模拟试卷B答案

1、11数值分析模拟试卷(B)一、算法分析(20%)1、要使訂1的近似值的相对误差不超过10-4，应取几位有效数字？(5%)解：设取n个有效数字可使相对误差小于10-4，则X101-n10-4,2a1(_而3Ji!4，显然a=3，此时，1X101-n=X101-n10-4,2a2X311即X101-n105所以，n=5。2、设近似值S=35.70具有四位有效数字，计算中无舍入误差，试分析用递推01式S=-S-142.8计算S所得结果是否可靠。(5%)i+15i20解：设计算S的绝对误差为e(S)=S*S，其中计算S的误差为8,那么i计算S的误差为201e(S)=S*S=(-S*142.8)2020

2、2051911=-e(S)=一e(S)=5195218iie(S20)=151(-S142.8)5191=-e(S)5201=-(S*S)51919e(S)，误差缩小，结果可靠。03、判定解方程组x+2x2x=13、判定解方程组x+x+x=1的高斯一赛德尔迭代法的收敛性？(10%)1232x+2x+x=123解：(111所以高斯赛德尔迭代法发散。二、基本计算(30)1、用合理途径计算曙-。(5%)n(n+1)n=1解：由小到大依次相加。迥_=100(1-丄)=1-丄=型n(n+1)nn+1101101TOC o 1-5 h zn=1n=12、用秦九韶算法计算p(x)=2+x-x2+3x4的值p

3、。(5%)解：将所给多项式的系数按降幂排列，缺项系数为0。30-11226122246F6112348所以，p(2)=48。12123、作矩阵A=25313、2的LU分解。(5%)5丿(123(123、A=252，315丿设(123、/1252=l21315丿Vl31解：对矩阵00、/uuu、111213100uu2223l321丿V00u)33先计算U的第一行，由矩阵乘法，有r100rr100r1ruuur123、111213110=2150uu=1-42122231J3一512丄丿、00u丿-24s丿最后计算u33。然后计算U的第2行L的第2列,得/a=1=lxu+0 x0+0 x0111

4、1u=111/a=2=1xu+0 xu+0 x0121222.u=212/a=3=1xu+0 xu+0 xu13132333.u=313再计算L的第一列，由矩阵乘法,/a=2=lu+1x0+0 x0212111.l=a/u=2212111/a=3=lu+1x0+1x031311132.l=a/u=33131114、给定矩阵A=r1_2求|A|,|A,|A|。(10%)+a=3,a+a211222解：因为”=3,所以A=3；1+a=2,a+a122122因为a=4，所以|A|=4；因为ATA因为ATA=r1J-2Y12人-2所以ATA的特征多项式为:九-533九一15=0，解之得尢=&尢=2。1

5、2所以|A|2=2迈。5、已知x=l,2,3,4,5，对应的函数值为f（x）=l,4,7,8,6，求出插分表，写出相应的等距节点插值多项式。（5%）解：作差分表如下：三、数值计算（50）x+2x2x二1TOC o 1-5 h z1231、用高斯一赛德尔迭代法解qx+x+x二3（取x（0）=（0,0,0）T）。（5%）1232x+2x+x=5123解：从三个方程中分离出未知变量x,x,x,将方程组改写成便于迭代的形式得123x=2x+2x+1231所以，高斯赛德尔迭代法发散。2、试构造一个次数最低的插值多项式p(x),使其满足p(1)二f(1)二一1,P(0)二f(0)二2,p(0)二f(0)二

6、0,p(3)二f二1,p(3)二f(3)二1(5%)解：设插值多项式为p(x)二a+ax+ax2+ax3+ax401234贝Up(x)二a+2ax+3ax2+4ax31234由插值条件得2=p(0)=a00=p(0)=a11=p(1)=aa+aa+aTOC o 1-5 h z012341=p(3)=a+3a+9a+27a+81a012341=p(3)=a+6a+27a+108a1234解之得a=20a=013a=241354所以p(xp(x)_108x4+x3一x2+25442x+4y=113、用最小二乘法求方程组3兀一5y=3的近似解。(10%)x+2y=6x+2y=14解：设方程组中各个方

7、程的一般形式为ax+by=c，则iiiL=(ax+by)-e2iiii=1对x、y分别求偏导，并令偏导数等于0，得=2(ax+by)-ea=0dxiiiii=1n工(ax+by)一ea=0TOC o 1-5 h ziiiii=1nx工a2+y为ab一ae=0iiiiii=1i=1i=1=乙2(ax+by)一eb=0Qyiiiii=1n工(ax+by)一eb=0iiiy为b2y为b2一be=0iiii=1i=1nxab+iii=1将数据代入得J15x-3y-51=0-3x+49y-69=0解之得x=3.727Iy=1.6364、五等分区间用梯形法求数值积分J1仝，计算数据取小数点后两位数。(5%

8、)01+x2解：五等分区间时，梯形法积分公式为dx11152(y0+y5H人+y2+y3+y4)将区间5等分，6个分点上的函数值为：00.20.410.960.860.60.810.740.610.5dx所以，f0.2X0.5X(1+0.5)+0.96+0.86+0.74+0.61=0.78401+X25、确定数值微分公式f(x)uAf(x)+Af(x)+Af(x)的系数，使它具有尽0001021可能高的代数精度。(10%)解：为了计算方便，令x解：为了计算方便，令x=0,x=h，01得把f(x)=1,x,x2依次代入使其成为等式,A+AA+A=002A+Ah=012Ah2=222解之得A二-0h2,A,A2h2所以2f(x)u-f(x)-hf(x)+f(x)0h2001此公式对于f(x)=x3不成立，故其代数精度为2。6、用欧拉法求初值问题0.916、用欧拉法求初值问题0.91+2xy(0 x0,同理可以判断出在其他几个区间上导数的符号。进一步可以得导函数在每一个区间上的单调性。列表如下：x(-n)-1(-1,2)2(2,+兀)y+/00+y*325一y(-1)=320,y(2)=50,在区间(-1,2)上方程无根。又y(2)=50，函数在(2,+小上又是单调增的，函数值不可能再变号