2022-2023学年湖南省郴州市车头中学高三数学理期末试题含解析

1、2022-2023学年湖南省郴州市车头中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（）A13项B12项C11项D10项参考答案：B【考点】等比数列的性质【分析】先设数列的通项公式为a1qn1，则前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n6=4两式相乘得即a12qn1=2，又根据所有项的积为64，进而求出n【解答】解析：设数列的通项公式为a1qn1则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn3，a1qn2

2、，a1qn1前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n6=4两式相乘得：a16q3（n1）=8，即a12qn1=2又a1?a1q?a1q2a1qn1=64，=64，即（a12qn1）n=642，2n=642，n=12故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质属基础题2. 九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A8B9C10D11参考答案：B【考点】等差数列的通项公式【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差

3、数列的通项公式求得第九日所织尺数【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8=15，S7=28，设公差为d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，a5=5，由S7=28，得7a4=28，a4=4，则d=a5a4=1，a9=a5+4d=5+41=9故选：B3. （09年湖北鄂州5月模拟文）已知样本：10，8，6，10，13，8，10，12，11，7，8，9，11，9，12，9，10，11，12，12，那么频率为0.3的范围是A5.57.5 B9.511.5 C11.513.5 D7.59.5参考答案：D4. 在等差数列an中，a3=5，a4+a8=22，则的前20项和

4、为（）ABCD参考答案：B【考点】等差数列的前n项和【分析】由已知列式求出等差数列的首项和公差，得到等差数列的通项公式，再由裂项相消法求得的前20项和【解答】解：在等差数列an中，由a4+a8=22，得2a6=22，a6=11又a3=5，得d=，a1=a32d=54=1的前20项和为：=故选：B5. 当x0时，函数的最小值是（） A B 0 C 2 D 4参考答案：D考点： 函数的最值及其几何意义 专题： 计算题分析： 两次利用均值不等式求出最小值，注意等号成立的条件，当多次运用不等式时，看其能否同时取得等号解答： 解：x0则x0 x2，当x=1时取等号2+2=4当且仅当x=1时取等号故选D点

5、评： 本题主要考查了函数的最值及其几何意义，解题需要注意等号成立，属于基础题6. 对于各数互不相等的正数数组（i1，i2，in）（n是不小于2的正整数），如果在pq时有ipiq，则称“ip与iq”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”例如，数组（2，4，3，1）中有顺序“2，4”、“2，3”，其“顺序数”等于2若各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5）的“顺序数”是4，则（a5，a4，a3，a2，a1）的“顺序数”是（）A7B6C5D4参考答案：B【考点】归纳推理【专题】压轴题；探究型【分析】根据题意，各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，

6、a4，a5）的“顺序数”是4，假设a1a2，a1a3，a1a4，a1a5其他都满足题意，因此可以根据此条件判断出（a5，a4，a3，a2，a1）的“顺序数”【解答】解：根据题意，各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5）的“顺序数”是4，假设a1a2，a1a3，a1a4，a1a5，且后一项都比前一项小，因此可以判断出a2a3，a3a4，a4a5，则（a5，a4，a3，a2，a1）的“顺序数”是6，故选B【点评】此题主要考查归纳推理、不等式的性质，及相关延伸问题的解法7. 等比数列an的前n项和为Sn，已知，则（ ）A B C14 D15参考答案：D由，得，即，又为等比数列，所以公比

7、，又，所以.故选D.8. 设a=20.5，b=log3，c=log42，则（）A bacBbcaCabcDacb参考答案：A略9. 一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点P0离地面2m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是( )Ah（t）=8sint+10Bh（t）=cost+10Ch（t）=8sint+8Dh（t）=8cost+10参考答案：D考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的图像与性质分析：由题意可设h（t）=Acost+B，根据周期性=12，与最大值与最小值分别为18

8、，2即可得出解答：解：设h（t）=Acost+B，12min旋转一周，=12，=由于最大值与最小值分别为18，2，解得A=8，B=10h（t）=8cost+10故选：D点评：本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10. 右图的程序框图输出结果i=（ ） A6 B7 C8 D9参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c若2bcos A=c cosAa cos C，则A_参考答案：略12. 如图，已知平面四边形满足，将沿对角线翻折，使平面平面，则四面体外接球的体积为 参考答案：13. 已知集合A=x

9、|（x2）（x+5）0，B=x|x22x30，全集U=R，则AB= ，A（?UB）= 参考答案：x|5x1；x|5x3。【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】集合【分析】根据集合的基本运算进行化简和求解即可【解答】解：A=x|（x2）（x+5）0=x|5x2，B=x|x22x30=x|x3或x1，则AB=x|5x1，?UB=x|1x3，则A（?UB）=x|5x3，故答案为：x|5x1，x|5x3【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础14. （1+3x）5的展开式中，x2的系数等于参考答案：90【考点】二项式系数的性质【专题】二项式定理【分析】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中x2

10、的系数是多少即可【解答】解：（1+3x）5的展开式的通项公式为：Tr+1=?（3x）r=3r?xr，令r=2，得x2的系数为32=910=90故答案为：90【点评】本题考查了利用二项式的展开式求展开式中某一项的系数问题，是基础题目15. 抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过抛物线上一点(第一象限内)作的垂线,垂足为.若四边形的周长为16，则点的坐标为 参考答案：16. 设随机变量，且，则实数的值为_. 参考答案：9.817. 设、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，且，到直线的距离等于双曲线的实轴长，该双曲线的渐近线方程为 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出

11、文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明ABA1C；（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值参考答案：解：（）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OCAB，由于AB=AA1，BAA1=60，所以AA1B为等边三角形，所以OA1AB，又因为OCOA1=O，所以AB平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故ABA1C；（）由（）知OCAB，OA1AB，又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直以

12、O为坐标原点，的方向为x轴的正向，|为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，0），C（0，0，），B（1，0，0），则=（1，0，），=（1，0），=（0，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，1），故cos，=，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1AB，AB平

13、面OA1C，进而可得ABA1C；（）易证OA，OA1，OC两两垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，|为单位长，建立坐标系，可得，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，1），可求cos，即为所求正弦值解答：解：（）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OCAB，由于AB=AA1，BAA1=60，所以AA1B为等边三角形，所以OA1AB，又因为OCOA1=O，所以AB平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故ABA1C；（）由（）知OCAB，OA1AB，又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，

14、OC两两垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，|为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，0），C（0，0，），B（1，0，0），则=（1，0，），=（1，0），=（0，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，1），故cos，=，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：点评：本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题19. 已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2b

15、x（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1x2）是函数g（x）的两个极值点，若b，求g（x1）g（x2）的最小值参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义能求出实数a的值（2）由题意知g（x）0在（0，+）上有解，即x+1b0有解，由此能求出实数b的取值范围（3）g（x1）g（x2）=ln（），由此利用构造成法和导数性质能求出g（x1）g（x2）的最小值【解答】解：（1）f（x）=x+alnx，f（x）=1+，f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，k=

16、f（x）|x=1=1+a=2，解得a=1（2）g（x）=lnx+（b1）x，g（x）=，x0，由题意知g（x）0在（0，+）上有解，即x+1b0有解，定义域x0，x+2，x+b1有解，只需要x+的最小值小于b1，2b1，解得实数b的取值范围是b|b3（3）g（x）=lnx+（b1）x，g（x）=0，x1+x2=b1，x1x2=1g（x1）g（x2）=ln（）0 x1x2，设t=，0t1，令h（t）=lnt（t），0t1，则h（t）=0，h（t）在（0，1）上单调递减，又b，（b1）2，0t1，4t217t+40，0t，h（t）h（）=2ln2，故所求的最小值为2ln220. 已知函数f（x）=

17、ax2（2a1）xlnx（a为常数，a0）（）当a0时，求函数f（x）在区间上的最大值；（）记函数f（x）图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的单调区间，从而求出f（x）的最大值即可；（）设出M的坐标，分别求出直线AB的斜率k1，C在点N处的切线斜率k2，由k1=k2，得到即=，得出矛盾【解答

18、】解：（）f（x）=，当a0时，由f（x）=0，得x1=，x2=1，又x，则有如下分类：当2，即a0时，f（x）在上是增函数，所以f（x）max=f（2）=2ln2当12，即a时，f（x）在上是减函数，所以f（x）max=f（）=1+ln（2a） 当1，即a时，f（x）在上是减函数，所以f（x）max=f（1）=1a 综上，函数f（x）在上的最大值为：f（x）max=；（）设M（x0，y0），则点N的横坐标为x0=，直线AB的斜率k1= =a（x1+x2）+（12a）+，C在点N处的切线斜率k2=f（x0）=a（x1+x2）+（12a），假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k1=k2，即=，所以ln=，不妨设x1x2，ln=t1，则lnt=，令g（t）=lnt，（t1），g（t）=0，所以g（t）在（1，+）上是增函数，又g（1）=0，所以g（t）0，即lnt=不成立，所以曲线C在点N处的切线不平行于直线AB2