】1)f(x)=(1+x2)ex一a工f(x)=2xex+(1+x2)ex=(1+x)2exxgR时，f(x)0恒成立:f(x)的单调递增区间为R(2)由(1)可知f(x)在R上为单调递增函数当x=a时，f(Pa)=(1+a)ea一a厂lea+a(ea一1)a1:,f(-a)0f(x)在(-卩+Q上仅有一个零点(3)令点P为(x,y)00曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行:：f(x)=(x+1)2exo000:.x=_1,p(_1,_a)0e:直线OP斜率为k2-ae2ea一op:直线OP斜率为k在点M(m,n

9、)处的切线与直线OP平行2.:f(m)(m+1)2ema一e要证明m2要证明m22一1,即证(m+1)3aee需证明(m+1)3(m+1)2需证明m+1g(0)=0emm10.emm-1命题得证.20.(本小题满分14分)已知过原点的动直线1与圆Ix2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B.1)求圆C的圆心坐标；1求线段AB的中点M的轨迹C的方程；是否存在实数k，使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意知：圆C方程为：(x3)2+y2=4.圆C的圆心坐标为(3,0)(2)由图可知，令M(x,y),1OM1=x2+y

10、2,|CMI二J(x3)2+y211r11111IOCI2=IOMI2+ICMI21132=x2+y2+(x3)2+y21111(x1一器+y?=4直线L与圆C交于A、B两点1直线L与圆C的距离：0d210(x-3)2+y2493.0(x-3)2+-(x-)241412x33135轨迹C的方程为：x-)2+y2=xG(亍,33(3)直线L：y=k(x-4)与曲线(x-)2+y2=仅有1个交点联立方程：y=k(x-4)5/3、，xe(t,3(x)2+y2=324得：(k2+1)x2-(8k2+3)x+16k2=0,在区间(5,3有且仅有1个解4当A=(8k2+3)2-64k2(k2+1)=0时,

11、k=3125此时，x=e(-,3，仅有一个交点，符合题意。53当A丰0时，令g(x)=(k2+1)x2-(8k2+3)x+16k2则有：g(5)T(3)f54Jk的取值范围为：ke-亍或k=-21.(本小题满分14分)数列a满足：a+2a+n12+na=4-nn+2,n?N*.TOC o 1-5 h z求a的值；3求数列a的前n项和T；nn+1)a(n?2)+1)a(n?2)，证明：数列a的前n项和Snnnn令b=a,b=n+(11+11nn23满足S2+2lnn.n解析】(1)由题意知：(1)由题意知：a+2a+12+na=4nn+22n-12）当n=2时，a2）当n=2时，a+2a=412

12、213+2当n=3时，a+2a+3a=4123223a=431a=3422-(4土)=3214n+2a+2a+na=412n2n1a+a+2a+12+na+(n+1)a=4nn+1/八n+2n+3(n+1)a=n+12n12n2n+4n32nn+12n.a.an+1=（2）n.a=()n1n2an是首相为公比为2的等边数列n1（2）n1=2-(2)n-1=2-i2n-1(3)由(2)得:T=2n1_2n-1TOC o 1-5 h z.S=(2-亠)(1+1+丄)n2n12n已知不等式：1+1-ln(1+n)23nx设f(x)=ln(1+x),x01+x:.f(x)二旦0,f(x)在(0,+g)单调递增1+x/.f(x)=ln(l+x)f(0)=0 xln(l+x)一在(0,+a)上恒成立1+x令x=,+ln+ln2ln1=lnnln(1+)=ln(1+n)Inn+Innln(n1)+n门1、ln(1+)+n23111.Inn+23n+1S=(2丄)(1+-+丄)2(1+-+1)2(1+ln2)=2+21n2n2n12n2n成功就是先制定一个有价值的目标，然后逐步把它转化成现实的过程。这个过程因为信念而牢固，因