浅谈一阶微分方程的初等解法

1、 方程整理得一3udx+2x(u2+2)du=0变量分离，再积分，整理得u4eu2二Cx3C为任意常数).证毕代回原变量，得原方程的通解y4exy2=C为任意常数).证毕dy”，ax+by+c、dydyy此外子=f(才)yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 x2-二f(xy)二xf(dxax+by+c，dxdxx2222,以及M(x,-)(xdx+ydy)+N(x,-)(xdy-ydx)二0(其中M,N为x,y的齐次函数，次数可以不相同)等一些类型的方程，均可以通过适当的变量变换化为变量分离方程。线性方程形如二P(x)-+Q(x)(2.28)dx的方程称为一阶线性微分方程，这里假设P(x),

2、Q(x)在考虑的区间上是x的连续函数。若Q(x)三0，(2.28)变为学=P(x)-(2.18)dx(2.18)称为一阶齐线性方程。若Q(x)丰0,(2.28)称为一阶非齐线性方程.(2.18)是变量分离方程，在上面的例8中求得它的通解为-=cep(x)-x(2.19)这里c是任意常数.现在主要讨论非齐线性方程(2.28)的通解的求解方法:在(2.19)中,将常数c变易为x的待定函数c(x)，使它满足方程(2.28),从而求出c(x).为此，令微分之,得到-=c微分之,得到-=c(x)eJP(x)dx二dc(x)eJP(x皿+c(x)P(x)eJP(x皿dxdx(2.29)(2.30)以(2.

3、29)(2.30)代入(2.28),得到dc(x)eJP(x)dx+c(x)P(x)eJP(x)dx=P(x)c(x)eJP(x)dx+Q(x)dx(2.31)即dcx二q(x)ep(x)dx积分后得到c(x)=JQ(x)eP(x)dxdx+c(2.31)dx1这里c1是任意常数，将(2.31)代入(2.29),得到y=eP(x)dx(JQ(x)eP(x)dxdx+)这就是方程(2.19)的通解.这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法.例15求方程2xy二-x的解.dx解这是一阶线性方程，按公式求解J丄dxe2x1Je2xdxdx+c=etlnlx1Je-2lnlxdx+c22

4、当x0时,当x0时,当xo时，方程还有解y=0.例17求方程竽=_-+a(Inx)y2的通解.dxx解这是n二2的伯努利方程令z二y_1算得眾=_y_2孚dxdxdzz代入原方程得到二一_aInxdxx这是线性方程，求得它的通解为z=xc_a(lnx)22代回原来的变量y代回原来的变量y,得原方程的通解为y=xc一一(lnx)2这里c是任意常数此外方程还有解y二0.x2例18x2例18求解二=+.dx2x2y解这是n=_1的伯努利方程令z二y2算得dz二2y字dxdx代入原方程得到二-+代入原方程得到二-+x2这是线性方程，求得它的通解为dxx,1z=Cx+x32代回原来的变量y代回原来的变量

5、y,得原方程的通解为C是任意常数).一阶隐微分方程的初等解法一阶隐微分方程一般形式可表为F(x,y,y)=一阶隐微分方程一般形式可表为F(x,y,y)=01.3)3.1形如y二/x,dIdx丿3.1)类型的隐方程.这种类型的隐方程的解法为：引进参数学二P，则(3.1)变为y二f(x,p)dx3.2)将(3.2)两边对x求导数，并以字二p代入，得到p=f+詈字dxoxcpdx3.3)方程（3.3）是关于x,p的一阶微分方程，但它的导数已解出于是我们可以按前面介绍的方法求出它的解这里假设函数ffx,字有连续的偏导数。Idx丿若求得（3.3）的通解的形式为p=9（x,c）则得到（3.1）的通解为y=

6、/（x,9（x,c）若求得（3.3）的通解的形式为x=虹p,c）则得到（3.1）的通解为x(p,c)y=f(0(p,c),p)其中p则得到（3.1）的通解为x(p,c)y=f(0(p,c),p)其中p是参数，c是任意常数）若求得（3.3）的通解的形式为屮(x,p,c)=0则得到（3.1）的通解为屮(x,p,c)=0y=f(x,p)其中p是参数，c是任意常数）3.2形如x=ffy,dIdx丿3.4)类型的隐方程.这种类型的隐方程的解法与方程（3.1）的求解方法完全类似。这里假设fy,字有连续的偏Idx丿导数。引进参数dy=p，则（3.4）变为x=f（y,p）dx3.5)将（3.5）两边对y求导数

7、，然后以=丄代入，得到丄+f-dfdyppcyopdy3.6)dp方程（36）是关于y,p的一阶微分方程，但它的导数石已解出于是我们可以按前面介绍的方法求出它的解，于是我们可以按前面介绍的方法求出它的解设求得通解为0（y,p,c）=0则得（3.4）的通解为x=f(y,p)0(y,p,c)=03.3形如F（x,y）=0（3.7）类型的隐方程.这种类型的隐方程的解法为：记p=y=dy从几何的观点看，F（x,p）=0代表xp平面上的dx(3.8)一条直线设把这条直线表为适当的参数形式，x=申(t),p=屮(t)(3.8)这里t为参数.再由沿方程(3.4)的任何一条积分曲线上，恒满足基本关系dy二pd

8、x以(3.7)代入上式得dy二屮(t网(t)dt，两边积分得yJ屮(t)0(t)dt+c,于是得到方程(3.7)的参数形式的通解为x=的参数形式的通解为x=申(t)y=J屮(t)申(t)dt+c是任意常数).形如F(y,y)=0(3.9)类型的隐方程.这种类型的隐方程的解法与方程(3.7)的求解方法完全类似：记p=y，引入参数t，将方程Q(t).Q(t)表为恰当的参数形式：y=Q(t)，p=屮(t)由此得dx=dt，x=dt+c于是屮(t)屮(t)x=比dt+c屮(t)为方程的参数形式的通解，其中c为任意常数.y=Q(t)此外，不难验证，若F(y,0)=0有实根y=k，则y=k也是方程的解.例

9、1x2例1求方程y=y2-xy+的解.厶x2解令y=p，得到y=p2-xp+一2两边对x两边对x求导并整理化简后，得(2p-x)(字-1)=0dxTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark190 xx2取2p=x，得p=-代入上式的解y=-厶I HYPERLINK l bookmark412 取dp-1=0，即学=1，积分得p=x+C，代入上式得原方程的通解为dxdxC是任意常数)xC是任意常数)y=T+Cx+C2例2求方程y3-4xyy+8y2=0的解.解解出x得(3.10)令y=p，得(3.10)x二对y求导，并整理后得对y求导，并整理后得I2yp2丿dp取p34

10、y2二0，得p=(4y2)3，代入(3.10),得到解y二2x3厶/dpp小丄C22y2取于卡，得解p=Cy2，代入(3.io),得到解x=+-dy2y4C1将它写成8y24Cx+C3=0，消去根号得64y=(4CxC3)2.C2令C=，则上式可以写成较整齐形式y=C(xC)2.1411另外，y=0也是原方程的解.例3求方程X、汁+y2=y的解fx=sint解不显含y，令|.y=tantfx=sint于是dy=tantdx=tantcostdt=sintdt，y=一cost+CC是任意常数)消去t得到通解为x2+(yC)2=1.C是任意常数)y=1例4求方程丐=2=1的解.1+y2dysinhtdt解令y=smht,y=cosht，于是dx=dt.ysinht从而x=t+C,由y=cosht,消去t,得到通解y=cosh(xC)(C为任意常数).通过上文的介绍，使我们了解了多种类型的一阶微分方程的初等解法，特别是在介绍恰当方程的一般解法时又介绍了一种新的解法，这种新的解法浅显