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1、2.1.4 数乘向量探究一：向量的数乘运算及其几何意义思考1：已知非零向量a，如何求作向量aaa和（a）（a） （a）？aaOaaABCaaaOMNPaaa oc= （a）（a）（a）op=思考2：向量aaa和（a）（a）（a）分别如何简化其表示形式？ aaa记为3a，（a）（a）（a）记为3a.思考3：向量3a和3a与向量a的大小和方向有什么关系？aaOaaABCaaaOMNP思考4：设a为非零向量，那么 a和 a还是向量吗？它们分别与向量a有什么关系？aaa思考5： 一般地，我们规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作a，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？（1）|

2、a|=|a|；（2）0时,a与a方向相同； 0时,a与a方向相反； =0时,a =0.关于向量数乘的几点说明（1）向量数乘结果是一个与已知向量共线的向量；（2）实数与向量不能进行加减运算，（3）任意实数与零向量的乘积仍为零向量；三、向量的数乘运算满足如下运算律：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反方向放大或缩短.若 ,当 沿 的方向放大了 倍.当 沿 的方向缩短了 倍.当 ,沿 的反方向放大了 倍.当 沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题. 例1：计算：（1） ； （2） （3）解：（1

3、）原式= （2）原式=（3）原式=例2：若3m2na，m3nb，其中a，b是已知向量，求m，n.分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.解：记3m2na mnb 3得 mnb 得 11nab. n a b 将代入有：mbn a b评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.例3. 设x是未知向量，解方程： 5(x+a)+3(xb)=0.解：由已知得 8x=5a+3b， 所以x= a+ b.例4. 如图所示，已知说明向量 的关系。思考：把例题中的数3改为任意实数k，你是否还能解这个问题？回想一下初中学过的相似三角形的判定定理，例中的结论与判定定理有什么关系？2、下面四个命题中不正确的是_.D(A)对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb(B)对于实数m、n和向量a,恒有(m-n)a=ma-n

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