2022届吉林省永吉县实验高三下第一次测试数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙丙丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ）ABCD2已知为圆

2、：上任意一点，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( )ABC（）D（）3已知是虚数单位，若，则（ ）AB2CD34设集合，则（ ）ABCD5设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD6复数的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限7如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图

3、，下列结论错误的是（ ） A2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格8定义两种运算“”与“”，对任意，满足下列运算性质：，；（） ，则（2020）（20202018）的值为( )ABCD9是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（ ）ABCD10已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于两点（A在右支

4、，B在左支）若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）ABCD11已知向量与向量平行，且，则（ ）ABCD12执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )A9B31C15D63二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13抛物线上到其焦点距离为5的点有_个14等边的边长为2，则在方向上的投影为_15（5分）已知为实数，向量，且，则_16命题“”的否定是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在四棱锥中，底面，为的中点，是上的点.（1）若平面，证明：平面.（2）求二面角的余弦值.18（12分）已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）已知，若对

5、于任意恒成立，求的取值范围.19（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸.呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男女合计已知在全部人中随机抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率为.（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关？请说明你的理由；（2）已知在不患心肺疾病的位男性中，有位从事的是户外作业的工作.为了指导市民尽可能地减少因雾霾天气对身体的伤害，现从不患心肺疾病的位男性中，选出人进行问卷调查，求所选的人中至少有一位从事

6、的是户外作业的概率.下面的临界值表供参考：（参考公式，其中）20（12分）如图1，在边长为4的正方形中，是的中点，是的中点，现将三角形沿翻折成如图2所示的五棱锥.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.21（12分）已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称.（1）求和的标准方程；（2）过点的直线与交于，与交于，求证：.22（10分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上关于轴对称的任意两点，设，连接交椭圆于另一点求证：直线过定

7、点并求出点的坐标；（3）在（2）的条件下，过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.【详解】设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为,则基本事件有,共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为,故选：B.【点睛】本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.2B【解析】如图所示：连接，根据垂直平分线知，故轨迹为双曲线，计算得到答案.【详解】如图所示：连接，根据垂直平分线知，故，故轨迹为双曲线，故，故

8、轨迹方程为.故选：.【点睛】本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.3A【解析】直接将两边同时乘以求出复数，再求其模即可.【详解】解：将两边同时乘以，得故选：A【点睛】考查复数的运算及其模的求法，是基础题.4A【解析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，又，所以.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.5D【解析】先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数，因为，所以，所以为奇函数，当时，所以在上单调递减，所以在R上单调递减.因为存在，所以，所以，化简得

9、，所以，即令，因为为函数的一个零点，所以在时有一个零点因为当时，所以函数在时单调递减，由选项知，又因为，所以要使在时有一个零点，只需使，解得，所以a的取值范围为，故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.6C【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.7D【解析】先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A、C正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为，由题意可知，则有，所以D正

10、确.故选：D【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.8B【解析】根据新运算的定义分别得出2020和20202018的值，可得选项.【详解】由（） ，得（+2），又，所以， ，以此类推，202020182018，又，所以， ，以此类推，2020，所以（2020）（20202018），故选：B.【点睛】本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题.9D【解析】首先由题意得，当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，的中点即为梯形的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.

11、【详解】如图，四边形为等腰梯形，则其必有外接圆，设为梯形的外接圆圆心，当也为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过作的垂线交于点，交于点，连接，点必在上，、分别为、的中点，则必有，即为直角三角形.对于等腰梯形，如图：因为是等边三角形，、分别为、的中点，必有，所以点为等腰梯形的外接圆圆心，即点与点重合，如图，所以四棱锥底面的高为，.故选：D.【点睛】本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.10D【解析】根据双曲线的定义可得的边长为，然后在中应用余弦定理得的等式，从而求得

12、离心率【详解】由题意，又，在中，即，故选：D【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把到两焦点距离用表示，然后用余弦定理建立关系式11B【解析】设，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.【详解】设，且，由得，即，由，所以，解得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.12B【解析】根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.【详解】执行程序框；，满足，退出循环，因此输出，故选:B.【点睛】本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关

13、键，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。132【解析】设符合条件的点,由抛物线的定义可得,即可求解.【详解】设符合条件的点,则,所以符合条件的点有2个.故答案为:2【点睛】本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径.14【解析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，则：，且，据此可知在方向上的投影为.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.155【解析】由，且，得，解得，则，则16，【解析】根据特称命题的否定为全称命题得到结

14、果即可.【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题，则该命题的否定是：，故答案为：，【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）证明见解析（2）【解析】（1）因为，利用线面平行的判定定理可证出平面，利用点线面的位置关系，得出和，由于底面，利用线面垂直的性质，得出，且，最后结合线面垂直的判定定理得出平面，即可证出平面.（2）由（1）可知，两两垂直，建立空间直角坐标系，标出点坐标，运用空间向量坐标运算求出所需向量，分别求出平面和平面的法向量，最后利用空间二面角公式，即可求出的余弦值.【详解】（1）证明：因

15、为，平面，平面，所以平面，因为平面，平面，所以可设平面平面，又因为平面，所以.因为平面，平面，所以，从而得.因为底面，所以.因为，所以.因为，所以平面.综上，平面.（2）解：由（1）可得，两两垂直，以为原点，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，则，所以，.设是平面的法向量，由取取，得.设是平面的法向量，由得取，得，所以，即的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定和空间二面角的计算，还运用线面平行的性质、线面垂直的判定定理、点线面的位置关系、空间向量的坐标运算等，同时考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.18（1）或；（2）.【解析】（1）时，分类讨论，去掉绝对值，分

16、类讨论解不等式.（2）时，分类讨论去绝对值，得到解析式，由函数的单调性可得的最小值，通过恒成立问题，得到关于的不等式，得到的取值范围.【详解】（1）因为，所以，所以不等式等价于或或，解得或.所以不等式的解集为或.（2）因为，所以，根据函数的单调性可知函数的最小值为，因为恒成立，所以，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.19（1）列联表见解析，有的把握认为患心肺疾病与性别有关，理由见解析；（2）.【解析】（1）结合题意完善列联表，计算出的观测值，对照临界值表可得出结论；（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为

17、、，其余三人分别为、，利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“所选的人中至少有一位从事的是户外作业”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【详解】（1）由于在全部人中随机抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率为，所以人中患心肺疾病的人数为人，故可将列联表补充如下：患心肺疾病不患心肺疾病合计男女合计.故有的把握认为患心肺疾病与性别有关；（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、，其余三人分别为、.从中选取三人共有以下种情形：、.其中至少有一位从事的是户外作业的有种情形，分别为：、，所以所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率为.【点睛】本题考查利用独立性

18、检验的基本思想解决实际问题，同时也考查了利用列举法求解古典概型的概率问题，考查计算能力，属于中等题.20（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用线面平行的定义证明即可（2）取的中点，并分别连接，然后，证明相应的线面垂直关系，分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用坐标运算进行求解即可【详解】证明：（1）在图1中，连接.又，分别为，中点，所以.即图2中有.又平面，平面，所以平面.解：（2）在图2中，取的中点，并分别连接，.分析知，.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又，所以，.分别以，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，.设平面的一个法向量，则，取，则，所以.又，所以.分析知，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明以及利用空间向量求解线面角问题，属于基础题21（1）,；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）设的标准方程为，由题意可设结合中点坐标公式计算可得的标准方程为半径，则的标准方程为 （2）设的斜率为，则其方程为，由弦长公式可得联立直线与抛物线的方程有设，利用韦达定理结合弦长公式可得 则即 详解：（1）设的标准方程为，则已知在直线上，故可设 因为关于对称，所以解得 所以的标准方程为 因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为 （2）设的斜率为，那么其方程为，则到的距离，所以由消去