数值计算方法习题

1、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指岀它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。(1)兀二1皿1；(2)；(3)；(4)；(5)疋二仆W(6)璋二0.10 x12；(7)右二654300；(1)厂ixio45,:1x104；(2)2,3丄:,-1；(3)4,-X1024IxlO-3，;(4)5,IxlO-32,xlO；(5)1,丄,14;(6)2,”，IxlO-1(7)6,IxlO-4,丄:O,x*的相对误差为6,求f(x)=lnx的误差限。解：求1nx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，有故即已知x*的相对误差满足下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有

2、效数字，并给出其误差限与相对误差限。解：直接根据定义得有5位有效数字，其误差限相对误差限有 位有效数字，有 #位有效数字，有 位有效数字，有 位有效数字，下列公式如何才比较准确？1)2)解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。2)1)近似数x*=0.0310,是位有(3位)有效数字。13.计算取13.计算取)式计算误差最小。四个选项：习题二已知乳6=1=2丁=4,求九）的二次值多项式。（x）=-1X2+1令心=0內7求产的一次插值多项式，并估计插值误差。解：珂=1+0】-1）工；，&介于x和0,1决定的区间内；辰尾，当（叮）时。给出函数的数表，分别用线性插值与二次插值求池

3、呻幼1的近似值，并估计截断误差。0.54667，0.000470；0.54714，0.0000290.40.50.60.70.8sinx0.389420.479430.564640.644220.71736设，试利用拉格朗日余项定理写出以-1丄2为节点的三次插值多项式。十-（JC4-1）工（兀-1（片一2）=Zx34-X3-H已知，求/霞現及兀巩2】,于的值。1，0根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算八昵）和畑的近似值。氏1用25那跖，/（1.813）沁2.982S1X1.6151.6341.7021.8281.921F(x)2.414502.464592.652713.03035

4、3.34066已知函数y=/W的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。X0.00.10.20.30.40.5f(x)1.001.321.682.082.523.00解：向前插值公式巴=哄M=口曲+0.302+1.00向后插值公式EO）=ES-X）=山時-0-50；+3.002忙宕下表为概率积分的数据表，试问：1）翊2时,积分卩=?2）工为何值时，积分P=0.5？0.495552B04769359X0.460.470.480.49P0.4846550.49374520.50274980.5116683利用弘）_珀1在叮2妇45各点的

5、数据（取五位有效数字），求方程班话U在03和0.4之间的根的近似值。0.3376489依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。4-3xx01y01y-3911.依据数表11中数据，利用基函数方法，构造四次埃尔米特插值X012Y0-23y0112.在上给出的等距节点函数表，用分段线性插值求沪的近似值，要使截断误差不超过，问函数表的步长h应怎样选取？0.0003S将区间岡闵分成n等分，求蚀）在岡闵上的分段三次埃尔米特插值多项式，并估计截断误差。區佝讣跻的数值表14、给定用线性插值与二次插值计算ln054的近似值并估计误差限解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应

6、用误差估计。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故三点，作二次Newton插值二次插值时，用0.5，0.6，0.7误差限 、 、，故的等距在-4WxW4上给出节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过多少?，函数表的步长h应取解：用误差估计式，16、若，求解：由均差与导数关系于是17、若互异，求的值，这里pWn+l解：，由均差对称性可知当而当P=n+1时于是得18、求证解：只要按差分定义直接展开得19、已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(023)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表当n=3时得Newton均

7、差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-02)+017400 x(x-02)(x-03)由此可得f(0.23)N3(0.23)=0.23203由余项表达式可得由于20、给定f(x)二cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差.解：计算插公式，用n=4得Newton前误差估计其中计算时用Newton后插公式（5.18）误差估计得这里仍未0.56521.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足，显然，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(xT)2由p(2)=l求出A=，于是22.令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证明是-1,1上带权的正交多项式序列.解：因23、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.，即解：本题给出拟合曲线，故法方程系数法方程为解得最小二乘拟合曲线为均方程为1)满足条件插值多项式