2022届湖南省邵阳市洞口、隆回、武冈高三第四次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知数列对任意的有成立，若，则等于（ ）ABCD2抛物线的焦点为，点是上一点，则（ ）ABCD3若是第二象限角且sin =，则=ABCD4我国古代典籍周易用“卦”描述万物的

2、变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（ ）ABCD5已知命题：任意，都有；命题：，则有则下列命题为真命题的是（）ABCD6马林梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）A3B4C5D67在正方体中，点，分别为棱，的中点，给出下列命题：；平面；和成

3、角为.正确命题的个数是（ ）A0B1C2D38一物体作变速直线运动，其曲线如图所示，则该物体在间的运动路程为（ ）mA1BCD29在平面直角坐标系中，锐角顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点，则（ ）ABCD10定义在R上的函数y=fx满足fx2x-1ABCD11已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（ ）ABCD12一个空间几何体的正视图是长为4，宽为的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13我国古代数学名著九章算术对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四

4、个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为，则该几何体外接球的表面积为_14数列的前项和为 ，则数列的前项和_15在中，角的平分线交于，则面积的最大值为_16（5分）已知椭圆方程为，过其下焦点作斜率存在的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则面积的取值范围是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）等差数列的前项和为，已知，.（）求数列的通项公式及前项和为；（）设为数列的前项的和，求证：.18（12分）已知函数.（1）讨论函数的极值；（2）记关于的方程的两根分别为，求证：.19（12分）2019年

5、是中华人民共和国成立70周年为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，并绘制了如图所示的频率分布直方图（1）现从年龄在，内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用表示年龄在）内的人数，求的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为当最大时，求的值20（12分）设函数.（）讨论函数的单调性；（）如果对所有的0，都有，求的最小值；（）已知数列中，且，若数列的前n项和为，求证：.21（12分）某市调硏机构对该市工薪阶层对

6、“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：月收入（单位：百元）频数51055频率0.10.20.10.1赞成人数4812521（1）若所抽调的50名市民中，收入在的有15名，求，的值，并完成频率分布直方图（2）若从收入（单位：百元）在的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，选中的2人中恰有人赞成“楼市限购令”，求的分布列与数学期望（3）从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民，恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这3名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果22（10分）在直角坐标系中，点的坐标为

7、，直线的参数方程为（为参数，为常数，且）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.设点在圆外.（1）求的取值范围.（2）设直线与圆相交于两点，若，求的值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】观察已知条件，对进行化简，运用累加法和裂项法求出结果.【详解】已知，则，所以有， ，两边同时相加得，又因为，所以.故选：【点睛】本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法和裂项法，遇到形如时就可以采用裂项法进行求和，需要掌握数列中的方法，并能熟练运用对应方法求

8、解.2B【解析】根据抛物线定义得，即可解得结果.【详解】因为，所以.故选B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.3B【解析】由是第二象限角且sin =知：，所以4C【解析】利用组合的方法求所求的事件的对立事件,即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率,再根据两对立事件的概率和为1求解即可.【详解】设“该重卦至少有2个阳爻”为事件.所有“重卦”共有种；“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件是“该重卦没有阳爻或只有1个阳爻”,其中,没有阳爻（即6个全部是阴爻）的情况有1种,只有1个阳爻的情况有种,故,所以该重卦至少有2个阳爻的概率是.故选：C【点睛】本题主要考查了对立事件概率和为1的

9、方法求解事件概率的方法.属于基础题.5B【解析】先分别判断命题真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.【详解】为真命题；命题是假命题，比如当,或时，则 不成立.则，均为假.故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.6C【解析】模拟程序的运行即可求出答案【详解】解：模拟程序的运行，可得：p1，S1，输出S的值为1，满足条件p7，执行循环体，p3，S7，输出S的值为7，满足条件p7，执行循环体，p5，S31，输出S的值为31，满足条件p7，执行循环体，p7，S127，输出S的值为127，满足条件p7，执行循环体，p9，S511，输出S的值为511，此时

10、，不满足条件p7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，故选：C【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题7C【解析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【详解】设正方体边长为，建立空间直角坐标系如下图所示，.，所以，故正确.，不存在实数使，故不成立，故错误.，故平面不成立，故错误.，设和成角为，则，由于，所以，故正确.综上所述，正确的命题有个.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.8C【解析】由图像用分段函数表示，该物体在间的运动路程可用定积分表示，计算即得解

11、【详解】由题中图像可得，由变速直线运动的路程公式，可得所以物体在间的运动路程是故选：C【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.9A【解析】根据单位圆以及角度范围，可得，然后根据三角函数定义，可得，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：，又为锐角所以，根据三角函数的定义：所以由所以故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题.10D【解析】根据y=fx+1为奇函数，得到函数关于1,0中心对称，排除AB，计算f1.5

12、【详解】y=fx+1为奇函数，即fx+1=-f-x+1，函数关于f1.52故选：D.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于1,0中心对称是解题的关键.11A【解析】对复数进行化简，由于为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到的值，从而得到复数.【详解】 因为为纯虚数，所以，得所以.故选A项【点睛】本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.12B【解析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积【详解】由题意原几何体是正三棱柱，故选：B【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积解题关键是由三视图不愿出原几何体二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】三视图

13、还原如下图：，由于每个面是直角，显然外接球球心O在AC的中点.所以，填。【点睛】三视图还原，当出现三个尖点在一个位置时，我们常用“揪尖法”。外接球球心到各个顶点的距离相等，而直角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等，所以本题的球心为AC中点。14【解析】解： 两式作差，得 ，经过检验得出数列的通项公式，进而求得 的通项公式， 裂项相消求和即可【详解】解：两式作差，得 化简得 ，检验：当n=1时， ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列； ，令 故填： 【点睛】本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n项和，解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力1515【解析】

14、由角平分线定理得,利用余弦定理和三角形面积公式，借助三角恒等变化求出面积的最大值.【详解】画出图形：因为，由角平分线定理得,设，则由余弦定理得：即当且仅当，即时取等号所以面积的最大值为15故答案为：15【点睛】此题考查解三角形面积的最值问题，通过三角恒等变形后利用均值不等式处理，属于一般性题目.16【解析】由题意，则，得由题意可设的方程为，联立方程组，消去得，恒成立，则，点到直线的距离为，则，又，则，当且仅当即时取等号故面积的取值范围是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（）， （）见解析【解析】（）根据等差数列公式直接计算得到答案.（），根据裂项求和法计算得到

15、得到证明.【详解】（）等差数列的公差为，由，得，即，解得，.，.（），即.【点睛】本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.18（1）见解析； （2）见解析【解析】（1）对函数求导，对参数讨论，得函数单调区间，进而求出极值；（2）是方程的两根，代入方程，化简换元，构造新函数利用函数单调性求最值可解.【详解】（1）依题意，；若，则，则函数在上单调递增，此时函数既无极大值，也无极小值；若，则，令，解得，故当时，单调递增；当时，单调递减，此时函数有极大值，无极小值；若，则，令，解得，故当时，单调递增；当时，单调递减，此时函数有极大值，无极小值；（2）依题意，

16、则，故，；要证：，即证，即证：，即证，设，只需证：，设，则，故在上单调递增，故，即，故.【点睛】本题考查函数极值及利用导数证明二元不等式.证明二元不等式常用方法是转化为证明一元不等式，再转化为函数最值问题.利用导数证明不等式的基本方法：(1)若与的最值易求出，可直接转化为证明；(2)若与的最值不易求出，可构造函数，然后根据函数 的单调性或最值，证明.19（1）分布列见解析,（1）【解析】（1）根据频率分布直方图及抽取总人数，结合各组频率值即可求得各组抽取的人数；的可能取值为0，1，1，由离散型随机变量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由数学期望公式即可求得其数学期望.（1）先求得年龄在内

17、的频率，视为概率.结合二项分布的性质，表示出，令，化简后可证明其单调性及取得最大值时的值【详解】（1）按分层抽样的方法拉取的8人中，年龄在的人数为人，年龄在内的人数为人年龄在内的人数为人所以的可能取值为0，1，1所以，所以的分市列为011 （1）设在抽取的10名市民中，年龄在内的人数为，服从二项分布由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为，所以，所以设，若，则，；若，则，所以当时，最大，即当最大时，【点睛】本题考差了离散型随机变量分布列及数学期望的求法，二项分布的综合应用，属于中档题.20（）函数在上单调递减，在单调递增；（）；（）证明见解析【解析】（）先求出函数f（x）的导数，通过解关于导数的

18、不等式，从而求出函数的单调区间；（）设g（x）f（x）ax，先求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出a的最小值；（）先求出数列是以为首项，1为公差的等差数列，问题转化为证明：，通过换元法或数学归纳法进行证明即可【详解】解：（） f（x）的定义域为（1，+），当时，f（x）2，当时，f（x）2，所以函数f（x）在上单调递减，在单调递增（）设，则，因为x2，故，（）当a1时，1a2，g（x）2，所以g（x）在2，+）单调递减，而g（2）2，所以对所有的x2，g（x）2，即f（x）ax；（）当1a1时，21a1，若，则g（x）2，g（x）单调递增，而g（2）2，所以当时

19、，g（x）2，即f（x）ax；（）当a1时，1a1，g（x）2，所以g（x）在2，+）单调递增，而g（2）2，所以对所有的x2，g（x）2，即f（x）ax；综上，a的最小值为1（）由（1an+1）（1+an）1得，anan+1anan+1，由a11得，an2，所以，数列是以为首项，1为公差的等差数列，故，由（）知a1时，x2，即，x2法一：令，得，即因为，所以，故法二：下面用数学归纳法证明（1）当n1时，令x1代入，即得，不等式成立（1）假设nk（kN*，k1）时，不等式成立，即，则nk+1时，令代入，得，即：，由（1）（1）可知不等式对任何nN*都成立故考点：1利用导数研究函数的单调性；1、利用导数研究函数的最值； 3、数列的通项公式；4、数列的前