2022-2023学年天津美术学院中学高三数学理上学期期末试卷含解析

1、2022-2023学年天津美术学院中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知设函数，则的最大值为（ ）A1 B 2 C D4参考答案：C2. 若复数是纯虚数，则实数的值为( )(A)或 (B) (C) (D)或参考答案：C略3. (A)1个 ()2个 ()3个 ()1个或2个或3个参考答案：B略4. 无穷等比数列的前项为，则该数列的各项和为 （ ）A. B. C. D.参考答案：B5. 已知椭圆1(ab0)，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为A

2、、B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为A. B. C. D参考答案：C略6. 已知点C在AOB外且设实数满足则等于（）A2BC-2D-:Z参考答案：A略7. 已知集合，则（ ）A(1,2) B(0,2) C(2,+) D(1,+) 参考答案：C8. 已知复数满足，则的虚部为A B C D参考答案：A9. 先后抛掷一枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数），所得向上点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是A. B. C. D. 参考答案：C略10. 已知集合，则AB的子集个数为（ ）A. 2B4C6D8参考答案：B由已知得：，所以子集个数：个二、 填空题:本大题共7小题,每小题4

3、分,共28分11. 已知函数的图象关于直线x = 1对称，则_。参考答案：12. 文：不等式的解集是 .参考答案：；13. 己知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是参考答案：考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设椭圆的方程为，则容易求得A点的纵坐标为，根据已知条件便知|F1F2|=|AF1|，所以得到2c=，b2换上a2c2得到2ac=a2c2所以可得到，解关于的方程即得该椭圆的离心率解答：解：设椭圆的标准方程为，（ab0），焦点F1（c，0），F2（c，0），如图：将x=c带入椭圆方

4、程得；解得y=；|F1F2|=|AF1|；2ac=a2c2两边同除以a2并整理得：；解得，或（舍去）；这个椭圆的离心率是故答案为：点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点及焦距，椭圆离心率的概念，b2=a2c2，以及数形结合解题的方法，解一元二次方程14. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足，Sn为数列an的前n项和，且Sn=2an+n，则f（a5）+f（a6）= 参考答案：3【考点】8E：数列的求和【分析】由已知求得函数周期，再由数列递推式求出数列通项，求得a5、a6的值，则答案可求【解答】解：f（x）为奇函数，f（x）=f（x），又，f（x）是以3为周期的周期函数数列an满足a1=1，且Sn=

5、2an+n，当n2时，Sn1=2an1+n1，则an=2an2an1+1，即an=2an11，an1=2（an11）（n2），则，上式对n=1也成立a5=31，a6=63f（a5）+f（a6）=f（31）+f（63）=f（2）+f（0）=f（2）=f（2）=3故答案为：315. 函数的值域为_.参考答案： 16. 若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是 参考答案：17. 正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦最长时，的取值范围是 .参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步

6、骤18. 参考答案：解：()证明： 因为平面，所以. 因为是正方形，所以，所以平面, 从而 -（4分）()解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示. 设，可知. 则 ,，所以， 设平面的法向量为，则，即，令，则. 因为平面，所以为平面的法向量， ，所以 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. -（8分）()解：点是线段上一个动点，设.则，因为平面，所以， 即，解得. 此时，点坐标为，符合题意. -（12分）略19. 已知函数f(x)exax，其中a0.（1）若对一切xR，f(x)1恒成立，求a的取值集合；（2）在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)(

7、x1x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0(x1，x2)，使f(x0)k成立.参考答案：解：（1）f(x)exa.令f(x)0得xlna.当xlna时，f(x)0，f(x)单调递减；当xlna时，f(x)0，f(x)单调递增.故当xln a时，f(x)取最小值f(lna)aalna.于是对一切xR，f(x)1恒成立，当且仅当aalna1.令g(t)ttlnt，则g(t)lnt.当0t1时，g(t)0，g(t)单调递增；当t1时，g(t)0，g(t)单调递减.故当t1时，g(t)取最大值g（1）1.因此，当且仅当a1时，式成立.综上所述，a的取值集合为1.（2）由题意知，ka.令(x)f(

8、x)kex，则(x1)(x2x1)1，(x2)(x1x2)1.令F(t)ett1，则F(t)et1.当t0时，F(t)0，F(t)单调递减；当t0时，F(t)0，F(t)单调递增.故当t0时，F(t)F(0)0，即ett10.从而(x2x1)10，(x1x2)10，又0，0，所以(x1)0，(x2)0因为函数y(x)在区间x1，x2上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0(x1，x2)，使(x0)0，即f(x0)k成立20. （本小题12分）设的内角所对边的长分别为，且有(1).求角的大小（2）.若为的中点,求的长参考答案：（1） (2)略21. 已知函数f（x）=lnx，曲线y=f（x）在

9、点（，f（）处的切线平行于直线y=10 x+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设直线l为函数y=lnx图象上任意一点A（x0，y0）处的切线，在区间（1，+）上是否存在x0，使得直线l与曲线y=ex也相切？若存在，满足条件的x0有几个？参考答案：【考点】变化的快慢与变化率【分析】（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（，f（）处的切线平行于直线y=10 x+1，求出a，再确定导数恒大于0，从而可得求函数f（x）的单调区间；（2）先求直线l为函数的图象上一点A（x0，y0）处的切线方程，再设直线l与曲线y=g（x）=ex相切于点（x1，），进而可得lnx0=，再证明在区间（1，+）上x0

10、存在且唯一即可【解答】解：（1）函数f（x）=lnx，f（x）=+，曲线y=f（x）在点（，f（）处的切线平行于直线y=10 x+1，f（）=2+8a=10，a=1f（x）=x0且x1，f（x）0函数（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+）（2）证明：y=lnx，切线l的方程为ylnx0=（xx0）即y=x+lnx01，设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1，），g（x）=ex，=，x1=lnx0直线l也为y=（x+lnx0），即y=x+，由得lnx01=+，lnx0=下证：在区间（1，+）上x0存在且唯一由（1）可知，f（x）=lnx在区间（1，+）上递增又f（e）=0，f（e2）=0，结合零点存在性定理，说明方程f（x）=0必在区间（e，e2）上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x022. （本题满分13分）已知几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（1）求此几何体的体积V的大小;（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值.（3）试探究在上是否存在点，使得，并说明理由.参考答案：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，即