中考数学第三轮压轴题强化训练：三角形 专题复习（含答案）

1、2021年中考数学第三轮压轴题强化训练：三角形 专题复习1、如图，ABC中，AB=AC=1，BAC=45，AEF是由ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长2、如图，在RtABC中，C=90，BD是ABC的一条角平分线点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形（1）求证：点O在BAC的平分线上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的长3、如图，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角ABD和等腰直角ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD

2、交于点F（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由（2）求证：BE=CD，BECD4、如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且AGD=BGC（1）求证：AD=BC；（2）求证：AGDEGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值5、如图，是一副学生用的三角板，在ABC 中，C=90，A=60，B=30；在A1B1C1中，C1=90，A1=45，B1=45，且A1B1=CB若将边A1C1与边CA重合，其中点A1与点C重合将三角板A1B1C1绕点C（A1）按逆时针方向旋转，旋转过的

3、角为，旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M，设AC=a（1）计算A1C1的长；（2）当=30时，证明：B1C1AB；（3）若a=，当=45时，计算两个三角板重叠部分图形的面积；（4）当=60时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积（参考数据：sin15=，cos15=，tan15=2，sin75=，cos75=，tan75=2+）6、如图，两个全等的ABC和DFE重叠在一起，固定ABC，将DEF进行如下变换：（1）如图1，DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD请直接写出SABC与S四边形AFBD的关系；（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若

4、四边形AFBD为正方形，那么ABC应满足什么条件？请给出证明；（3）在（2）的条件下，将DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sinCGF的值7、如图1，在ABC中，ACB=90，AC=BC，EAC=90，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D（1）直接写出NDE的度数；（2）如图2、图3，当EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若EAC=1

5、5，ACM=60，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长8、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是ABC的中线，AFBE，垂足为P，像ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c特例探索（1）如图1，当ABE=45，c=2时，a=，b=如图2，当ABE=30，c=4时，a=，b=归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式拓展应用（3）如图4，在ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BEEG，AD=2，A

6、B=3，求AF的长9、如图1，在RtABC中，B=90，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为（1）问题发现当=0时，=；当=180时，=（2）拓展探究试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明（3）问题解决当EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长10、已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且APPBAP绕点A逆时针旋转角（090）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角得到BP2，连接PP1、PP2（1）如图1，当=90时，求P1PP2的度数；（2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：

7、P2P1PP2PA；（3）如图3，过BP的中点E作l1BP，过BP2的中点F作l2BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1PPQ11、两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）其中，C=DEF=90，ABC=F=30，AC=DE=6cm现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点C落在边EF上时，x=cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）设边BC的中点

8、为点M，边DF的中点为点N直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值12、已知MAN=135，正方形ABCD绕点A旋转（1）当正方形ABCD旋转到MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是；如图2，若BMDN，请判断中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由13、

9、已知：ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中PCQ=90，探究并解决下列问题：（1）如图，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：线段PB=，PC=；猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；（2）如图，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值（提示：请利用备用图进行探求） 参考答案2021年中考数学第三轮压轴题强化训练：三角形 专题复习1、如图，ABC中，AB=AC=1，BAC=45，AEF是由ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D（1）求

10、证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长（1）证明：AEF是由ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，AE=AB，AF=AC，EAF=BAC，EAF+BAF=BAC+BAF，即EAB=FAC，AB=AC，AE=AF，AEB可由AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，BE=CF；（2）解：四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，DE=AE=AC=AB=1，ACDE，AEB=ABE，ABE=BAC=45，AEB=ABE=45，ABE为等腰直角三角形，BE=AC=，BD=BEDE=12、如图，在RtABC中，C=90，BD是ABC的一条角平分线点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OE

11、CF是正方形（1）求证：点O在BAC的平分线上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的长解答:（1）证明：过点O作OMAB，BD是ABC的一条角平分线，OE=OM，四边形OECF是正方形，OE=OF，OF=OM，AO是BAC的角平分线，即点O在BAC的平分线上；（2）解：在RtABC中，AC=5，BC=12，AB=13，设OE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，解得：，OE=23、如图，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角ABD和等腰直角ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由（2

12、）求证：BE=CD，BECD解答：（1）解：ABC是等腰直角三角形，ACB=90，AB=BC，ABD和ACE均为等腰直角三角形，BD=BC=2BC，G为BD的中点，BG=BD=BC，CBG为等腰直角三角形，CGB=45，ADB=45，ADCG，ABD=45，ABC=45CBD=90，ACB=90，CBD+ACB=180，ACBD，四边形ACGD为平行四边形；（2）证明：EAB=EAC+CAB=90+45=135，CAD=DAB+BAC=90+45=135，EAB=CAD，在DAC与BAE中，DACBAE，BE=CD；EAC=BCA=90，EA=AC=BC，四边形ABCE为平行四边形，CE=AB

13、=AD，在BCE与CAD中，BCECAD，CBE=ACD，ACD+BCD=90，CBE+BCD=90，CFB=90，即BECD4、如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且AGD=BGC（1）求证：AD=BC；（2）求证：AGDEGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值解答（1）证明：GE是AB的垂直平分线，GA=GB，同理：GD=GC，在AGD和BGC中，AGDBGC（SAS），AD=BC；（2）证明：AGD=BGC，AGB=DGC，在AGB和DGC中，AGBDGC，又AG

14、E=DGF，AGD=EGF，AGDEGF；（3）解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：则AHBH，AGDBGC，GAD=GBC，在GAM和HBM中，GAD=GBC，GMA=HMB，AGB=AHB=90，AGE=AGB=45，又AGDEGF，=5、如图，是一副学生用的三角板，在ABC 中，C=90，A=60，B=30；在A1B1C1中，C1=90，A1=45，B1=45，且A1B1=CB若将边A1C1与边CA重合，其中点A1与点C重合将三角板A1B1C1绕点C（A1）按逆时针方向旋转，旋转过的角为，旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M，设AC=a（1）计算A1C1的长；（2

15、）当=30时，证明：B1C1AB；（3）若a=，当=45时，计算两个三角板重叠部分图形的面积；（4）当=60时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积（参考数据：sin15=，cos15=，tan15=2，sin75=，cos75=，tan75=2+）解：（1）在RtABC中，B=30，AC=a，由特殊锐角三角函数可知：，BC=B1C=在RtA1B1C1，B1=45，A1C1=（2）ACM=30，A=60，BMC=90C1=BMCB1C1AB（3）如下图：由（1）可知：A1C1=3+A1B1C1的面积=A1B1C1=45，ABC=30MBC1=15在RtBC1M中，C1M=BCtan1

16、5=（3+）（2）=3，RtBC1M的面积=3两个三角板重叠部分图形的面积=A1B1C1的面积BC1M的面积=3+3（4）由（1）可知：BC=，A1C1=，C1F=A1C1tan30=a，=aa=a2，MCA=60，A=60，AMC=60MC=AC=MA=aC1M=C1A1MC=MCA=60，C1A1B=30，C1MD=B+C1A1B=60在RtDC1M中，由特殊锐角三角函数可知：C1D=C1Mtan60=a，=C1MC1D=a2，两个三角板重叠部分图形的面积=C1M=a2a2=a26、如图，两个全等的ABC和DFE重叠在一起，固定ABC，将DEF进行如下变换：（1）如图1，DEF沿直线CB向

17、右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD请直接写出SABC与S四边形AFBD的关系；（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么ABC应满足什么条件？请给出证明；（3）在（2）的条件下，将DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sinCGF的值解：（1）SABC=S四边形AFBD，理由：由题意可得：ADEC，则SADF=SABD，故SACF=SADF=SABD，则SABC=S四边形AFBD；（2）ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC，BAC=90，理由如下：F为BC的中点，CF=BF，CF=AD，

18、AD=BF，又ADBF，四边形AFBD为平行四边形，AB=AC，F为BC的中点，AFBC，平行四边形AFBD为矩形，BAC=90，F为BC的中点，AF=BC=BF，四边形AFBD为正方形；（3）如图3所示：由（2）知，ABC为等腰直角三角形，AFBC，设CF=k，则GF=EF=CB=2k，由勾股定理得：CG=k，sinCGF=7、如图1，在ABC中，ACB=90，AC=BC，EAC=90，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D（1）直接写出NDE的度数；（2）如图2、图3，当EAC为锐角或钝

19、角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若EAC=15，ACM=60，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长解：（1）ACB=90，MCN=90，ACM=BCN，在MAC和NBC中，MACNBC，NBC=MAC=90，又ACB=90，EAC=90，NDE=90；（2）不变，在MACNBC中，MACNBC，N=AMC，又MFD=NFC，MDF=FCN=90，即NDE=90；（3）作GKBC于K，EAC=15，BAD=30，ACM=60，GCB=30，AGC=ABC+GCB=75，AMG=75，AM

20、=AG，MACNBC，MAC=NBC，BDA=BCA=90，BD=，AB=+，AC=BC=+1，设BK=a，则GK=a，CK=a，a+a=+1，a=1，KB=KG=1，BG=，AG=，AM=8、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是ABC的中线，AFBE，垂足为P，像ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c特例探索（1）如图1，当ABE=45，c=2时，a=2，b=2如图2，当ABE=30，c=4时，a=2，b=2归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用

21、图3证明你发现的关系式拓展应用（3）如图4，在ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BEEG，AD=2，AB=3，求AF的长解：（1）AHBE，ABE=45，AP=BP=AB=2，AF，BE是ABC的中线，EFAB，EF=AB=，PFE=PEF=45，PE=PF=1，在RtFPB和RtPEA中，AE=BF=，AC=BC=2，a=b=2，如图2，连接EF，同理可得：EF=4=2，EFAB，PEFABP，在RtABP中，AB=4，ABP=30，AP=2，PB=2，PF=1，PE=，在RtAPE和RtBPF中，AE=，BF=，a=2，b=2，故答案为：2，2，2，2；（2）猜想：a2

22、+b2=5c2，如图3，连接EF，设ABP=，AP=csin，PB=ccos，由（1）同理可得，PF=PA=，PE=，AE2=AP2+PE2=c2sin2+，BF2=PB2+PF2=+c2cos2，=c2sin2+，=+c2cos2，+=+c2cos2+c2sin2+，a2+b2=5c2；（3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，点E、G分别是AD，CD的中点，EFAC，BEEG，BEAC，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC=2，EAH=FCH，E，F分别是AD，BC的中点，AE=AD，BF=BC，AE=BF=CF=AD=，AEBF，四边形A

23、BFE是平行四边形，EF=AB=3，AP=PF，在AEH和CFH中，AEHCFH，EH=FH，EH，AH分别是AFE的中线，由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2，AF2=5EF2=16，AF=49、如图1，在RtABC中，B=90，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为（1）问题发现当=0时，=；当=180时，=（2）拓展探究试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明（3）问题解决当EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长解：（1）当=0时，RtABC中，B=90，AC=，点D、E分别是边

24、BC、AC的中点，如图1，当=180时，可得ABDE，=故答案为：（2）如图2，当0360时，的大小没有变化，ECD=ACB，ECA=DCB，又，ECADCB，（3）如图3，AC=4，CD=4，CDAD，AD=，AD=BC，AB=DC，B=90，四边形ABCD是矩形，如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，AC=4，CD=4，CDAD，AD=，在ABC和CDA中，BP=DQ，BPDQ，PQDQ，四边形BDQP为矩形，BD=PQ=ACAPCQ=综上所述，BD的长为4或10、已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且APPBAP绕点A逆时针旋转角（090）

25、得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角得到BP2，连接PP1、PP2（1）如图1，当=90时，求P1PP2的度数；（2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：P2P1PP2PA；（3）如图3，过BP的中点E作l1BP，过BP2的中点F作l2BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1PPQ解答：（1）解：由旋转的性质得：AP=AP1，BP=BP2=90，PAP1和PBP2均为等腰直角三角形，APP1=BPP2=45，P1PP2=180APP1BPP2=90；（2）证明：由旋转的性质可知PAP1和PBP2均为顶角为的等腰三角形，APP1=BPP2=90，P1PP2=180（APP1+BP

26、P2）=1802（90）=，在PP2P1和P2PA中，P1PP2=PAP2=，又PP2P1=AP2P，P2P1PP2PA（3）证明：如图，连接QBl1，l2分别为PB，P2B的中垂线，EB=BP，FB=BP2又BP=BP2，EB=FB在RtQBE和RtQBF中，RtQBERtQBF，QBE=QBF=PBP2=，由中垂线性质得：QP=QB，QPB=QBE=，由（2）知APP1=90，P1PQ=180APP1QPB=180（90）=90，即 P1PPQ11、两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）其中，C=

27、DEF=90，ABC=F=30，AC=DE=6cm现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点C落在边EF上时，x=15cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值解：（1）如图1所示：作CGAB于G点，在RtABC中，由AC=6，ABC=30，得BC=6在RtBCG中，BG=BCcos30=9四边形CGEH是矩形，CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，故答

28、案为：15；（2）当0 x6时，如图2所示，GDB=60，GBD=30，DB=x，得DG=x，BG=x，重叠部分的面积为y=DGBG=xx=x2当6x12时，如图3所示，BD=x，DG=x，BG=x，BE=x6，EH=（x6）重叠部分的面积为y=SBDGSBEH=DGBGBEEH，即y=xx（x6）（x6）化简，得y=x2+2x6；当12x15时，如图4所示，AC=6，BC=6，BD=x，BE=（x6），EG=（x6），重叠部分的面积为y=SABCSBEG=ACBCBEEG，即y=66（x6）（x6），化简，得y=18（x212x+36）=x2+2x+12；综上所述：y=；如图5所示作NGDE

29、于G点，点M在NG上时MN最短，NG是DEF的中位线，NG=EF=MB=CB=3，B=30，MG=MB=，MN最小=3=12、已知MAN=135，正方形ABCD绕点A旋转（1）当正方形ABCD旋转到MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN；如图2，若BMDN，请判断中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，

30、DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由解：（1）如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN理由如下：在ADN与ABM中，ADNABM（SAS），AN=AM，NAD=MAB，MAN=135，BAD=90，NAD=MAB=（36013590）=67.5，作AEMN于E，则MN=2NE，NAE=MAN=67.5在ADN与AEN中，ADNAEN（AAS），DN=EN，BM=DN，MN=2EN，MN=BM+DN故答案为MN=BM+DN；如图2，若BMDN，中的数量关系仍成立理由如下：延长NC到点P，使DP=BM，连结AP四边形ABCD是正方形，AB=AD，ABM=ADC=90在ABM与ADP中，ABMADP（SAS），AM=AP，1=2=3，1+4=90，3+4=90，MAN=135，PAN=360MAN（3+4）=36013590=135在ANM与ANP中，ANMANP（SAS），MN=PN，PN=DP+DN=BM+DN，MN=BM+DN；（2）如图3，以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形理由如下：四边形ABCD是正方形，BDA=DBA=45，MDA=NBA=1351+2=45，2+3=45，1=3在ANB与MA