内蒙古大学通信原理课件第3章随机信号分析

1、第三章 随机信号分析本章主要内容 随机信号与噪声的特性 随机过程通过线性系统的分析方法3.1 引言通信过程就是信号和噪声通过系统的过程。统计学上：随机过程。通信中信号特点：具有不可预知性随机信号。通信中噪声特点：具有不确定性随机噪声。3.2 随机过程概述3.1 概述 随机过程是由全部实现构成的总体，每个实现都是确定的时间函数，而随机性就体现在出现哪一个实现是不确定的。ttn(t)tn(t)n(t) 基本特征： 为时间的函数； 在时刻t1全体样本的取值 是一个不含t 变化的随机变量。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。（1）分布函数设随机过程 ，t1时刻的 是随机变量，则（t）的统计特性

2、用以下特征表述。随机过程的统计特性是用其概率分布和数字特征来表述的。显然，随即过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性。一维分布函数：一维概率密度函数：F1(x1,t1)=P(t1) x1二维概率密度函数：二维分布函数:F2(x1, x2 ；t1 ,t2)=P(t1) x1, (t2) x2 n维概率密度函数：n维分布函数:Fn(x1, x2 xn; t1 t2 tn)=P(t1) x1 (tn) xn 为了反映随机过程在不同时刻取值间的内在联系，引入：显然,n越大，对随机过程的描述越充分，但问题的复杂性也就越大。（2）数字特征a. 数学期望（统计平均）表

3、示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。b. 方差表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。二者关系为c. 相关和协方差函数衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度。3.2 平稳随机过程指其统计特性不随时间的推移而变化，在通信领域中占有重要地位。一维分布与t无关：f1(x,t)=f1(x)二维分布只与有关：f2(x1, x2; t1, t2) = f2(x1, x2; t1+ , t2+ ) （1） 狭义平稳 fn(x1,x2, ,xn; t1,t2, ,tn)= fn(x1,x2, ,xn; t1+,t2+, ,tn +)说明当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有

4、有限维分布函数是不变的。（2） 广义平稳E(t)=a, D(t)=2, R(t1 ,t1+ )=R()（3） 各态历经性 用平稳随机过程中的任一实现x(t)的数字特征表示随机过程的全部数字特征，即可用时间平均取代统计平均。平均方差自相关注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳的随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。3.3 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1 相关函数性质 R（0）=E2(t)=S (t)平均功率可见用相关函数可以表示平稳随机过程(t)的几乎所有的数字特征。 R（）= E2(t) (t)直流功率 |R（）| R（

5、0） 有界 R（）= R（-） 偶函数 R(0) R（）=2 方差 (t)交流功率2 频谱特性对于平稳随机过程，其自相关函数与功率谱密度之间存在傅立叶变换关系。P() R()随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表示的。(t)平均功率功率谱密度P() 的性质： P() 0， 非负性； P(-) = P()，偶函数性； 所以，定义单边功率谱密度P0() 为：例：某随机相位余弦波 ，其中A和 均为常数， 是在 内均分布的随机变量。（1）求(t)的自相关函数与功率谱密度；（2）讨论(t)是否具有各态历经性。解： （1） (t)是否平稳？所以 (t)是广义平稳随机过程，即有P() R()（2）求(t)

6、的时间平均。3.4 高斯过程（正态随机过程）通信系统中的噪声一般均可看成是高斯过程。我们只讨论一维分布的高斯过程。一维正态分布：a均值，2方差 f(x) x a标准正态分布： f(x) x a f(x)的性质： （1）对称 x=a直线 （2）单调性（-，a） （a，+） （3）（4）a变化，f（x）左右平移；变化， f（x）高低、宽窄变化。 几个特殊函数形式概率积分函数Q函数 互补误差函数 erf(0)=0, erf()=1, erf(-x)=-erf(x)误差函数 erfc(0)=1, erf()=0, erf(-x)=2-erfc(x)正态分布函数其中为高斯随机变量。当xa时，当xa时，

7、用特殊函数表示正态函数3.5 窄带随机过程 随机过程通过以fc为中心的窄带系统输出，其频谱限制在某一中心频率fc附近很窄的频带上，且fc0.(1) 频域S(f)f0fc-fc(f)(f)(2) 时域：频率近似为fc，包络和相位缓慢变化的正弦波。(t)=a (t) cosct+(t)随机过程表示其中 a (t) 0包络函数， c中心频率， (t)随机相位函数(t)= c(t) cosct s(t) sinct随机过程表示其中 c(t) = a (t) cos (t)(t)的同相分量 s(t) = a (t) sin (t)(t)的正交分量 a2= 2c+2s=arctg(s/ c)讨论平稳窄带随

8、机过程(t)的 c(t) 、 s(t) 和a (t)、 (t)的统计特性。对于一个均值为零、方差为2窄带平稳随机过程：（1） c(t) 和 s(t)同样是平稳高斯过程，在同一时刻上得到的c、 s不相 关或统计独立。且有 Ec(t) = Es(t) =0, 2= 2c = 2s （2） a (t)的一维分布是瑞利分布， (t)的一维分布是均匀分布，就一 维分布而言， a 和统计独立。瑞利分布均匀分布3.6 正弦波加窄带高斯过程给定时，zc(t), zs(t)为平稳随机过程，均值不为0，方差相同。 同一时刻，zc(t), zs(t)统计独立。表示1信号与窄带噪声的混合波形信道接收机BPF噪声信号表

9、示2包络概率密度 - 广义瑞利(莱斯)分布Io(x)-零阶修正贝塞尔函数。两种极限情况：（1）信号很小，即A0，则r(t)中只存在窄带高斯噪声，接近瑞利分布；（2）信号很大，则f(z)近似为高斯分布，即3.7 高斯白噪声和带限白噪声3.7.1 白噪声：功率谱密度在整个频域内均匀分布。自相关函数可见，白噪声只有在=0，才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。双边功率谱密度单边功率谱密度高斯白噪声：白噪声取值的概率分布服从高斯分布。通信系统中作为信道中的噪声模型。3.7.2 带限白噪声：白噪声通过带限系统后，且其谱密度具有白噪声特性。1. 低通白噪声：限制在（-f0，f0）的白噪声。

10、2. 带通白噪声若 ，则称为窄带高斯白噪声，有2.7 随机过程通过线性系统建立在确知信号通过线性系统的分析原理基础上的 。h(t)若系统是物理可实现的，则当输入有界，且系统是物理可实现的，则有1、0(t)的数学期望h(t)平稳随机过程可以将vi(t)看成是输入随机过程的一个样本，vo(t)看成是输出随机过程的一个样本，于是有输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H(0)的乘积。2、0(t)的自相关函数Ro(t1,t1+) o(t)的自相关函数只依赖时间间隔而与时间起点t1无关。可见，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。4、0(t)的分布高斯过程经过线性变换后的过程仍为高斯的，但其数字特征已发生改变。3、0(t)的功率谱密度