初中圆的7种考法

1、 考法1 垂径定理1如图，的半径为3，弦，于点，则（ ）A2BC3D5【分析】根据垂径定理得到AC=BC，然后利用勾股定理计算出OC即可【解析】OCABAC=BCBC=2在RtBOC中，OB=3，BC=2OC=选B【小结】考查垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理2如图，已知O的直径，是O的弦，垂足为，则的长为（ ）A2BC4D【分析】连接OB，根据勾股定理计算BM=，利用垂径定理，AB=2BM计算即可【解析】连接OB直径，BM=根据垂径定理，得AB=2BM=，选D【小结】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握连接半径构造直角三角形，灵活运用垂径定理和勾股定

2、理求解是解题的关键3如图，EF是O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（ ）A3cmB4cmC8cmD6cm【分析】过O作OHAB，连接OB，根据垂径定理可得BH=4cm，再利用勾股定理计算出OH的长，然后根据梯形中位线定理可得答案【解析】过O作OHAB，连接OBAB=8cmBH=4cmEF=10cmBO=5cmOH=cmEHHG，FGHG， OHABEH/FG/O HO是EF中点，H是HG中点HO是梯形FGHF的中位线EH+FG=2OH=6cmE、F两点到直线AB的距离之和等于6cm选D【小结】此题主要考查了梯形中位线定理，以及垂径定理，关键是掌

3、握垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧4如图，的直径为10，弦的长为6，为弦上的动点，则线段长的取值范围是（ ）ABCD【分析】由垂线段最短可知当OPAB时最短，当OP是半径时最长根据垂径定理求最短长度【解析】如图，连接OA，作OPAB于P 初高中数学资料共享群（756917376）O的直径为10半径为5OP的最大值为5OPAB于PAP=BPAB=6AP=3在RtAOP中，OP=，此时OP最短所以OP长的取值范围是4OP5选C【小结】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是确定OP的最小值，所以求OP的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造

4、以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个5如图，的半径为5，弦，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（ ） A6.5B5.5C3.D2.5【分析】过O点作OHAB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AHBH4，再利用勾股定理计算出OH3，从而得到OP的范围为3OP5，然后对各选项进行判断【解析】过O点作OHAB于H，连接OA，如图，则AHBHAB4在RtOAH中，OH，所以OP的范围为3OP5选C【小结】本题考查了垂径定理：垂直于弦的

5、直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，解题关键是过圆心作弦的垂线，连接半径构造直角三角形初高中数学资料共享群（756917376）6图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（ ）ABCD【分析】由题意得到四边形ABCD为矩形，BC=2，再根据中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，得到BCAB（S半圆AD+S半圆BC-S）=S，即2AB-12+S=S，可求出AB=，则OP=AB=，在RtOEP中，利用勾股定理可计算出EP，即可得到两圆的公共弦长EF【解析】AB，CD为两等圆的公切线，四边形ABCD为矩形，BC=

6、2，设中间一块阴影的面积为S，中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，BCAB-（S半圆AD+S半圆BC-S）=S，即2AB-12+S=S，AB=如图，EF为公共弦，POEF，OP=AB=，EP=，EF=2EP=，选D【小结】本题考查了垂径定理、勾股定理，公切线，连心线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键7如图，边上有一点D，以点D为圆心，以长为半径作弧交于点E，则（ ）AB4CD8【分析】连接，过点D作于点F，解直角三角形BDF求出BF=，再由垂径定理得结论【解析】连接，过点D作于点F，在中，由得依题意可得：是等腰三角形（等腰三角形三线合一）选A【小结】此题主要考查了垂径定理和解直角三角形，

7、求出BF=是解答此题的关键8如图，已知O的半径为4，M是O内一点，且OM2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（）A1条B2条C3条D4条【分析】过M作ABOM交O于点A、B，根据勾股定理求出AM，根据垂径定理求出AB，进而得答案【解析】过点M作ABOM交O于点A、B，连接OA则AMBMAB在RtAOM中，AMAB2AM则过点M的所有弦8则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共三条选C【小结】考查垂径定理，勾股定理，掌握垂直于选的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧是解题关键9如图，半径为5的中，有两条互相垂直的弦、，垂足为点，且，则的长为（）A3BC2D3【分析】作于，于，连接

8、，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出和证明四边形是正方形，即可解决问题【解析】如图，作于，于，连接，四边形是矩形，四边形是正方形，选【小结】本题主要考查圆的垂径定理和正方形的判定，关键在于作出辅助线，利用垂径定理得到证明10一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）A1B2C3D4【分析】设O的半径是R，过点O作ODAB于点D，交O于点C，连接OA，由垂径定理得出AD的长，在RtAOD中利用勾股定理即可求出OA的长.【解析】如图所示：设O的半径是R，过点O作ODAB于点D，交O于点C，连接OA，AB = 0.8m，OD

9、AB，AD =0.4m，又CD =0.2m，OD=R-CD=R-0.2，在RtOAD中，OD2+ AD2=OA2，即(R-0.2)2+0.42=R2，解得R=0.5m，2R=20.5=1米，故答案为A.【小结】本题考查的是垂径定理在实际生活中的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.11“圆材埋壁”是我国古代数学名著章算术中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问：径几何？”转化为数学语言：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，直径的长是（ ）A寸B寸C寸D寸【分析】连接OA设圆的半径是x寸，在直角OAE中，OAx寸，OEx1，在直角OAE中利用

10、勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径CD的长【解析】如图，连接OA设圆的半径是x寸，在直角OAE中，OAx寸，OE（x1）寸，AB=10，且AE=AB=5则，解得：x13则CD21326（寸），选B【小结】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是关键12如图，点、在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是（ ）ABCD【分析】连接OA，OB，并作OCAB于C点，根据垂径定理，设圆的半径为，则，由此可得，从而得出，以及，最终根据圆周角定理即可得出的度数【解析】连接OA，OB，并作OCAB于C点，根据垂径定理，可得，设圆的半径为，则，则，根据圆周角定理，选B【小结】本题主要考查垂径定理

11、，圆周角定理以及已知正弦值求角度，熟练运用垂径定理进行辅助线构造以及特殊角的三角函数进行求解是解题关键13如图，点、都在上，则的度数（ ）A50B40C30D25【分析】先根据垂径定理由OABC得到，然后根据圆周角定理计算即可【解析】OABC，ADC=AOB=50=25选D【小结】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了垂径定理14如图，的弦垂直平分半径，若弦，则的半径为（ ）ABCD2【分析】首先连接OA，由垂径定理即可求得AD的长，然后设OD=x，则OA=2x，由勾股定理即可求得圆的半径；【解析】设OC与AB交于点D，连接OC

12、，设OC=x， O的弦AB垂直平分半径OC， OC=2x，AD= ， ， ，解得： ， 圆的半径为：2选D【小结】本题考查了垂径定理以及勾股定理，此题难度不大，注意掌握辅助线的作法及数形结合的思想的应用15如图，EM经过圆心O，EMCD于M，若CD=4，EM=6，则弧CED所在圆的半径为（）A3B4CD【分析】连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OCR，OM6R，根据垂径定理求出CM，根据勾股定理得出方程，求出即可【解析】连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OCR，OM6R，EM经过圆心O，EMCD于M，CD4，CMDM2，在RtOMC中，由勾股定理得：OC2OM2CM2，R2（6R）

13、222，R，选D【小结】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适中16如图，是内部一点，与的边相切于点，与边相交于点，作于，则弦的长是（ ）ABC4D【分析】延长BO交AM点F，计算BF，后计算OB，OC，OE，最后，运用垂径定理计算即可.【解析】如图，延长BO交AM点F，连接OC，与的边相切，ABF=90，BF=，AFB=60，FOE=30，设EF=x，则OF=2x，OE=，OB=3x，BF=OB+OF=5x，5x=，x=，OB=3x=，OE=，在直角三角形OCE中，CE=2，根据垂径定理，得CD=2CE=4，故选C.【小结】本题考查了切线的性质，直角三角形的性

14、质，垂径定理，会用延长线段BO构造特殊的直角三角形是解题的关键.17如图，已知O的半径为，弦垂足为，且，则的长为（ ）ABCD【分析】连接OB，作OPAB于E，OFCD于F，根据弦、弧、圆心角、弦心距的关系定理得到OP=OF，得到矩形PEFO为正方形，根据正方形的性质得到OP=PC，根据垂径定理和勾股定理求出OP，根据勾股定理计算即可【解析】连接OB，作OPAB于E，OFCD于F，则BP=AB=4，四边形PEFO为矩形，AB=CD，OPAB，OFCD，OP=OF，矩形PEFO为正方形，OP=PC，在RtOPB中，OP=3，OE=3，选B【小结】本题考查了垂径定理以及勾股定理、矩形的判定与性质等

15、知识，正确得出O到AB，CD的距离是解题关键18半径等于的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）ABCD【分析】根据题意，利用勾股定理，先求出弦长的一半，进而求出弦长【解析】如图由题意知，OA=4，OD=CD=2，OCAB，AD=BD，在RtAOD中，选A【小结】本题考查了垂径定理，在求弦长时，往往通过构造直角三角形，利用勾股定理，先求出弦长的一半，再求得弦长此类问题极易出错，要特别注意19如图，一段公路转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，是上一点，垂足为，且，则这段弯路所在圆的半径为 （ ）ABCD【分析】根据题意，可以推出ADBD20，若设半径为r，则ODr10，OBr，结合勾股定理可推出

16、半径r的值【解析】，在中，设半径为得：，解得：，这段弯路的半径为选A【小结】考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度20往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示若水面宽，则水的最大深度为（ ）A4cmB5cmC8cmD10cm【分析】连接OA，作ODAB，交AB于点C，交圆于点D，根据垂径定理求得OC，利用圆的半径求得CD即可.【解析】如图，连接OA，作ODAB，交AB于点C，交圆于点D，AB=24，AC=12，OA=13，在直角三角形OAC中：OC=5，CD=OD-OC=13-5=8，选C【小结】本题考查了垂径定理的应用，过圆心

17、向弦作垂线构造垂径定理是解题的关键.21如图，有一圆形纸片圆心为，直径的长为，将纸片沿、折叠，交于点，那么阴影部分面积为（ ）ABCD【分析】如图，过点O作OGBC于G，延长交于E，反向延长GO交AD于H，连接OC、OD，由折叠得OG=GE=，利用OC=1，求出OCG=，CG=，得到BC=2CG=，BOC=，同理：AD=，证明BOGAOH，推出OG=OH，得到弓形BC与弓形AD的面积相等，利用阴影的面积=2（S扇形BOC-SBOC）代入数值计算即可【解析】如图，过点O作OGBC于G，延长交于E，反向延长GO交AD于H，连接OC、OD，由折叠得OG=GE，OGBC，OGC=，CG=BG，OG=O

18、E=，OC=1，OCG=，CG=，BC=2CG=，BOC=，同理：AD=，ADBC，OBC=OAD，OHAD，OA=OB，BOGAOH，OG=OH，弓形BC与弓形AD的面积相等，阴影的面积=2（S扇形BOC-SBOC）=，选D【小结】此题考查折叠的性质，同圆的半径相等，垂径定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，平行线的性质，扇形面积计算公式，全等三角形的判定及性质，熟记各部分知识并综合运用是解题的关键22如图，是的直径，弦于点E，则的长度为（ ）A10B9C5D4【分析】利用垂径定理EC的长，再在RtOEC中，利用勾股定理求解即可【解析】设OC=OB=x，OE=OB-BE= x-1在中，A

19、BCD，AB是直径，在RtOEC中，OC2=CE2+OE2，即x2=32+（x-1）2，解得：x=5，OE = x-1=4，AE=OA+OE=5+4=9，选B【小结】本题考查垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题23如图，O的半径为6，ABC是O的内接三角形，连接OB、OC若BAC与BOC互补，则弦BC的长为（）A3B6C9D10【分析】如图，过作于 证明 求解 再证明 由建立方程求解 从而可得答案【解析】如图，过作于 选【小结】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键24为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入

20、工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为( )A10cmB8cmC6cmD5cm【分析】如图，连接AB、OA、OC，OC交AB于E，由切线性质可得OCCD，由AB/CD可得OCAB，根据垂径定理可得AE的长，在OAE中，利用勾股定理列方程可求出OA的长，进而可得铁球的直径【解析】如图，连接AB、OA、OC，OC交AB于E，CD是O的切线，C点为切点，OCCD，AB/CD，OCAB，AB=8，AE=AB=4，OA=OC，CE=AD=2，在RtOAE中，OA2=AE2+（OA-CE）2，即OA2=42+（OA-2）2，解得：OA=5，铁球的直径=2OA=10cm选A【小结】

21、本题考查切线的性质及垂径定理，勾股定理，圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；熟练掌握相关性质及定理是解题关键25如图，的半径为，则经过点的弦长可能是（ ）A3B5C9D12【分析】当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；当弦与OP是垂直时，弦最短为8；判断即可.【解析】当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；当弦与OP垂直时，根据垂径定理，得半弦长= =4，所以最短弦为8；所以符合题意的弦长为8到10，选C【小结】本题考查了直径是最长的弦，垂径定理，熟练运用分类思想，垂径定理，勾股定理是解题的关键.26如图，AB是O的直径，AB=10，弦CDAB于点E

22、，若OA：OE=5：3，则弦CD的长为（ ）A3B4C6D8【分析】先求出OA=OC=5，OE=3，再利用勾股定理和垂径定理，即可求解【解析】AB是O的直径，AB=10，OA=OC=5，OA：OE=5：3，OE=3，CDAB于点E，CE=，CD=24=8选D【小结】本题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握勾股定理和垂径定理，是解题的关键27如图，、是的两条弦，且，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接下列结论正确的个数是（ ）；A1个B2个C3个D4个【分析】如图连接OB、OD，只要证明RtOMBRtOND，RtOPMRtOPN即可解决问题【解析】如图连接OB、OD；AB=CD，故正确OMAB

23、，ONCD，AM=MB，CN=ND，BM=DN，OB=OD，RtOMBRtOND，OM=ON，故正确，OP=OP，RtOPMRtOPN，PM=PN，OPB=OPD，故正确，AM=CN，PA=PC，故正确，选D【小结】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型28如图，四边形是的内接四边形，且， ，垂足分别为，若，则_【分析】连接DO并延长，与O相交于点G，连接BG，CG，由ACBD， DG是直径，可得DBG=90=DCG可证ACBG，可得，可得AB=CG，由OFCD，可证OFCG，可证DOFDGC

24、，由性质，由OF=，可求CG即可【解析】如图，连接DO并延长，与O相交于点G，连接BG，CG，ACBD，DG是直径，DBG=90=DCG，BGDB,ACBG，AB=CG，OFCD，OFCG，DOG=DGCDOFDGC，OF=，CG，所以AB=CG=5【小结】本题考查平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质是解题关键29如图，点为的半径的中点，弦过点且垂直于，若，则弦的长为_【分析】连接BO，先求出OM=2，再由勾股定理求出BM的长即可得到结论【解析】连接BO，如图，则M是OA的中点，是直角三角

25、形，BC=2BM，【小结】本题考查的是垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键30如图平面直角坐标系中，O的半径5，弦AB的长为4，过点O做OCAB于点C，O内一点D的坐标为（4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是_【分析】连接OB，如图，利用垂径定理得到AC=BC=2，则利用勾股定理可计算出OC=11，利用垂线段最短，当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，然后计算出OD的长，从而得到点D到AB的距离的最小值【解析】连接OB，如图，OCAB，AC=BC=AB=2，在RtOBC中，OC=，当OC经过点D时，点D到AB的距离最小，OD=5，点D到AB的距离的最小值

26、为11-5=6【小结】本题考查垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理31如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，A22.5，OC4，CD的长为_【分析】先求解 再由 可得 再利用 解方程，从而可得答案【解析】 【小结】本题考查的是垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键32如图，AB，AC分别是O的直径和弦，ODAC于点D，连接BD，BC，且AB10，AC8，则BD的长为_【分析】先根据圆周角定理得到ACB90，则利用勾股定理可计算出BC6，再根据垂径定理得到CDAD4，然后利用勾股定理计算BD初高中数学资料共享群（756917

27、376）【解析】AB为直径，ACB90，在RtACB中，ODAC，在RtBCD中，【小结】本题考查勾股定理的应用，垂径定理的应用，圆周角定理的应用，掌握以上知识是解题的关键33如图，半径为的中有弦，以为折痕对折，劣弧恰好经过圆心，则弦的长度为_【分析】如果过O作OCAB于D，交折叠前的于C，根据折叠后劣弧恰好经过圆心O，根据垂径定理及勾股定理即可求出AD的长，进而求出AB的长【解析】如图，过O作OCAB于D，交折叠前的于C，的半径为，又折叠后劣弧恰好经过圆心O，OA=OC=2，ODCD1，在RtOAD中，OA2，OD1，AD=，AB2AD故答案为：【小结】本题考查了垂径定理和勾股定理的综合运用

28、，利用好条件：劣弧折叠后恰好经过圆心O是解题的关键34如图，是的直径，弦于点E，若，求的长【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=ED=CD=3，然后在RtOEC中由勾股定理求出OE的长度【解析】：如图,连接OC.弦于点E，在中，【小结】本题考查圆的性质与勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键35如图，AB为的直径，CD是弦，且于点E，连接AC、OC、BC（1）求证：（2）若，求的直径【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，可求得，又因为是等腰三角形，即可求证；（2）设的半径为，则，利用垂径定理得到 ，在中，利用勾股定理即可得到的半径为，进而即可得到直径【解析】（1），；（2）

29、设的半径为，在中，即，解得，所以直径为【小结】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等、垂径定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握运用以上知识点36如图，是O的内接三角形，是O的直径，点B是O上的一点，点E在的延长线上，射线经过点C，；（1）求证：是O的切线；（2）若，求的长【分析】（1）连接，推出，进而可证明，进而即可得到结论；（2）过点O作于点H，可得和是等腰直角三角形，结合锐角三角函数，可得，进而即可求解初高中数学资料共享群（756917376）【解析】（1）证明：连接，是的直径，；，；，即：；是的半径，是的切线；（2）解：过点O作

30、于点H，是等腰直角三角形；，；，过圆心O，在中，；【小结】本题主要考查切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理及其推论以及三角函数，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键37如图，已知AB是O的直径，C是半圆上一点(不与点A，B重合)（1）用尺规过点C作AB的垂线交O于点D(保留作图痕迹，不写作法)；（2）若AC=4，BC=2，求（1）中所作的弦CD的长【分析】（1）利用基本作图，过点C作AB的垂线得到弦CD；（2）利用勾股定理求出AB，再根据三角形面积求法算出CE，继而得到CD【解析】（1）如图，CD为所作，且CD与AB交于E；（2）由勾股定理可得：，由三角形面积求法可得：CD=2CE=

31、 【小结】本题考查圆综合应用，熟练掌握与直径垂直的弦的作法、勾股定理及垂径定理的应用是解题关键38已知，中，是上的点，（1）如图，求证；（2）如图，连接，若，求，的大小【分析】（1）利用垂径定理证明，再根据即可证明；（2）先利用圆的内接四边形的性质求出的大小，再根据垂径定理和同弧所对的圆周角相等即可求出和的大小初高中数学资料共享群（756917376）【解析】（1）中，（2）四边形是圆内接四边形，中，【小结】本题主要考查垂径定理和圆的内接四边形的性质，以及圆周角和弧长的关系，属于简单题型39如图，AB是O的弦，半径ODAB，垂足为C，点E在O上，连接OA、DE、BE（1）若DEB30，求AOD

32、的度数；（2）若CD2，弦AB8，求O的半径长【分析】（1）根据圆周角定理得到BOD的度数，再利用垂径定理得到，利用圆心角、弧、弦的关系得到AODBOD60；（2）设O的半径为r，则OCr2，根据垂径定理得到ACBC4，然后利用勾股定理得到（r2）242r2，再解方程即可得出结果【解析】（1）BOD2DEB，DEB30，BOD60，ODAB，AODBOD60；（2）设O的半径为r，则OCr2，ODAB，ACBCAB84，在RtOAC中，由勾股定理得：（r2）242r2，解得：r5，即O的半径长为5【小结】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键

33、40如图，在中，点在边上，以为圆心，为半径的弧经过点是弧上的一个动点（1）求线段的长；（2）若是弧的中点，连接，求的正切值；（3）若平分，延长交的延长线于点，求线段的长【分析】（1）过点作于点，根据垂径定理得到BH的长，根据相似三角形的判定得到BHOBCA，从而得到，可得到BC的长，根据勾股定理即可求出AC的长；（2）连接交于点，过点作于点，根据垂径定理得到，根据勾股定理得OH的长，由全等三角形的判定得到POEBOH，可得，因为，根据正切的定义即可得到结论；（3）过点作于点，根据角平分线的性质得到，根据相似三角形的判定得到，设，继而得到，根据全等三角形的判定可得，从而得到，根据勾股定理可得x的

34、值，从而得到AD和BD的长，根据相似三角形的判定得到，可得，从而求出BF的长，继而可得到结论【解析】（1）如图1，过点作于点，则，BHOBCA，在中，；（2）如图2，连接交于点，过点作于点，是弧的中点，在中，在与中，POEBOH（AAS），的正切值为（3）如图3，过点作于点，平分，设，在与中，解得（舍去）或，过点作交于点，则，【小结】本题考查了垂径定理，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识正确作出辅助线是解题的关键考法2 弧弦圆心角的关系1下列命题中是真命题的是（ ） A1的平方根是1B等弦所对的圆周角相等C等腰三角形的高、角平分线、中线重合D两条直线被第三条直线

35、所截，内错角不一定相等【分析】由平方根的含义判断 由圆的弧，弦，圆心角，圆周角的关系判断 由等腰三角形的性质判断 由内错角的含义判断 从而可得答案【解析】1的平方根是，故不符合题意；初高中数学资料共享群（756917376）等弦所对的圆周角不一定相等，故不符合题意；等腰三角形的底边上的高、顶角的角平分线、底边上的中线互相重合，故不符合题意；两条直线被第三条直线所截，内错角不一定相等，真命题，故符合题意；选【小结】本题考查的是真假命题的判断，同时考查了内错角的含义，平方根的含义，等腰三角形的性质，弧，弦，圆心角，圆周角的关系，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键2如图，AB是O的直径，C、D是上

36、的三等分点，则A+D（）A120B95C105D150【分析】根据圆周角定理和圆心角、弦、弧的关系求得ACB90，BOD60，A60，再根据OB=OD证得BOD为等边三角形，则有D=60，即可求解【解析】C、D是上的三等分点，AB是O的直径，ACB90，BOD60，A60，OBOD，OBD为等边三角形，D60，A+D120，选A【小结】本题考查圆周角定理，圆心角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键3如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（）A这两条弦所对的圆心角相等B这两条弦所对的弧相等C这两条弦都被与它垂直的半径平分D这两条弦所对的弦心距相等【分析】在同圆或

37、等圆中，两条相等的弦所对的圆心角相等，弧相等，据此解答【解析】A. 在同圆或等圆中，两条相等的弦所对的圆心角相等，故A错误；B. 在同圆或等圆中，两条相等的弦所对弧相等，故B错误；C. 如果在两个圆中有两条相等的弦，这两条弦都被与它垂直的半径平分，故C正确；D. 如果在两个圆中有两条相等的弦，这两条弦所对的弦心距不一定相等，故D错误【小结】本题考查圆心角、弧、弦的关系及垂径定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键4如图，是上的点，若，则的面积为（ ）A3B6C9D12【分析】作出辅助线延长交于点，连接，由此构建圆心角，根据圆周角与弧长和弦长的关系得到，再据此求出的面积，经由即可求出的

38、面积.【解析】：如图延长交于点，连接，三点共线，,，.故选A.【小结】本题主要考查圆心角所对弧、弦的关系，圆周角定理，关键在于作出的延长线，来构造出圆心角相等，以此来解决问题.5如图，是的直径，是上的三等分点，且，则等于 （ ）A120B95C105D150【分析】由圆心角、弦、弧的关系及圆周角定理可得ACB=90，BOD=60，A=60，通过证明OBD为等边三角形，即可求D=60，进而可求解；【解析】 C、D是 上的三等分点， ， AB是圆的直径， ACB=90，BOD=60，A=60，OB=OD，OBD为等边三角形，D=60，A+D=120，选A【小结】本题主要考查了圆心角、弦、弧的关系，

39、等边三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点的综合运用；6如图，正五边形内接于，点为上一点（点与点，点不重合），连接，垂足为，则等于（ ）A72B54C36D64【分析】根据正五边形内接于，可得，再根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系，可得，再根据三角形内角和定理即可得【解析】正五边形内接于，与所对的弧相同=，选B【小结】本题主要考查了圆内接正多边形的性质及同弧所对的圆周角和圆心角的性质，解题的关键是求出所对的圆心角7如图，AB为O直径，CD为弦，ABCD于E，连接CO，AD，BAD25，下列结论中正确的有（ ）CEOE；C40；AD2OEABCD【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的

40、关系以及直角三角形边的关系进行判断即可【解析】AB为O直径，CD为弦，ABCD于E，CE=DE，BOC=2A=40，即，故正确；OEC=90，BOC=40，C=50，故正确；CBOC，CEOE，故错误；作OPCD，交AD于P，ABCD，AEAD，AOP=90，OAPA，OEPD，PA+PDOA+OEOEOA，AD2OE，故错误；选B【小结】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键8如图，是O的直径，点是上一个动点（点不与点，重合），在点运动的过程中，有如下四个结论：至少存在一点，使得；若，则；不是直角；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）ABCD【分

41、析】根据圆的直径的性质，直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角是90，弧，弦，圆心角的关系，以及圆的半径相等，即可得出【解析】因为直径是圆中最长的弦,故错误，若 则 PB2PA ，故错误， 因为直径所对的圆周角是90，APB=90，所以PAB不可能是90，故正确， 连接PA，PO，如图POB=PAO+APO，PAO=APO，POB=2OPA 故正确，选B【小结】本题考查了与圆有关的性质，圆的直径的性质，直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角是90，弧，弦，圆心角的关系，以及圆的半径相等，解题的关键是掌握圆的有关的性质，直径，半径，圆周角，圆心角，弧，等知识是解题的关键9下列说法错误的是（ ）A等弧

42、所对的弦相等B圆的内接平行四边形是矩形C的圆周角所对的弦是直径D平分一条弦的直径也垂直于该弦【分析】根据圆的性质逐项判断即可【解析】A等弧所对的弦相等，故A正确，不符合题意B根据圆的内接四边形对角互补和平行四边形邻角互补，即可知圆的内接平行四边形是矩形故B正确，不符合题意C的圆周角所对的弦是直径，故C正确，不符合题意D平分一条弦（非直径）的直径也垂直于该弦故D错误，符合题意选D【小结】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及圆内接平行四边形的性质熟练掌握这些知识是判断此题的关键10下列判断正确的个数有（ ）平分弦的直径垂直于弦；圆内接平行四边形是菱形；一条弧所对的圆周角等于它所对

43、的圆心角的一半；如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等A1个B2个C3个D4个【分析】根据垂径定理可对进行判断；根据圆内接四边形的性质及矩形的判定定理可对进行判断；根据圆周角定理可对进行判断；根据弧、弦、圆心角的关系可对进行判断；综上即可得答案【解析】平分弦（非直径）的直径垂直于弦；故错误；四边形内接于圆，四边形的对角互补，四边形是平行四边形，对角相等，四边形的四个内角都是直角，四边形是矩形，故错误，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故正确，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周心相等，故错误，综上所述：正确的判断为，共1个，选A【小结】本题考查垂径定理、圆周角定理、圆

44、内接四边形的性质、矩形的判定及弧、弦、圆心角的关系，平分弦（非直径）的直径垂直于弦；并且平分弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周心相等；熟练掌握相关定理及性质是解题关键11下列命题：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；圆内接四边形的对角互补其中正确的命题共有（ ）A个B个C个D个【分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质判断【解析】垂直于弦的

45、直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，本小题说法是真命题；在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，本小题说法是真命题；在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，本小题说法是真命题；圆内接四边形的对角互补，本小题说法是真命题；选A【小结】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理12下列说法中，正确的是（ ）A等弦所对的弧相等B在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C圆心角相等，所对的弦相等D弦相等所对的圆心角相等【分析】根据弦、弧与圆心角的关系逐一判断即可.【解析】A、等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆，故此选

46、项不符合题意；B、在同圆或等圆中，等弧所对应的弦相等，故此选项正确；C、同圆或等圆中，圆心角相等所对应的弦相等，故此选项不符合题意；D、同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等或互补，如果不等的圆，那么弦相等不一定能确定所对圆心角的大小，故此选项不符合题意；故选B【小结】本题考查弦、弧与圆心角的关系，此类试题难度不大，关键是掌握弦和圆心角等一些基本知识，容易混淆.13如图，线段AB是的直径，弦CDAB，CAB20，则BOD等于（ ）A30B70C40D20【分析】由线段是的直径， 弦，根据垂径定理可得，然后由圆周角定理， 即可求得答案 【解析】连接OC，线段是的直径， 弦，选【小结】本题考查垂径

47、定理、圆周角定理，掌握圆的基本性质定理是解题的关键14如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，ABC50，则BCD（）A105B110C115D120【分析】连接AC，然后根据圆内接四边形的性质，可以得到ADC的度数，再根据点D是弧AC的中点，可以得到DCA的度数，直径所对的圆周角是90，从而可以求得BCD的度数【解析】连接AC，ABC50，四边形ABCD是圆内接四边形，ADC130，点D是弧AC的中点，CDAC，DCADAC25，AB是直径，BCA90，BCDBCA+DCA115，选C【小结】本题考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答15如

48、图，是的直径，点，在上，交于点若则的度数为（ ）ABCD【分析】先根据圆周角定理得到，再根据等弧所对的弦相等，得到，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到CAD=，BAG=，即可求解【解析】是的直径选B【小结】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键16如图，中，则的度数为（ ）A100B90C80D70【分析】首先根据弧、弦、圆心角的关系得到AB=AC，再根据等腰三角形的性质可得A的度数，然后根据圆周角定理可得BOC=2A，进而可得答案【解析】，AB=AC，ABC=ACB=70，A=180-702=40，圆O是ABC的外接圆，BO

49、C=2A=402=80，故选C【小结】此题主要考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，由圆周角定理得出结果是解决问题的关键17下列命题中真命题是（ ）A平分弦的半径垂直于弦B垂直平分弦的直线必经过圆心C相等的圆心角所对的弦相等D经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，切线的判定定理判断即可【解析】A.平分弦（不是直径）的半径垂直于弦，本选项说法是假命题；B.垂直平分弦的直线必经过圆心，本选项说法是真命题；C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，本选项说法是假命题；D.经过半径外端且垂直于这条半

50、径的直线是圆的切线，本选项说法是假命题；选B【小结】本题主要考查了圆中相关命题正误的判断，熟练掌握垂径定理，圆心角、弦、弧的关系定理，切线的判定定理等知识是解决本题的关键18下列命题：长度相等的弧是等弧；任意三点确定一个圆；相等的圆心角所对的弦相等；平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；其中真命题共有( )A0个B1个C2个D3个【分析】由等弧的概念判断，根据不在一条直线上的三点确定一个圆，可判断；根据圆心角、弧、弦的关系判断，根据垂径定理判断.【解析】同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，故是假命题；不在一条直线上的三点确定一个圆,若三点共线，则不能确定圆，故是假命题；同圆或等圆中，

51、相等的圆心角所对的弦相等，故是假命题；圆两条直径互相平分，但不垂直，故是假命题；所以真命题共有0个，故选A.【小结】本题考查圆中的相关概念，熟记基本概念才能准确判断命题真假.19在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（ ）A这两条弦所对的弦心距相等B这两条弦所对的圆心角相等C这两条弦所对的弧相等D这两条弦都被垂直于弦的半径平分【分析】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，但在不同圆中则应另当别论【解析】A. 这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；B. 这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；C. 这两条弦所对的弧不一定相等，原说法

52、错误，故本选项错误；D. 这两条弦都被垂直于弦的半径平分(垂径定理)，原说法正确，故本选项正确；故选D.【小结】此题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，解题关键在于掌握其性质定理 .20已知O的半径为5，弦AB=6，P是AB上任意一点，点C是劣弧的中点，若POC为直角三角形，则PB的长度（）A1B5C1或5D2或4【分析】由点C是劣弧AB的中点，得到OC垂直平分AB，求得DA=DB=3，根据勾股定理得到OD=1，若POC为直角三角形，只能是OPC=90，则根据相似三角形的性质得到PD=2，于是得到结论【解析】点C是劣弧AB的中点，OC垂直平分AB，DA=DB=3，OD=，若POC为直角三角形，

53、只能是OPC=90，则PODCPD，PD2=41=4，PD=2，PB=32=1，根据对称性得，当P在OC的左侧时，PB=3+2=5，PB的长度为1或5.，选C【小结】考查了圆周角，弧，弦的关系，勾股定理，垂径定理，正确左侧图形是解题的关键21如图，AB是O的弦，OA、OC是O的半径，BAO=37，则AOC的度数是（）度.A74B106C117D127【分析】连接OB，进而得出AOB的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得AOC的度数【解析】连接OB，OA=OB，BAO=37，AOB=180-237=106，AOC=BOC=127，故选D【小结】此题考查了圆周角定理此

54、题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键22如图，已知AB和CD是O的两条等弦OMAB，ONCD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP下列四个说法中：；OM=ON；PA=PC；BPO=DPO，正确的个数是（）A1B2C3D4【解析】如图连接OB、OD；AB=CD，=，故正确OMAB，ONCD，AM=MB，CN=ND，BM=DN，OB=OD，RtOMBRtOND，OM=ON，故正确，OP=OP，RtOPMRtOPN，PM=PN，OPB=OPD，故正确，AM=CN，PA=PC，故正确，故选D23下列说法中，结论错误的是（ ）A直径相

55、等的两个圆是等圆B长度相等的两条弧是等弧C圆中最长的弦是直径D一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【分析】利用圆的有关定义进行判断后利用排除法即可得到正确的答案；【解析】A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选B【小结】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的定义及性质是解答本题的关键24如图，正八边形ABCDEFGH内接于O，点P是上的任意一点，则CPE的度数为_【分析】连接OD,OC,OE,利用

56、正八边形的中心角的定义，计算圆心角COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可【解析】连接OD,OC,OE,八边形ABCDEFGH是正八边形,COD=DOE=45,COE=45+45=90CPE=COE=45【小结】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键25如图，已知O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是AOB、COD，若AOB与COD互补，弦CD4，则弦AB的长为_【分析】作直径AE，连接BE，如图，利用等角的补角相等得到BOECOD，则根据圆心角、弧、弦的关系得到BECD4，接着利用圆周角定理得到ABE90，然后利用勾股定理计算AB的长【

57、解析】作直径AE，连接BE，如图，AOBCOD180，AOBBOE180，BOECOD，BECD4，AE为直径，ABE90，在RtABE中，故答案为：【小结】本题主要考查圆的基本性质，解题的关键是应用圆的性质和勾股定理解决问题26如图，是的内接三角形，为直径，平分，连接、，若，则的度数为_【分析】由为直径，可得BAC=BDC=90由平分，可证BD=DC，可得DBC=DCB=45，可求ABC=90-ACB=25，可求ABD=ABC+DBC=70即可【解析】是的内接三角形，为直径，BAC=BDC=90平分，BAD=CAD，BD=DC，DBC=DCB=45，ABC=90-ACB=90-65=25，A

58、BD=ABC+DBC=25+45=70【小结】本题考查圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质，掌握圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质是解题关键27如图，若，那么与_相等（填“一定”、“一定不”、“不一定”）【分析】根据圆心角、弧、弦关系定理进行解答即可【解析】1=2，AB=AC,=，故答案为：一定【小结】本题考查的是圆心角，熟知在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等是解答此题的关键28如图，为的直径，为的中点，过作交于，连接，则的度数为_【分析】连接OM根据弧与圆心角的度数求得BOC的度数，然后利用为的中点，求得MOB=COM=30，结合平行线的性质和

59、等腰三角形的性质求得MNB，B，即可解决问题【解析】连接OMAB是直径，BOC=180=60，为的中点，MOB=COM=30，OM=OB，B=OMB=（180-30）=75，OCMN，MNB=COB=60，BMN=180-BNM-NBM=180-60-75=45，【小结】本题考查圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型29如图，在O中，若弧ABBCCD，则AC与2CD的大小关系是：AC _2CD（填“”，“”或“”）【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到AB=BC=CD，然后根据三角形三边的关系可得到AC与2CD之间的关系【解析】连

60、接AB、BC，如图， ，AB=BC=CD，AB+BCAC，2CDAC，即AC2CD故答案为：【小结】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等30如图，是的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是_度【分析】本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题【解析】连接OA，OB，作OHAC，OMAB，如下图所示：因为等边三角形ABC，OHAC，OMAB，由垂径定理得：AH=AM，又因为OA=OA，故OAHOAM（HL）OAH