（本科）微积分上册第四章教学课件

1、正版可修改PPT课件（本科）微积分上册第四章教学课件第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质第二节 换元积分法第三节 分部积分法第四节 有理函数的不定积分第一节 不定积分的概念与性质一、原函数的概念二、不定积分的概念三、基本积分公式四、不定积分的线性运算法则 在物理学中常提出：在已知物体运动速度 的情况下，如何求出该物体的运动方程 的问题.由微分学知识可知， ，上述问题实际上是要求出使 成立的 ，这是与求导运算相反的问题我们称 为 （即 ）的原函数 一、原函数的概念1.引例 2.原函数的定义 定义1 如果在区间D上定义了一个可导函数 ，对于区间D上的所有x ，都有 或 ，则称F(x)为 在

2、区间D上的一个原函数 例如 因 ，故 是 在 内的一个原函数3.原函数定理 定理1若函数 在区间D上连续，则 在区间D上一定存在原函数 定理2如果函数 是 在区间D上的原函数，则(1) 也是 在区间D上的原函数，其中C是任意常数；(2) 在区间D上的任意两个原函数之间只相差一个常数二、不定积分的概念1不定积分的定义定义2 在区间D上全体原函数称为 在区间D上的不定积分，记作其中“”称为积分号， 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量 若F(x)是f(x)在区间D上的一个原函数，根据定义2和定理2，有 其中C是任意常数，称为积分常数 不定积分与微分的运算关系 （1） ； （2） ；（3）

3、 ； （4） C 如果一个函数先积分再微分（或求导），结果这两种运算互相抵消；如果对它先微分（或求导）再积分，其结果与原来的函数相差一个任意常数 2不定积分的几何意义 函数 的不定积分 在几何上表示一族积分曲线.它可由 的某一条积分曲线 沿y轴方向上下平移得到.显然，积分曲线族中每一条积分曲线在横坐标相同点处的切线相互平行，如图 yOx三、基本积分公式（十三个）（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ； （6） ；（7） ；（8） ；（9） ； （10） ；（11） ； （12） ；（13） .注：上述公式可由基本导数公式或微分公式表反过来直接得到 （2） . 若 和 存在，则 和

4、也存在，且有 （1） (k是非零常数) . 四、不定积分的线性运算法则 若两个函数可积，其线性运算也可积；线性运算的积分等于积分的线性运算. 直接积分法 直接根据不定积分的线性运算法则和基本积分公式或对被积函数稍加恒等变形后再利用法则和公式可以求出一些简单函数的不定积分这种求不定积分的方法称为直接积分法 注意：（1）求不定积分的直接积分法，是指直接或将被积函数作适当恒等变形（如拆分、加一项或减一项、三角变换等小技巧）后再利用不定积分的性质和基本积分公式求不定积分的方法所以，熟记基本积分公式至关重要，因为这些公式是我们对被积函数进行恒等变形的目标 （2）求分段函数的原函数时，应先分别求函数的各分

5、段在相应区间内的原函数，然后考察函数在分段点处的连续性；如果连续，那么在包含该点的区间内有原函数存在这时，可根据原函数的连续性，定出积分常数如果分段点是第一类间断点，那么在包含该点的区间内原函数不存在 （3）若函数在区间上有第一类间断点，那么在区间上不存在原函数；但若没有第一类间断点，而存在第二类间断点，那么在区间上有可能存在原函数，即函数连续仅是原函数存在的充分条件而不是必要条件 第二节 换元积分法 一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法观察与思考对积分 ，观察被积函数发现，此积分不能用直接积分法积出，但被积表达式中的一部分 如果凑微分变成 ，再将积分变量换成变量 这样被积表达式就和积分

6、基本公式(7)相同了因此，本题可这样求解一、第一类换元积分法定理1 (第一类换元积分法) 若 已知，并且 是可微函数，则有证明 因为 ，所以 根据复合函数的求导法则，得 因此 注意： （1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数 （2）运用第一换元法，熟练掌握以后可以省略写出引进变量的步骤 常用的凑微分等式 (1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) ； (10) 基本积分公式（1420）（14） ；（15） ；（16） ；（17） ；（18） ；（19

7、） ；（20） .二、第二类换元积分法 第一换元积分法（凑微分法）能解决一部分积分问题，但是，还有一类不定积分，凑微分法却不奏效，如 和 等这些被积函数含有根号的无理函数的积分问题针对这些问题，如果我们作适当的变量代换将被积函数中的根号去掉，就能顺利积分了，这就是第二类换元积分法的思想 .定理2 (第二类换元积分法)若 单调可微且 ，如果 即 其中， 是 的反函数证 由假设知： ，利用复合函数和反函数求导法则，得 故注意： (1) 使用第二类换元积分法往往要指明中间变量的取值范围只有这样，才能保证将中间变量换回原变量时，有确定的函数关系例如，例20中的 ，例23中的 ，都是根据预先指明的中间变

8、量的取值范围，确定根号前的符号的(2) 第二类换元积分法是针对被积函数是无理数，即被积函数含有根式的情况，作变换 后，可使被积函数去掉根式，达到有理化的目的常用的变换有 若被积函数中含有 ，可令 ； 若被积函数中含有 ，可令 ； 若被积函数中含有 ，可令 ； 若被积函数中含有 ，可令 第三节 分部积分法 当被积函数是两类基本初等函数的乘积的形式时，这种类型的积分用换元法一般不能求出例如： 和 等.为此，我们再探讨一种新的积分法分部积分法，它是与导数(微分)运算中乘积的导数(微分)公式相对应的积分方法分部积分公式或分部积分法的关键是从被积函数中恰当选取 和 ； 和 选取的基本原则是：（1）从 容

9、易求出 ；（2）积分 比原积分 易求当被积函数为幂函数与指数函数或三角函数乘积时，选幂函数为 ；当被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数乘积时，选幂函数为 ；当被积函数为三角函数与指数函数乘积时， 可以任意选取例1 求 分析因被积函数是幂函数与三角函数的乘积把“ ”凑微分成 .解 如果把“ ” 凑微分，则上式右端新出现的积分 比原积分更加复杂.例2 求 .分析 被积函数是幂函数与对数函数的乘积.选对数函数为u. 解 设 ， ，那么 例4 求 .分析 被积函数是幂函数与指数函数的乘积.选幂数函数为u. 解 设 ， ，那么 例6 求 .分析 被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，选反三角函数为u.解

10、 设 ， ，那么 例7 求 .解 被积函数是指数函数和三角函数的乘积，两者把谁凑微分都比较容易，不妨把 凑微分，则有由于上式右端的第三项就是所求的积分，把它移到等号左端，整理得因上式右端不含积分项，所以必须加上任意常数注 本题在两次使用分部积分后，产生了回归现象，即原始的不定积分又出现了，移项合并整理即可求得结果，这种方法称为分部积分的复原法例10 求 .解 设 ，则 . 第四节 有理函数的不定积分一、化真分式为简单分式之和 二、四种最简分式的积分 1. 最简分式 的积分问题； 2. 最简分式 的积分问题； 3. 最简分式 的积分问题； 4. 最简分式 ， 且 的积分问题. 一、化真分式为简单

11、分式之和1. 四种最简分式 （ ， ） ； ； ；2.真分式有下列性质 如果多项式 在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积，如（其中 ），那么真分式可以分解成如下部分分式之和：其中 及 等都是常数3.真分式分解为简单分式的方法真分式 可分解为 其中 为待定系数，可以用如下的方法求出待定系数（1）比较系数法 ：两端去分母后，得 或 ，因为恒等式两端同次幂的系数必须分别相等，于是有从而解得 （2）赋值法在上述恒等式中，令 ，得 ；令 ，得 同样得到 二、四种最简分式的积分 1.最简分式 的积分 2.最简分式 的积分 3.最简分式 （ ）的积分 4.最简分式 （ 且 ）的积分 因为令 ，并记 ， ，其中 ，于是下面只需计算积分求 ，其中n为正整数 解 用分部