冀教版八年级上册数学课件（第17章 特殊三角形）

1、第十七章 特殊三角形17.1 等腰三角形第1课时 等腰三角形 的性质1课堂讲解等腰三角形的定义等腰三角形的性质(等边对等角)等腰三角形的性质(三线合一)等边三角形的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？1知识点等腰三角形的定义知1导 在我们的身边，许多物体的形状是两边相等的三角形，如房屋的钢梁架、红领巾、交通标志的外沿形状等.结 论知1导 有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. 如图，在ABC中，ABAC. AB和AC 是腰，B

2、C是底边，A是顶角，B和C是底角. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.导引：根据等腰三角形的定义可得，等腰三角形的 另一腰的长为5或6，且都符合三角形三边关 系所以这个等腰三角形的周长等于556 16或66517.中考衡阳已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周长为()A11 B16 C17 D16或17知1讲例1 D总 结知1讲 本题运用分类讨论思想解题此类问题容易出错的地方是：忽视三角形的三边关系；没有注意到分类讨论，直接误认为第三边长为5或者是6，而没有考虑到这两种可能均成立知1练 【中考安顺】已知实数x，y满足|x4| 0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周

3、长是() A20或16 B20 C16 D以上答案均不对B一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这 个三角形的周长是() A13 B17 C22 D17或22 知1练C2知识点等腰三角形的性质(等边对等角)知2导如图，ABC是等腰三角形，其中ABAC.B和C有怎样的关系？BC，下面我们来证明等腰三角形的两个底角相等.已知：在ABC中，ABAC.求证：BC.证明：如图，作为A的平分线AD.在ABD和ACD中， ABDACF(SAS).BC(全等三角形的对应角想等). 等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)归 纳知2导知2讲例2 已知：如图，在ABC中， AB = AC，BD，CE 分

4、别为 ABC，ACB的平分线. 求证：BD=CE.证明：BD，CE分别为ABC， ACB的平分线， ABD ABC，ACE ACB. ABC=ACB(等边对等角)，ABD=ACE (等量代换). AB=AC(已知），A=A(公共角）， ABD ACE( ASA). BD=CE(全等三角形的对应边相等). 证明两条线段相等时，通常利用全等三角形来证，此种方法先观察要证明相等的两个角分别属于哪两个三角形，设法证明这两个三角形全等，最后根据全等三角形的对应边相等可得结论.总 结知2讲中考宿迁如图，已知ABACAD，且AD BC. 求证：C2D.知2练 证明：ABACAD， ABCC，ABDD. AD

5、BC，CBDD. ABDCBD2D， 即ABC2D.C2D.知2练【中考呼伦贝尔】如图，在ABC中，AB AC，过点A作ADBC，若170，则BAC的大小为() A40 B30 C70 D50 A知2练3 【中考邵阳】如图，点D是ABC的边AC上 一点(不含端点)，ADBD，则下列结论正确的是() AACBC BACBC CAABC DAABC A3知识点等腰三角形的性质(三线合一)知3导 如图，ABC是等腰三角形，其中，AB=AC. (1)我们知道，线段BC为轴对称图形，中垂线为它的对称轴.由AB=AC，可知道点A在BC的中垂线上.据此，你认为ABC是轴对称图形吗？如果是，对称轴是哪条直线？

6、 (2)底边BC上的高、中线及A的平分线有怎样的关系？知3导 不难发现，等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称 轴，底边上的高、中线和顶角的平分线三线重合. 下面，我们来证明等腰三角形的两个底角相等. 从上面的证明过程还知道： BD=CD(全等三角形的对应边相等)， ADB=ADC(全等三角形的对应角相等). 因为ADB+ADC=180， 所以ADB=ADC=90. 因此，A的平分线AD，也是ABC底边BC上的中线和高.知3讲例3 如图，ABAE，BCED，BE，AM CD，垂足为M.求证：CMMD.导引：由已知AMCD和结论CMMD， 联想到等腰三角形“三线合一”的 性质，由此连

7、接AC，AD构造等腰三角形证明：如图，连接AC，AD. 在ABC和AED中， ABCAED(SAS)ACAD. 又AMCD，CMMD. 总 结知3讲 对于单一等腰三角形作“三线合一”的基本图形，作底边上的高、底边上的中线还是顶角的平分线，可根据解题需要作辅助线；对于叠合等腰三角形作“三线合一”的基本图形，则需巧作辅助线，下面就如下几种图形说明巧作辅助线的方法： 1如图甲的情形，需作底边上的高； 2如图乙的情形，需作顶角的平分线； 3如图丙的情形，需作中线； 4如图丁的情形，需连接AD并延长知3练如图，在ABC中，ABAC，点D是BC边的中 点，DE，DF分别垂直AB，AC于点E和点F.求证：D

8、EDF. 证明：如图，连接AD.点D是BC的 中点，AD是ABC的BC边 上的中线又ABAC， AD平分BAC(三线合一) DE，DF分别垂直AB，AC于 点E和点F，DEDF.知3练【中考苏州】如图，在ABC中，ABAC， D为BC的中点，BAD35，则C的度数为() A35 B45 C55 D60 C4知识点等边三角形的性质知4导 因为等边三角形的三边都相等，由等腰三角形的性质“等边对等角”可以得到：等边三角形的三个角都相等，由三角形的内角和是180，所以等边三角形的每一个内角都是60. 知4导 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60.归 纳知4讲例4 如图，已知ABC，BDE都

9、是等边三角形 求证：AECD.导引：要证AECD，可通过证分别含有 AE，CD的两个三角形全等来实现， 即证ABECBD，条件可从等 边三角形中去寻找证明：ABC和BDE都是等边三角形， ABBC，BEBD，ABCDBE60. 在ABE与CBD中， ABECBD(SAS)AECD. 运用等边三角形的性质证明线段相等的方法：把要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或等边三角形或者放到两个三角形中，利用全等三角形的性质证明；注意等边三角形的三个内角相等、三条边相等、三线合一是隐含的已知条件总 结知4讲 知4练中考泸州如图，已知ABC为等边三角形，点 P在AB上，以CP为边作等边三角形PCE，使点

10、E，A在直线PC的同侧求证：AEBC. 证明：ABC和PCE都为等边三角形， BCAC，PCEC，ACB ABCECP60，ACB ACPECPACP，即BCPACE. 在PCB和ECA中， PCBECA.ABCCAE， ACBCAE，AEBC.知4练如图，ABC是等边三角形，AD是角平分线， ADE是等边三角形，下列结论：ADBC；EFFD；BEBD.其中正确结论的个数 为() A3 B2 C1 D0 A 等腰三角形中求角的度数的“三种方法”(1)利用等边对等角得相等的角.(2)利用三角形外角等于与其不相邻的两内角之和导出 各角之间的关系.(3)利用三角形内角和定理列方程.第十七章 特殊三角

11、形17.1 等腰三角形第2课时 等腰三角形 的判定1课堂讲解等腰三角形的判定等边三角形的判定2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 如图所示，量出AC的长，就可知道河的宽度AB.你知道为什么吗？1知识点等腰三角形的判定知1导 已知：如图，在ABC 中，B=C.(1)请你作出BAC的平分线AD.(2)将ABC沿AD所在直线折 叠， ABC被直线AD分成的两部 分能够重合吗？(4)由上面的操作，你是否发现了边AB和边AC之间 的数量关系?已知：如图，在ABC 中，求证：AB=AC.证明：如图，作的平分线， 交BC于点D. 在ABD和ACD中， B=C(已知)， BAD=CAD(角平分线概念)， AD

12、=AD(公共边)， ABDACD(AAS). AB=AC(全等三角形的对应边相等).知1导归 纳知1导 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.其中，两个相等的角所对的边相等. (简称“等角对等边”)导引：要说明ABC为等腰三角形，由图可知即要 说明BC，而B，C分别在两个直角 三角形中，因此只要说明B，C的余角 BQP，R相等即可如图，在ABC中， P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，若AQAR，则ABC是等腰三角形吗？请说明理由知1讲例1解：ABC是等腰三角形理由如下： AQAR，RAQR. 又BQPAQR，RBQP. 在QPB和RPC

13、中， BBQP180BPQ90， CR180CPR90， BC， ABAC，即ABC为等腰三角形知1讲 总 结知1讲 本题运用了转化思想，将要说明的两等角利用等角的余角相等转化为说明其余角相等；对顶角相等这一隐含条件在推导角的相等关系中起了关键的桥梁作用根据等腰三角形的判定定理可知，证明一个三角形是等腰三角形，就是要证明三角形有两个内角相等所以证明两个角相等是判定等腰三角形的关键所在知1练在ABC中，A和B的度数如下，能判定 ABC是等腰三角形的是() AA50，B70 BA70，B40 CA30，B90 DA80，B60如图，BC36，ADEAED 72，则图中的等腰三角形有() A3个B4

14、个 C5个D6个 BD如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件： DBO=ECO；BDO=CEO； BD=CE；OB=OC (1)上述四个条件中，哪两个可以判定ABC是等腰三角形？ (2)选择第(1)题中的一种情形为条 件，试说明ABC是等腰三角形知1练解：(1)，和； (2)以为条件，理由： OB=OC，OBC=OCB 又DBO=ECO， DBO+OBC=ECO+OCB， 即ABC=ACB，AB=AC， ABC是等腰三角形知1练2知识点等边三角形的判定知2导1.三个内角都相等的三角形是等边三角形吗？说出 你的理由.2.有一个角是60的等腰三角形一

15、定是等边三角形 吗？说出你的理由.三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形.归 纳知2导知2讲例2 如图，已知ABC是等边三角形，D为边AC的 中点，AEEC，AEBC. 证明：ADE是等边三角形导引：由题中条件可证明ABDACE，可得AD AE，又易知CAE60，因此可以用判 定定理2证ADE是等边三角形知2讲ABC是等边三角形，D为边AC的中点，ABAC，BACBCA60，BDAC，BDA90.AEEC，CEA90，BDACEA.AEBC，CAEBCA60BAD.在ABD和ACE中，ABDACE.ADAE，又DAE60， ADE是等边三角形 证明： 证明一

16、个三角形是等边三角形的方法：(1)若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定；(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形 是等边三角形”来判定；(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形”来判定总 结知2讲 如图，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，EBCDAC，CEAB. 求证：CDE是等边三角形知2练 证明：ABC是等边三角形， BCAC，ABCACB60. CEAB，ABCECD60， BCEACD18060120. 在ACD和BCE中， ACDBCE，CDCE. CDE是等边三角形知2练2 下列三角形： 有两个角等于60的三角形；

17、 有一个角等于60的等腰三角形； 三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相 等的三角形； 一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三 角形 其中是等边三角形的有() A B C D D知2练3 【中考河北】如图，AOB120，OP平分 AOB，且OP2.若点M，N分别在OA，OB 上，且PMN为等边三角形，则满足上述条件 的PMN有() A1个 B2个 C3个 D3个以上 D 等腰三角形的三种判定方法(1)当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相等的 三角形是等腰三角形”来判定.(2)当三角形中有两个角相等时，应用“如果一个三角 形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 来证明.(3)当线段垂直平

18、分线上的点与线段两端点构成三角形 是，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端点的 距离相等，则构成的三角形式等腰三角形”来证明. 根据条件判定等边三角形的解题技巧：(1)若已知三边关系，则考虑用“三条边都相等的三角 形是等边三角形”判定(2)若已知三角关系，则根据“三个角都相等的三角形 是等边三角形”判定(3)若已知该三角形是等腰三角形，则根据“有一个角 是60的等腰三角形是等边三角形”判定第十七章 特殊三角形17.2 直角三角形1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升直角三角形角的性质与判定直角三角形斜边上的中线性质含30角的直角三角形的性质 这幅图画是云南西双版纳傣族干烂房，你能从图中

19、找出形状为直角三角形的部分吗？1知识点直角三角形的性质与判定知1导 我们知道，有一个角等于90的三角形叫做直角三角形.直角三角形可以用符号“Rt”表示，如图，直角三角形ABC可以表示为“RtABC”. 由三角形内角和定理，容易得到： 直角三角形的性质定理. 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形性质定理的逆命题显然也是真命题.于是，有：直角三角形的判定定理 如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.知1讲 “直角三角形的两个锐角互余”及“有两个角互余 的三角形是直角三角形”都可以利用三角形的内 角和定理推出(2)在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系， 结合两锐角互余可以求出每

20、个锐角的度数，而不 必再使用三角形内角和定理求解(3)在判定一个三角形是直角三角形时，除利用直角 三角形的定义外，还可找出有两个锐角互余，从 而直接判定直角三角形如图，已知A32，ADC110，BEAC于点E，求B的度数知1讲例1解：A32，ADC110， C1803211038. 又BEAC，BEC为直角三角形， B90C903852(直角三角 形的两个锐角互余) ：直角三角形是特殊的三角形，在直角三角形中， 可以利用直角三角形的两个锐角互余求角的度数 的问题，也可以利用三角形内角和定理来求解 总 结知1讲 直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的两锐角互余的本质是三角形内角和定理，是三角形内

21、角和定理的一种简化应用，利用这一性质，在直角三角形中已知一锐角可求另一锐角 知1练 如图，AD是RtABC的斜边BC上的高，则图中 与B互余的角有() A1个 B2个 C3个 D4个【中考遵义】如图，在平行线a，b之间放置一块 直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则12的值为() A90 B85 C80 D60BA知1讲例2 如图，ABCD，直线EF分别交AB，CD于 点E，F，BEF的平分线与DFE的平分 线相交于点P.试说明EFP为直角三角形导引：判定EFP为直角三角形，有两种方法： 有一角是直角，两锐角互余，即要说 明EPF90或EFPFEP90.知1讲ABCD，BEFDF

22、E180.EP为BEF的平分线，FP为EFD的平分线，PEF BEF，PFE DFE.PEFPFE (BEFDFE)18090.EFP为直角三角形 解： 根据直角三角形的定义可以判定直角三角形；由直角三角形的判定定理也可判定直角三角形有两个角互余，由三角形内角和定理可知第三个角是直角，因此它的实质还是直角三角形的定义总 结知1讲 如图，BD平分ABC，ADB60，BDC 80，C70.试判断ABD的形状知1练解：在DBC中，DBC180 BDCC18080 7030. BD平分ABC，ABDDBC30. 在ABD中， ADBABD603090， ABD是直角三角形 知1练【中考咸宁】如图，直线

23、l1l2，CDAB于 点D，150，则BCD的度数为() A50 B45 C40 D30 C2知识点直角三角形斜边上的中线性质知2导 在一张半透明的纸上画出RtABC，C=90，如图(1)；将B折叠，使点B与点C重合，折痕为EF，沿BE画出虚线CE， 如图(2)；将纸展开，如图(3) .知2导 (1)ECF与B有怎样的关系？线段EC与线段EB有怎样的关系？ (2)由发现的上述关系以及A+B=ACB，ACE+ECF=ACB，你能判断ACE与A的大小关系吗？线段AE与线段CE呢? 从而你发现了什么结论？将你的结论与大家交流. 我们发现，CE=AE=EB，即CE是AB的中线，且CE= AB. 下面就

24、来证明上面的“发现”.知2导 已知：如图，在 RtABC 中，ACB = 90， CD为斜边AB上的中线. 求证：CD= AB. 证明：如图，过点D，作DEBC，交AC于 点E；作DFAC，交BC于点F. 在AED 和DFB 中， A=FDB(两直线平行，同位角相等)， AD=DB(中线的概念)， ADE=B(两直线平行，同位角相等)，知2导AEDDFB (ASA).QE=DF，ED=FB.(全等三角形的对应边相等）同理可证，CDEDCF.从而，ED=FC，EC=FD. AE=EC，CF=FB.(等量代换）又DEAC，DFBC，(两直线平行，同位角相等)DE为AC的垂直平分线，DF为BC的垂直

25、平分线. AD=CD=BD(线段垂直平分线的性质定理).CD= AB.知2导 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.归 纳知2讲例3 如图，BD，CE是ABC的两条高，M，N分别 是BC，DE的中点求证：MNDE.导引：如图，连接EM，DM，由CE与BD 为ABC的两条高，可得BEC与 BDC均为直角三角形，根据M为 BC的中点，利用“直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半”可得EM为BC的一半，DM也为 BC的一半，通过等量代换可得EMDM，又因 为N为DE的中点，所以MNDE.知2讲连接EM，DM，如图.CE，BD为ABC的两条高，CEAB，BDAC，BECBDC90.在RtBEC中，M为

26、斜边BC的中点，EM BC.在RtBDC中，M为斜边BC的中点，DM BC.EMDM.又N为DE的中点，MNDE. 证明： 若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中线，若又有直角，往往需要用到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半总 结知2讲 知2练如图，在四边形ABCD中，DABDCB 90，AC与BD相交于点O，M，N分别是BD，AC的中点求证：MNAC. 证明：连接AM，MC. 在DCB和BAD中， DCBDAB90， DCB和BAD均为直角三角形 M是BD的中点， MC BD，AM BD.MC AM. 又N是AC的中点，MNAC.知2练如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与 点

27、C被湖隔开，若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为() A0.5 km B0.6 km C0.9 km D1.2 km如图，在RtACB中，ACB90，CD为AB 边上的中线，A30.若CD6，则BC的长度为() A2 B4 C6 D8 CD3知识点知3导 证明：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半.含30角的直角三角形的性质知3讲1.性质：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜 边的一半要点精析：(1)适用条件含30角的直角三角形(2)揭示的关系30角所对的直角边与斜边的关系拓展：在直角三角形中，若一直角边等于斜边的一半， 则该直角边所对的角为30.2.作用：应用

28、于证线段的倍数关系和计算角度 知3讲例4 中考温州如图17.26，在等边三角形ABC 中，点D，E分别在边BC，AC上，DEAB， 过点E作EFDE，交BC的延长线于点F. (1)求F的度数； (2)若CD2，求DF的长导引：(1)根据平行线的性质可得EDCB60， 再根据三角形内角和定理即可求解； (2)易证EDC是等边三角形，再根据直角三角 形的性质即可求解知3讲(1)ABC是等边三角形，B60. DEAB，EDCB60. EFDE，DEF90. F90EDC30.(2)ACB60，EDC60， DEC60.ACBEDCDEC. EDC是等边三角形DECD2. DEF90，F30， DF2

29、DE4. 解： 利用含30角的直角三角形的性质，关键有两个元素：一是30的角；二是直角三角形根据这两个元素可建立直角三角形中斜边与一条直角边之间的关系总 结知3讲 知3练中考铜仁如图，已知AOB30，P是 AOB平分线上一点，CPOB，交OA于点 C，PDOB，垂足为点D，且PC4，则PD等于() A1 B2 C4 D8 B知3练1 【中考黔南州】如图，在ABC中，C 90，B30，AB的垂直平分线ED交 AB于点E，交BC于点D，若CD3，则BD的长为_ 6知3练在RtABC中，A30，则下列结论正确 的是() ABC AB BBC AB C当B90时，BC AB D当C90时，BC AB

30、D 在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半这个定理将特殊的直角三角形中的角度关系转化为直角三角形中边的等量关系在一般情况下，遇到30角常用的添加辅助线的方法就是作垂直，构造含30角的直角三角形，解决相关的线段问题第十七章 特殊三角形17.3 勾股定理第1课时 认识勾股定理1课堂讲解勾股定理勾股定理与图形的面积2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 如图是2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002)的会标.它的设计思路可追溯到3世纪中国数学家赵爽所使用的弦图.用弦图证明勾股定理在数学史上有着重要的地位.1知识点勾股定理知1导1.如图(1)，每个小方格都是边长为1的小正方形，在

31、所 围成的ABC中，ACB=90.图中以AC，BC，AB 为边的正方形的面积分别是多少？这三个正方形的面 积之间具有怎样的关系？2.图(2)是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的 地面示意图，ACB=90.分别以AC，BC，AB为 边的三个正方形(红色框标出)的面积之间有怎样的 关系？3.如图(3)，在ABC中，ACB=90，请你猜想： 分别以AC，BC，AB为边的三个正方形的面积之间 也具有图(1)和图(2)中三个正方形的面积之间所具有 的关系吗？ 如果具有这种关系，请用图(3)中RtABC的边把这 种关系表示出来.知1导归 纳知1导 通过探究可知：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜

32、边的平方. 图是用四个全等的直角三角形拼成的，其中，四边形ABDE和四边形CFGH都是正方形.请你根据此图，利用它们之间的面积关系推导出：a2 +b2=c2. 如图，我国古代把直角三角形较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”.因此，直角三角形三边之间的关系称为勾股定理 . 知1导归 纳知1导 如果直角三角形两直角边分别为a，b斜边为c，那么a2+b2=c2. 勾股定理也可叙述为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 分析：本题考查了等腰三角形三线合一的性 质，即等腰三角形底边上的中线，底 边上的高重合，利用三线合一的性质求得线段的长 度后，再利用勾股定理求出AD边

33、的长度.解：根据等腰三角形的三线合一，AD是底边上的高，可得 ADBD .即BD= BC= 6=3(cm) .在RtABD中， 由勾股定理，得AB2=BD2+AD2，所以AD=4 cm. 如图所示，等腰三角形ABC中，AB=AC ，AD是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，则AD= cm知1讲例1ACDB 4总 结知1讲 在直角三角形中应用勾股定理求边长时，要分清斜边和直角边，避免盲目代入勾股定理的公式.知1练1 下列说法中正确的是() A已知a，b，c是三角形的三边，则a2b2c2 B在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C在RtABC中，C90，则a2b2c2 D在RtA

34、BC中，B90，则a2b2c2若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜 边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的 是() Ab2c2a2 Ba2c2b2 Cb2a2c2 Dc2a2b2 CC在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，则 点C到AB的距离是() A. B. C. D. 知1练A2知识点勾股定理与图形的面积知2讲例2 如图所示，在ABC中，ACB=90，以ABC的各 边为边在ABC外作三个正方形，S1，S2 ，S3分别表示 这三个正方形的面积，S1=81，S3=225，则S2=_分析：要求S2的面积，需要知道正方形的边长或 边长的平方，利用勾股定理可以解答.解：

35、由勾股定理，得AC2+BC2=AB2 .又S1=AC2， S2=BC2，S3=AB2 ，S1+S2=S3. 即S2=S3S1=22581=144. 故填144. ：本题将勾股定理与正方形面积公式结合起来，通过勾 股定理解决正方形面积的问题，充分体现了它们之间 存在的联系144正方形和直角三角形相结合可以求出图形的面积.总 结知2讲如图所示，分别以RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8试求S3.知2练解析：把正方形的面积用边长的平方表示，然后利用 勾股定理求解解：在RtABC中，由勾股定理得BC2+AC2=AB2 所以S3=AB2=BC2+AC2=S

36、1+S2=12知2练如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为() A3 B4 C5 D7 D知2练如图，已知ABC为直角三角形，分别以直角 边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为() AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不能确定 C 运用勾股定理时应注意以下几点：(1)遇到求线段长度的问题时，能想到利用勾股定理.(2)必须把要求的线段归结到直角三角形中去(没有直角 三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形)，切记 乱用勾股定理.(3)分清组成直角三

37、角形的线段中哪条是直角边，哪条 是斜边. 勾股定理适用的前提条件是直角三角形： 由公式a2+b2=c2可知，在直角三角形中，已知任意两条边长，可求第三条边长. 在应用公式计算时要会灵活变形，常常要与乘法公式结合适用；如c2=a2+b2=(a+b)22ab或c2=a2+b2=(ab)2+2ab；a2=c2b2=(c+b)(cb)等.第十七章 特殊三角形17.3 勾股定理第2课时 勾股定理 的应用1课堂讲解勾股定理的实际应用勾股定理的几何应用勾股定理求最小值应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升小鹿，你在忙嘛呢，不下来做游戏？我不知道，我们去找古埃及人，问一问吧我在想，我们在的这个三角形有什么特

38、点呢！1知识点勾股定理的实际应用知1讲1.勾股定理的数学表达式： 在RtABC中，C90，ABc，ACb，BC a，则a2b2c2.要点精析：(1)勾股定理适用于任何一个直角三角形；(2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的数 量关系，已知其中任意两边可以求出第三边；(3)勾股定理的变形公式：a2c2b2，b2c2a2；(4)运用勾股定理时，要分清斜边、直角边2.基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合 起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数” 结合起来，它是数形结合思想的典范易错警示：运用勾股定理时，一定要分清哪条边是斜 边.在不清楚哪条边是斜边时，要分类讨论，写出所

39、 有可能，以免漏解或错解知1讲 解：在ABC中， ACB=90， AC2+BC2=AB2(勾股定理). AB=200 m，BC=160 m， 答：点A和点C间的距离是120 m.如图，为了测得湖边上点A和点C间的距离，一观测者在点B设立了一根标杆，使ACB=90.测得 AB=200 m，BC=160 m.根据测量结果，求点A和点C间的距离.知1讲例1 总 结知1讲 解决这类实际问题的关键是根据题意，画出图形，建立数学模型，用数学知识解答，把复杂问题简单化、明朗化.知1练【中考哈尔滨】如图，一艘轮船位于灯塔P的北 偏东60方向，与灯塔P的距离为30海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位

40、于灯塔P的南偏东30方向上的B处，则此时轮船所在的位置B处与灯塔P之间的距离为() A60 海里 B45 海里 C20 海里 D30 海里 D知1练2 【中考安顺】如图，有两棵树，一棵高10米， 另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一 棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少 飞行() A8米 B10米 C12米 D14米 B如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1.5 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2 m，则树高为 m.知1练4 2知识点勾股定理的几何应用知2讲例2 如图，在长为50 mm，宽为40 mm的长方形零件 上有两个圆孔，与孔中心A，B相关的数据如图所 示.

41、求孔中心A和B间的距离.解：ABC是直角三角形， AB2=AC2+BC2. AC=501526=9(mm)， BC=401810=12(mm)， 答：孔中心A和B间的距离是15 mm. 利用勾股定理求未知边长时，关键要找准斜边,找斜边，就是找直角，直角所对的边就是斜边总 结知2讲 如图，在ABC中，AB=AC=12，BC=16. 求ABC的面积.知2练 解：过点A作ADBC，交BC 于点D. AB=AC，AD是ABC底边BC上的中线， BD=CD= BC= 16=8. 在RtABD中，由勾股定理，得AD2=AB2 BD2=12282，AD=4 .SABC = BCAD= 164 =32 .知2

42、练【中考黔东南】2002年8月在北京召开的国际数 学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(ab)2的值为() A13 B19 C25 D169 C知2练【中考杭州】已知直角三角形纸片的两条直角 边长分别为m和n(mn)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形若这两个三角形都是等腰三角形，则() Am22mnn20 Bm22mnn20 Cm22mnn20 Dm22mnn20 C3知识点勾股定理的几何应用知3讲例3 如图，小红想用一条

43、彩带缠绕易拉罐，正好从 A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周 长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的 是( ) A. 13 cm B. 4 cm C. 4 cm D. 52 cmD知3讲分析：要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根 据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段 长时，借助于勾股定理.解：有图可知，彩带从易拉罐底端的 A处绕易拉罐 4 圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈 长方形，则螺旋线长为四个长方 形并排后的长方形的对角线长， 易拉罐底面周长是12 cm， 高是20 cm， x2=(124)2+202， 所以彩带最短是52 cm. 本题考查了平面展开-最

44、短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开呈矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决.总 结知3讲知3练【中考东营】如图，一只蚂蚁沿着棱长为2 的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长 为_ 知3练如图所示，一圆柱高8 cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(取3)是( ) A. 20 cm B. 10 cm C. 14 cm D.无法确定B 用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出面积的相等关系，再由面积之间的相等关系并结合图形进行代数变形即可推导出勾股

45、定理. 它一般都经过以下几个步骤：拼出图形写出图形面积的表达式找出相等关系恒等变形导出勾股定理. 应用勾股定理解题的方法：(1)添线应用，即题中无直角三角形，可以通过作垂线， 构造直角三角形，应用勾股定理求解；(2)借助方程应用，即题中虽有直角三角形，但已知线 段的长不完全是直角三角形的边长，可通过设未知 数，构建方程，解答计算问题；(3)建模应用，即将实际问题建立直角三角形模型，通 过勾股定理解决实际问题第十七章 特殊三角形17.3 勾股定理第3课时 勾股定理的 逆定理1课堂讲解由边的数量关系判定直角三角形勾股数2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 通过前边的学习我们知道直角三角形的三边有特

46、殊的数量关系，那么我们如何识别一个三角形是不是直角三角形呢？今天，我们学习一种新的方法！1知识点由边的数量关系判定直角三角形知1导 如果ABC的三边a，b， c满足a2+b2=c2，那么C是直角吗？ 在ABC中，由边的关系a2+b2=c2，推导出C是直角较难做到.若作一个与ABC全等的直角三角形，则可借助于全等的性质来说明C是直角. 已知：如图，在ABC 中，AB = c，BC = a，CA = b，且 a2 + b2 = c2. 求证：C=90. 证明：如图(2).作ABC，C = 90，BC = a， CA=b.由勾股定理，可得 AB2 =a2+b2. a2+b2=c2, AB2= c2，

47、 即AB=c. 在ABC和 ABC中， BC= BC = a，AC = AC= b，AB= AB=c， ABCABC(SSS). C=C = 90(全等三角形的对应角相等).知1导归 纳知1导 如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.图是一个机器零件示意图，ACD=90是这种零件合格的一项指标.现测得 AB=4 cm，BC= 3 cm，CD =12 cm，AD = 13 cm，ABC=90.根据这些条件，能否知道ACD =90?知1讲例1解：知1讲在ABC中，ABC = 90， AC2 =AB2 +BC2 (勾股定理).AB=4，BC=3， AC2 = 32

48、+42 = 52. AC=5.在ACD中， AC=5，CD = 12，AD= 13， AC2+CD2 = 52 +122=169，AD2 =132 =169. AC2+CD2=AD2.ACD=90(勾股定理的逆定理). 所以，根据这些条件，能知道ACD= 90. 总 结知1讲 利用勾股定理的逆定理构建直角三角形解决问题的方法：先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后利用直角得到另一个直角三角形，在另一个直角三角形中运用勾股定理求边长，这是勾股定理及其逆定理常用的综合解题思路，这种方法常用在具有公共直角或者两直角互为邻补角的两个直角三角形中 解：AD是ABC的中线， BD BC8.

49、 在ABD中，AB17，BD8，AD15， AB2172289，BD2AD28215264225 289，BD2AD2AB2， ABD为直角三角形，且ADB90， ADC是直角三角形在RtADC中，AC 17，ABAC.如图，在ABC中，AB17，BC16，BC边上 的中线AD等于15，试说明ABAC.知1练 知1练【中考淮安】下列四组线段中，能组成直角三角形的是() Aa1，b2，c3 Ba2，b3，c4 Ca2，b4，c5 Da3，b4，c5已知ABC的三边长分别为5，12，13，则ABC 的面积为() A30 B60 C78 D无法确定 DA2知识点勾股数知2讲1.勾股数：能够成为直角三

50、角形三条边长的三个正整 数常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15， 17；7，24，25；9，40，41；.要点精析：(1)勾股数有无数组；(2)一组勾股数中各数的相同倍数构成一组新的勾股数， 如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15也是 勾股数；即如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb， nc(n为正整数)也是一组勾股数知2讲2.判断勾股数的方法：(1)确定是否是三个正整数；(2)确定最大数；(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方 易错警示：勾股数必须同时满足两个条件：(1)三个数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方 知2讲例2 下面

51、四组数中是勾股数的一组是() A6，7，8 B5，8，13 C1.5，2，2.5 D21，28，35导引：根据勾股数的定义：满足a2b2c2的三个正整 数a，b，c称为勾股数A.627282，不能构 成勾股数，故错误；B.5282132，不能构成勾 股数，故错误；C.1.5和2.5不是整数，所以不能 构成勾股数，故错误；D.212282352，能构 成勾股数，故正确故选D.D 确定勾股数的方法：首先看这三个数是否是正整数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方记住一些常见的勾股数可以提高解题速度常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；.总

52、 结知2讲 1 若直角三角形的三边长为三个连续的偶数，则它的三边长分别是() A3，4，5 B6，8，10 C3，4，6 D4，6，8知2练B 知2练2 下列各组数中，不是勾股数的是() A5，12，13 B7，24，25 C8，12，15 D3k，4k，5k(k为正整数)3 下面几组数中，为勾股数的一组是() A4，5，6 B12，16，20 C10，24，26 D2.4，4.5，5.1 CB 勾股定理及其逆定理的应用：(1)单一应用：先由勾股定理的逆定理得出直角三角形 后，再求这个直角三角形的角度和面积；(2)综合应用：先由勾股定理求出三角形的边长，再由 勾股定理的逆定理确定三角形的形状，

53、进而解决其 他问题；(3)逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和 不等于最大边长的平方，那么这个三角形就不是直 角三角形第十七章 特殊三角形17.4 直角三角形全等的判定1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升判定两直角三角形全等的方法：斜边、直角边直角三角形全等的综合判定 下课后，小强和小星为“边边角”是否成立展开了争论，小强认为，对于两个三角形，有“边、边、角”对应相等，这两个三角形不全等小星则画了如下的两个直角三角形(如图)其中C=C=90，AB=AB，BC=BC，将它们从纸片上剪下来，发现它们重合，于是断定“边、边、角”对应相等的条件能判定两个三角形全等，你认为他说的有道理

54、吗？1知识点判定两直角三角形全等的方法：斜边、直角边知1导 我们已经知道，三边对应相等的两个三角形全等.由勾股定理可知，两边对应相等的两个直角三角形，其第三边一定相等.从而，这两个直角三角形一定全等.因此，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.证明过程如下： 已知：如图，在ABC和ABC中，C= C=90，AB = AB ，AC= AC. 求证：ABCABC. 证明：在ABC和ABC中， C=90，C=90， BC2=AB2AC2， BC2=AB2AC2(勾股定理). AB=AB，AC=AC， BC=BC. ABCABC(SSS).知1导归 纳知1导斜边和直角边对应相等的两个直角三角形

55、全等.这个定理可以简写为“斜边、直角边”或“HL”.已知：如图，点P在AOB的内部，PCOA，PDOB，垂足分别为C， D，且PC=PD.求证：点P在AOB的平分线上.知1讲例1证明：如图，作射线OP. PCOA， PDOB，PCO=PDO=90. 在 RtOPC 和 RtOPD 中， RtOFCRtOPD( HL). POA=POB.OP是AOB的平分线， 即点P在AOB的平分线上. 总 结知1讲 应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，必须强调是直角三角形 如图，在ABC中，ABCB，ABC 90， F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AECF. 求证： RtABERtCBF.知1练

56、 证明：ABC90， CBFABE90. 在RtABE和RtCBF中， RtABERtCBF(HL)2 如图，CD90，添加一个条件，可使用 “HL”判定RtABC与RtABD全等以下给出的条件正确的是() AACAD BABAB CABCABD DBACBAD3 【中考西宁】下列可使两个直角三角形全等的条 件是() A一个锐角对应相等 B两个锐角对应相等 C一条边对应相等 D两条边对应相等知1练 AD2知识点直角三角形全等的综合判定知2讲例2 探究题 如图所示，已知ACBADB90， ACAD，E是AB上任意一点求证：CEDE.证明：在RtABC和RtABD中， ACAD，ABAB， RtA

57、BCRtABD(HL)， CABDAB. 在AEC和AED中，ACAD，CAE DAE，AEAE，AECAED(SAS)， CEDE. 直角三角形是一类特殊的三角形，它具有一般三角形的所有性质，因此，判定两个直角三角形全等时，完全可以采用一般三角形全等的判定方法由于直角三角形中有一个直角，而直角都相等，所以在判定两个直角三角形全等时，要注意到这两个三角形中已经具备一对对应角相等的条件了，只需找另外两个条件即可，而HL定理是直角三角形独有的，所以运用HL定理时，一定要指出是直角三角形总 结知2讲知2练易错题如图，ABBC，ABBC于B，FC CB于C，E为BC上一点，BEFC，试说明：AEBF.

58、 解：ABBC于B，FCCB于C， ABEBCF90. ABBC，BECF， ABEBCF(SAS)，AFBC. AAEB90， FBCAEB90，BED90， AEBF.知2练如图，在ABC中，ADBC，D为BC的中点， 以下结论：ABDACD；ABAC； BC；AD是ABC的角平分线其 中正确的有() A1个 B2个 C3个 D4个 D知2练【中考济宁】如图，在ABC中，ADBC， CEAB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当的条件： _， 使AEHCEB. AH=CB(或EH=EB或AE=CE) 判定直角三角形全等的“四种思路”：(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜

59、边分别相等， 用“HL”判定(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，直角边 是锐角的对边，用“AAS”判定；直角边是锐角 的邻边，用“ASA”判定(4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定第十七章 特殊三角形17.5 反证法1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升反证法的意义用反证法证明的步骤 在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时用间接的证明方法可能更方便.反证法就是一种常用的间接证明方法.1知识点反证法的意义知1导 在第九章中，我们已经知道“一个三角形中最多有一个直角”这个结论.怎样证明它呢？ 已知：如图，ABC. 求证：在ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角. 证明：假设ABC中有两个(或三个)直角，不妨设 A=B =90. A+B=180， A+B+C 180. 这与“三角形的内角和等于180”相矛盾. 因此，三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的. 所以，如果三角形含直角，那么它只能有一个直角.知1导归 纳知1导 上面的证明过程，