高考数学一轮复习学案第3章 三角函数诱导公式的课件

1、学案2 任意角的三角函数与诱导公式 1.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义 设是一个任意角,角的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r(r0),那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin= ,cos= ,tan= ,它们都是以角为 ，以比值为 的函数. 自变量 函数值 考点分析 (2)三角函数在各象限内的符号口诀是: . 2.设角的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直x轴于M,作PN垂直y轴于点N,则点M,N分别是点P在x轴,y轴上的 .由三角函数的定义知,点P的坐标为 ,即 , 其中cos= ,sin= ,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单

2、位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T(T),则tan= .我们把轴上向量OM,ON,AT(或AT)分别叫做的 、 、 . 二正弦、三正切、四余弦一全正、 正射影 （cos,sin)P(cos,sin)OM ON AT 余弦线 正弦线正切线 3.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系: .(2)商数关系: .(3)倒数关系:tancot=1( ,kZ).sin2+cos2=1(R)(k+ ,kZ) -tan 4.六组诱导公式组数一二三四五六角2k+(kZ)+- - +正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限sin -sin -sin sin cos cos cos -

3、cos cos -cos sin -sin sin tan tan -tan 考点一 三角函数的定义 设为第四象限角，其终边上的一个点是P(x,- )，且cos= x，求sin和tan. 【分析】若能求出问题中的未知数x，则由定义sin和tan可求，解题技巧即是设法建立关于x的一个方程. 题型分析【解析】是第四象限的角，x0,又P点到坐标原点O的距离r ,由cos ，得 .x= ,r=2 .sin ,tan . 【评析】容易出错的地方是得到x2=3后，不考虑P点 所在的象限，x的取值分正负两种情况去讨论.一般地，在解此类问题时，可以优先注意角所在的象限，对最终结果作一个合理的预测. 对应演练已

4、知角的终边在直线3x+4y=0上,求sin,cos,tan的值.角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),则x=4t,y=-3t, 当t0时,r=5t, 当t0时，sin= ,cos= ,tan= ;当t0时,sin= ,cos=- ,tan=- . 考点二 单位圆与三角函数线 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:(1)sin ; (2)cos- . 【分析】作出满足sin= ,cos=- 的角的终边,然后根据已知条件确定角终边的范围. 【解析】 (1)如图,作直线y= 交单位圆于A,B两点,连结OA,OB,则OA与OB围成的区

5、域即为角的终边的范围,故满足条件的角的集合为 (2)作直线x=- 交单位圆于C,D两点,连结OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为 【评析】本题的实质是解三角不等式的问题：（1）可以运用单位圆及三角函数线;（2）也可以用三角函数图象. 体现了数形结合的数学思想方法. 对应演练已知01; (2)sinOP,cos+sin1.(2)连结PA,则SOPA S扇形OPA SOTA,即 OAMP OA OAAT,即sintan. 考点三 同角三角函数间的关系 已知 x0,sinx+cosx= .(1)求sinx-cosx的值；(2)求 的值. 【分析】

6、 (1)由sinx+cosx= 及sin2x+cos2x=1可求出sinx,cosx的值,从而求出 sinx-cosx 的值;另外 ,由 x0,可求出sinx0,从而判定sinx-cosx的符号,只需求(sinx-cosx)2即可. 【解析】 (1)解法一:联立方程: sinx+cosx= , sin2x+cos2x=1, 由得sinx= -cosx,将其代入,整理得25cos2x-5cosx-12=0. sinx=- cosx= ,(2)由(1)可求出tanx,而想法使分子、分母都出现tanx即可. x0,sinx-cosx=- . 解法二:sinx+cosx= ,(sinx+cosx)2=

7、 ,即1+2sinxcosx= ,2sinxcosx=- .(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+ = . 又 x0,sinx0,sinx-cosx0. 由可知，sinx-cosx=- . (2)由已知条件及(1)可知 sinx+cosx= sinx=- sinx-cosx=- , cosx= ,tanx=- .解得又 【评析】（1）方程思想在解决同角三角函数间的关系中起着重要的作用,一定要注意其应用. (2)注意sinx+cosx,sinxcosx,sinx-cosx三者间的相互转化,若令sinx+cosx=t,则sinxcosx=

8、 . 对应演练已知sin+cos= ,(0,).求值:(1)tan; (2)sin-cos; (3)sin3+cos3. 解法一:sin+cos= ,(0,),(sin+cos)2= =1+2sincos,sincos= 0,cos0,cos0,sin-cos= .(3)sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)= 1+ = . 考点四 求值问题已知 ，求下列各式的值：（1） ；（2）sin2+sincos+2. 【分析】由已知可以求出tan，再由同角三角函数关系式可以求得sin和cos，进而求出(1)、(2)的值.但实际操作中，往往借助题目条件的特殊性来整体考

9、虑使用条件. 【解析】由已知得tan= .（1）（2）sin2+sincos+2=sin2+sincos+2(cos2+sin2) 【评析】形如asin+bcos和sincos+ccos2的式子分别称为关于sin,cos的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用. 对应演练已知tan =2,求：（1）tan(+ )的值；（2） 的值. （1） （2）由（1）得tan= , 考点五 化简问题 化简:tan(27-)tan(49-)tan(63+)tan(139-).【分析】灵活运用诱导公式. 【评析】当多个复合角出现时，应先观察各个角之间的内在联系，再利用诱

10、导公式化简求值.【解析】tan(27-)tan(49-)tan(63+)tan(139-)=tan(27-)tan(49-)tan90-(27-)tan90+(49-)=tan(27-)tan(49-)cot(27-)-cot(49-)=tan(27-)cot(27-)tan(49-)-cot(49-)=-1. 对应演练已知 (1)化简f();(2)若是第三象限角,且cos(- )= ,求f()的值.(1) (2)cos(- )=-sin,sin=- ,cos= ,f()= . 考点六 简单的恒等式证明问题 已知sin(+)=1，求证:tan(2+)+tan=0. 【分析】可由sin(+)=1

11、出发,得到=2k+ -(kZ)，将其代入被证式的左边，然后利用诱导公式进行化简，直至推得右边. 【证明】sin(+)=1,+=2k+ (kZ).=2k+ -(kZ).tan(2+)+tan= =tan(4k+-2+)+tan=tan(4k+-)+tan=tan(-)+tan=-tan+tan=0.tan(2+)+tan=0得证. 【评析】本题是条件等式证明问题,采用代入法使被证式得证. 证明条件等式,一般有两种方法:一是从被证等式一边推向另一边的适当的时候,将条件代入,推出被证式的另一边,这种方法称作代入法;二是直接将条件等式变形,变形为被证的等式,这种方法称作推出法.证明条件等式不论使用哪种

12、方法都要盯住目标,据果变形. 对应演练已知tan2=2tan2+1,求证:sin2=2sin2-1.证明:证法一：tan2=2tan2+1,tan2= .又sin2=tan2cos2 证法二： 证法三:tan2=2tan2+1, 证法四：tan2=2tan2+1,1+tan2=2(tan2+1).sec2=2sec2,2cos2=cos2.2(1-sin2)=1-sin2.sin2=2sin2-1. 同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,主要是变名、变式. 1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正

13、确取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有： （1）弦切互化法主要利用公式tanx= 化成正弦、余弦函数; 高考专家助教 （2）和积转换法：如利用(sincos)2=12sincos的关系进行变形、转化； （3）巧用“1”的变换：1=sin2+cos2=cos2(1+tan2)=sin2(1+ )=tan =. 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 3.证明三角恒等式的主要思路有:(1)左右互推法:由较繁的一边向简单一边化简;(2)左右归一法,使两端化异为同;把左右式都化为第三个式子;(3)转化化归法:先将要证明的结论恒等变形,再证明. 4.解三角函数问题时常用方法有:代入法、消元法、转化化归法、方程与分类讨论思想