新人教版初三下册数学 28.1锐角三角函数 教学课件

1、28.1锐角三角函数 正弦鞋跟多高合适 美国人体工程研究学人员调查发现，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11左右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？11导入新知 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：这个问题可以归结为，在RtABC中，C=90，A30，BC35m，求AB根据“在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB2BC70m，也就是说，需要准备70m长的水管ABC探

2、究新知知识点 1正弦的定义 解：BAC3035m【思考】在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ABC50m35mB C AB2BC 250100(m)探究新知 在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 . 在RtABC中，C90，由于A45，所以RtABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:因此 在直角三角形中，当一个锐角等于45时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 如图，任意画一个RtABC，使C90，A45，计算A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？ABC探究新知 探究新知

3、归纳总结 综上可知，在一个RtABC中，C90，当A30时，A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当A45时，A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值.【思考】一般地，当A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究新知ABCABC 任意画 RtABC 和 RtABC，使得CC90，AA，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？探究新知因为CC90，AA，所以RtABC RtABC. 因此 在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，A 的对边与斜边的比都是一个固定值探究新知 如图，在 RtABC 中，C90，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做

4、A的正弦，记作 sin A 即例如，当A30时，我们有当A45时，我们有ABCcab对边斜边归纳：探究新知A的对边斜边sin A =注意sinA是一个完整的符号，它表示A的正弦，记号里习惯省去角的符号“”；sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与斜边的比；sinA不表示“sin”乘以“A”.探究新知 例1 如图，在RtABC中，C90，求sinA和sinB的值解：（1）在RtABC中，因此（2）在RtABC中，因此探究新知素养考点 1利用正弦的定义求有关角的正弦值ABC34（1）ABC135（2） 求sinA就是要确定A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定B的对边与斜边的比

5、1.判断对错:A10m6mBC (1) （ ） (2) （ ） (3)sin A=0.6m （ ） (4)sin B=0.8 （ ）sin A是一个比值（注意比的顺序），无单位；2)如图， （ ） 巩固练习ABC1) 如图 图 图 2. 在 RtABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA 的值 ( ) A. 扩大100倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定C巩固练习 例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 的正弦值.解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA .A (3，0)在RtAPO中，由勾股定理得因此探

6、究新知素养考点 2在平面直角坐标系内求锐角的正弦值探究新知 方法点拨 结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.3.在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sinOAB等于_345巩固练习 例3 如图，在 RtABC 中，C=90， ，BC = 3，求 sinB 及 RtABC 的面积.ABC提示：已知 sinA 及A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sinB 及 RtABC 的面积.素养考点 3探究新知利用正弦求直角三角形的边长 AB =

7、 3BC =33=9.探究新知ABC解：在 RtABC 中， 在 RtABC 中，C = 90，sinA = k，sinB = h，AB = c，则BC = ck，AC = ch. 在 RtABC 中，C = 90，sinA = k，sinB = h，BC=a，则归纳：探究新知ABC，.8巩固练习4.如图：在RtABC中，C=90，AB=10， ， BC的长是 AB 例4 在 ABC 中，C=90，AC=24cm， ，求这个三角形的周长解：设BC=7x，则AB=25x，在 RtABC中，由勾股定理得即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm.故 BC = 7x = 7 cm，AB = 2

8、5x = 25 cm.所以 ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm).探究新知素养考点 4利用方程和正弦求直角三角形中线段 5.如图,在RtABC中,C=90, , AC=12.求sinB的值.513解:在Rt ABC中,设AB=13x，BC=5x,由勾股定理得：(5x)2+122=(13x)2ABC12巩固练习解得x=1.所以AB=13，BC=5因此1.（2018柳州）如图，在RtABC中，C=90，BC=4，AC=3，则sinB=（）A B C D巩固练习连接中考AABC2.（2018德州）如图，在44的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC的顶

9、点都在格点上，则BAC的正弦值是_连接中考巩固练习1. 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sin 等于( )OxyP (a，b)A. B.C. D.D课堂检测基础巩固题2. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则 锐角 A 的正弦值 （ ） A. 扩大 2 倍 B.不变 C. 缩小 D. 无法确定B课堂检测基础巩固题DA. 4 B. 6 C. 8 D. 102课堂检测3. 在RtABC中，C=90， ，BC=6，则 AB 的长为 （ ）4. 在ABC中，C=90，如果 ，AB=6， 那么BC=_.基础巩固题5. 如图，在正方形网格中有 ABC，则 sinABC 的值为

10、.课堂检测解析： ， ， ， AB 2 BC 2AC 2， ACB90， 基础巩固题 如图，在 ABC中， AB= BC = 5， ，求 ABC 的面积.D55CBA解：作BDAC于点D， 又 ABC 为等腰三角形，BDAC， AC=2AD=6，SABC=ACBD2=12.课堂检测能力提升题 ，求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。如图, C=90，CDAB. sinB可以由哪两条线段之比得到?若AC=5,CD=3,求sinB的值.ACBD解: B =ACD sinB = sinACD在RtACD中， 课堂检测拓广探索题 正弦函数正弦函数的概念正弦函数的应用已

11、知边长求正弦值已知正弦值求边长A的对边斜边sin A =课堂小结余弦和正切 如图，在RtABC中，C=90.ACB对边a邻边b斜边c当A确定时，A的对边与斜边的比就确定，此时，其他边之间的比是否也确定呢？导入新知 如图， ABC 和 DEF 都是直角三角形， 其中A =D，C =F = 90，则成立吗？为什么？ABCDEF探究新知知识点 1余弦的定义我们来试着证明前面的问题：A=D，C=F=90，B=E，从而 sinB = sinE，因此ABCDEF探究新知 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关 如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角

12、A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即归纳：ABC斜边c邻边b探究新知A的邻边斜边cos A = 探究新知 归纳总结 从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三角函数之间的关系： 对于任意锐角，有 cos = sin (90),或sin = cos (90). 1. sinA、cosA是在直角三角形中定义的，A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形). 2. sinA、 cosA是一个比值（数值）. 3. sinA、 cosA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.如图：在Rt ABC中，C90，正弦余弦探究新知注意：ABC斜边cA的邻边bA的对边a1RtABC中，C=90，

13、如果AB=2，BC=1，那么cosB的值为（ ）A. B. C. D. A巩固练习2. RtABC中，C=90，如果AC=4，BC=3，那么cosB的值为_ 如图， ABC 和 DEF 都是直角三角形， 其中A =D，C =F = 90，则成立吗？为什么？ABCDEF探究新知知识点 2正切的定义证明：C=F=90， A=D， RtABC RtDEF探究新知ABCDEF即 当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？探究新知ABC斜边cA的邻边bA的对边a如图：在Rt ABC中，C90，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的 正切，记作 tanA.探究新知 在直角三角形中

14、，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与邻边的比是一个固定值.ABC斜边cA的邻边bA的对边a 1.如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？【想一想】探究新知2.锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？3在RtABC中，C90，如果 那么tanB的值为（ ）A. B. C. D. D巩固练习4. 在RtABC中，C90，如果 那么tanA的值为_.锐角A的正弦、余弦、和正切统称A的锐角三角函数.sin A= cos A= tan A= 脑中有“图”，心中有“式”探究新知知识点 3锐角三角函数的定义ABC斜边cA的邻边bA的对边aA的邻边斜边A的对边斜边A的对边

15、A的邻边 例1 如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.ABC106解：由勾股定理得因此探究新知素养考点 1已知直角三角形两边求锐角三角函数的值探究新知 方法点拨 已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐角三角函数值；当所涉及的边未知时，可考虑运用勾股定理的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角函数值 5RtABC中，C为直角，AC=5，BC=12，那么下列A的四个三角函数中正确的是( )6如图：P是 的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cos _，tan = _.B巩固练习A.

16、 B C D AABC6又 在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值.探究新知素养考点 2已知一边及一锐角三角函数值求函数值 例2 如图，在 RtABC中，C = 90，BC = 6， ，求 cosA、tanB 的值解：在RtABC中，ABC8解：在 RtABC中，巩固练习7. 如图，在 RtABC 中，C = 90，AC = 8， ， 求sinA，cosB 的值1.（2018广州）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=_巩固练习连接中考ABC2. （2018贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形

17、的边长为1，则tanBAC的值为（）A B1 C D B巩固练习连接中考1. 在RtABC中，C = 90，AC = 12，AB =13. sinA=_，cosA=_，tanA=_， sinB=_，cosB=_，tanB=_.基础巩固题课堂检测2. 如图，ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 O 相切与点 C，若 BC=4，AB=5，则 tanA=_.ABC课堂检测基础巩固题3. 已知 A，B 为锐角， (1) 若A =B，则 cosA cosB； (2) 若 tanA = tanB，则A B. (3) 若 tanA tanB = 1，则 A 与 B 的关系为： .=A +B = 90课

18、堂检测基础巩固题 如图，在 RtABC 中，ACB = 90，CDAB，垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值.解: ACBADC =90，B+ A=90， ACD+ A =90，B = ACD，能力提升题课堂检测 如图，在ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求cosB 及 tanB 的值.解：过点 A 作 ADBC 于 D. AB = AC， BD = CD = 3，在 RtABD 中,ABCD提示：求锐角的三角函数值问题，当图形中没有直角三角形时，可用恰当的方法构造直角三角形.拓广探索题 课堂检测余弦函数和正切函数余弦正切性质课堂小结A的邻边斜边cos A =

19、A的对边tan A =A的邻边A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关30、45、60角的三角函数值导入新知 还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗？即 ， ，你还能推导出sin60的值及30、45、60角的其它三角函数值吗？ 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值？设30所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，另一条直角边长3060454530探究新知知识点 1特殊角（30、45、60）的三角函数值设两条直角边长为a，则斜边长6045探究新知30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角a304560sin acos a

20、tan a探究新知三角函数 仔细观察,说说你发现这张表有哪些规律?例1 求下列各式的值：（1）cos260sin260 （2）解： （1） cos260sin260= 1（2）=0探究新知素养考点 1特殊角的三角函数值的运算提示：sin260表示（sin60）2 这道例题的两个式子中包含几种运算？运算顺序是怎样的？探究新知 方法点拨 含特殊角三角函数值的计算注意事项：（1）熟记特殊角的锐角三角函数值是关键；（2）注意运算顺序和法则；（3）注意特殊角三角函数值的准确代入 1.计算：(1) sin30+ cos45；解：（1）原式 (2) sin230+ cos230tan45.巩固练习（2）原式

21、1-10解：在 RtABC中 ABC A = 45.探究新知素养考点 2利用三角函数值求特殊角例2 (1) 如图，在RtABC中，C = 90， ， ，求 A 的度数；解：在 RtABO中 ABO = 60.探究新知 (2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径， ，求 的度数.2. 在RtABC中，C90， 求A、B的度数ABC解： 由勾股定理 A=30B = 90 A = 9030= 60巩固练习 例3 已知 ABC 中的 A 与 B 满足 (1tanA)2 |sinB |0，试判断 ABC 的形状 tanA1， ， C180456075， ABC 是锐角三角形探究新知素养考点 3特殊

22、角的三角函数值的应用解： (1tanA)2 | sinB |0， A45，B60，3. 已知：求A，B的度数。解：巩固练习即连接中考巩固练习A1.（2018大庆）2cos60=（ ）A1 B C D2.（2019大庆）计算：（2019-）0 sin60解：原式1 1 1下列各式中不正确的是（ ） A Bsin30+cos30=1 Csin35=cos55 Dtan45sin452计算2sin30-2cos60+tan45的结果是（ ） A2 B C-1 D1 BD课堂检测基础巩固题sin260+cos260=13.求满足下列条件的锐角 .(1) 2sin = 0； (2) tan1 = 0.

23、= 60.(2) tan =1， 课堂检测解：(1) ， = 45.基础巩固题 4在ABC中，A、B都是锐角，且 ， ，则ABC的形状是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 B课堂检测5. 在 ABC 中，若 ，则C = . 120 基础巩固题6. 求下列各式的值： (1) 12 sin30cos30； (2) 3tan30tan45+2sin60； (3) ； (4)答案：(1)(2)(3) 2(4) 课堂检测基础巩固题 已知 为锐角，且 tan 是方程 x2 + 2x 3 = 0 的一个根，求 2 sin2 + cos2 tan (+15)的值解：解方程 x

24、2 + 2x 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = 3. tan 0， tan =1， = 45. 2 sin2 + cos2 tan (+15) = 2 sin245+cos245 tan60能力提升题课堂检测 如图，在ABC中，ADBC，M为AB的中点，B=30， . 求tanBCM. EMDCBA解：过点M作MEBC于点E课堂检测拓广探索题CD=AD,又M是AB的中点BE=DE，AD=2ME.又B=30，ADBC，30、45、60角的三角函数值通过三角函数值求角度特殊角的三角函数值课堂小结用计算器求锐角三角函数值 锐角a三角函数 30 45 60sin acos atan a1填写下表

25、：导入新知 前面我们学习了特殊角30，45，60的三角函数值,一些非特殊角(如17，56，89等)的三角函数值又怎么求呢?这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.导入新知例如 (1) 用计算器求sin18的值；解：第一步：按计算器 键；sin第二步：输入角度值18；屏幕显示结果 sin18= 0.309 016 994.不同计算器操作的步骤可能不同！知识点 1利用计算器求三角函数值、角的度数探究新知(2) 用计算器求 tan3036 的值；解：方法：第二步：输入角度值30.6 (因为3036 = 30.6)；屏幕显示答案：0.591 398 351.第一步：按计算器 键；tan探究新知屏幕

26、显示答案：0.591 398 351.方法：第一步：按计算器 键；tan探究新知第二步：输入角度值30，分值36 (使用 键)； (3) 已知 sinA = 0.501 8，用计算器求锐角A的度数.第二步：输入函数值0. 501 8； 屏幕显示答案： 30.119 158 67(按实际需要进行精确).解：第一步：依次按计算器 键；2nd Fsin 还可以利用 键，进一步得到A = 300708.97 (这说明锐角 A 精确到 1 的结果为 307，精确到 1 的结果为079). 2nd F 探究新知 1. 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1) sin47； (2) sin12

27、30； (3) cos2518；(4) sin18cos55tan59.答案：(1) 0.7314 (2) 0.2164 (3) 0.9041(4) 0.7817巩固练习2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角 A， B的度数 (结果精确到0.1)： (1) sinA0.7，sinB0.01； (2) cosA0.15，cosB0.8； (3) tanA2.4，tanB0.5.答案：(1) A 44.4；B 0.6. (2) A 81.4；B 36.9. (3) A 67.4；B 26.6.巩固练习（1）通过计算 (可用计算器)，比较下列各组数的大小，并提出你的猜想： sin30_2sin

28、15cos15； sin38_2sin19cos19； sin45_2sin22.5cos22.5； sin60_2sin30cos30； sin84_2sin42cos42.猜想：已知045，则sin2_2sincos.=探究新知知识点 2利用计算器探索三角函数的性质=(2) 如图，在ABC中，ABAC1，BAC2， 请利用面积方法验证 (1) 中的结论证明： SABC = AB sin2 AC = sin2， SABC = 2ABsin ACcos = sin cos， sin22sincos.探究新知2（1）sin35= ，cos35= ， sin235= ，cos235= ； 猜想： 已知090，则 sin2 + cos2 = .0.34200.57350.93970.11700.88300.8192 0.32900.67103.利用计算器