高等数学课件二重积分概念

1、第十章重积分一元函数积分学重积分曲线积分曲面积分多元函数积分学一、引例二、二重积分的定义与可积性三、二重积分的性质四、曲顶柱体体积的计算机动目录上页下页返回结束第一节二重积分的概念与性质第十章一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底： xoy 面上的闭区域 Dz f(D顶:连续曲面 z f(,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于z 轴的柱面求其体积.解法:类似定积分解决问题的“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”机动目录上页下页返回结束1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域z f (, nf (kk以它们为底把曲顶柱体分为 n 个小曲顶柱体2)“常代变”D k(在每个 k 中

2、任取一点(kVk f (k , k k3)“近似和”k, 则k 1, 2, n)nnV Vkk 1 f (k k 1机动目录上页下页返回结束4)“取极限”定义k 的直径为( k ) max,P2 k P1 max ( k )令z f(1k nnV lim f (k ,)f (kk 0 k 1( k机动目录上页下页返回结束2. 平面薄片的质量有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密度为 (x, y C计算该薄片的质量 M .若,) 常数)设D 的面积为 ,y(则M 若 (xy非常数 , 仍可用D“大化小, 常代变,近似和, 求 极限”解决.1)“大化小”x n, , 用任意曲

3、线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域 .机动目录上页下页返回结束2)“常代变”中任取一点( k k ) 则第 k 小块的质量k 1, 2, n)y在每个 kMk (k , k k3)“近似和”nn k 14)“取极限”k (k k 1x(kk k令 max( k )1k nnM lim (k ,) 0 k 1机动目录上页下页返回结束两个问题的共性：解决问题的步骤相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”所求量的结构式相同曲顶柱体体积:nV lim f (k ,) 0 k 1平面薄片的质量:nM lim (k ,) 0 k 1机动目录上页下页返回结束二、二重积分的定义及可积性设 f

4、(xy定义:是定义在有界区域 D上的有界函数 , kk 将区域 D 任意分成 n 个小区域, 2 , , n),(k , k k若存在一个常数 I , 使任取一点n lim 记作(k ,)y d( 0 k 1D,(y可积(xy则称在D上的二重积分.,称为积分变量D机动目录上页下页返回结束如果 f (xy在D上可积,可用平行坐标轴的直线来划分区域D , 这时 k xk yk , 因此面积元素d也常xy, 二重积分记作记作Df (x,)y.引例1中曲顶柱体体积: d(xyf (d yDD引例2中平面薄板的质量:M (x,(d)yDD机动目录上页下页返回结束二重积分存在定理:(证明略)在有界闭区域

5、D上连续, 则若函数 f (x y定理1.f (xy在D上可积.f (xy定理2. 若有界函数在有界闭区域 D 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.f (x上可y1 x y y 例如,(在D :1y 上二重积分存在 ;(但在D 上1二重积分不存在 .机动目录上页下页返回结束三、二重积分的性质, y)d y d1k(x( k 为常数)DD2. D f)d, y) g(, xg, y) d(DDy d xf, y)d d3(yDD1D1D 2(D (x, yD2无公共内点), 为D 的面积, 则1.4若在上 DD机动目录上页下页返回结束 (xf (xyy, 则5. 若在D上 (yd(dD

6、Dx,(特别,f (x,yx, y)d由于D Dd(y6. 设M max f (x,D min fD), D 的面积为 ,),(, D M则有(xyd机动目录上页下页返回结束7.(二重积分的中值定理) 设函数 f(在闭区域D上连续, 为D 的面积, 则至少存在一点 ( , D使, )f (x, yD证: 由性质6 可知,1d M(xyD由连续函数介值定理, 至少有一点 ( D 使 1 y d, )f ()Df (x,因此D机动目录上页下页返回结束例1.比较下列积分的大小:y2 d ,3 dDDD 2)2 (21其中 D : (1解:积分域 D 的边界为圆周ox123x y 1( 2)2 (21

7、它与 x 轴交于点 (1,0) , 与直线,1而域 D 位相切)3于直线的上方, 故在 D 上从而2 (2 d 3 dDD机动目录上页下页返回结束例2. 判断积分 1 3xy的正负号.y 4D1DD , 则解: 分积分域为D3D21原式 =31 oxyx3 2D1D1 13xyD2舍去此项 13xyD3猜想结果为负 yx 3 13D1 3 2 (D3 ) ( 3) 0机动目录上页下页返回结束例3.估计下列积分之值yxI 1yD100 cos2cos2D102)2D 的面积为 (10 200解:由于Dox 1011011102100 cos2 100cos2 10积分性质5200 I 2001.

8、96 I 2即:102100机动目录上页下页返回结束f (xy在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,8. 设函数yD 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上(1) f (x , y(fx, y), 则D1y dxf, y) d, y) o DxDD1 fx, y), 则 D(2) f (x , y(当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍有类似结果.在第一象限部分, 则有如, D1 为圆域Dd y 4 d y 0 xx xdddd yDD1D机动目录上页下页返回结束四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为zy xy21(x 2 bx ) (yDa0 b,平面ox0b x

9、x任取0截柱体的y 1截面积为)(fx0) d0 x01故曲顶柱体体积为bdV Ad(yaDbxx a 2fx) dd x1机动目录上页下页返回结束同样, 曲顶柱的底为D (x, y), c y d y 21( y则其体积可按如下两次积分计算dV y d(x yx 2Dy1yyd2f (xd dy cyc1odyyx2d yf (xdc1机动目录上页下页返回结束例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解: 设两个直圆柱方程为zx2x2,x2R利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为 z xRoR0 xDy(x,0 x2x则所求体积为R22V 8d x 22y 8xd yD0

10、0 16 R3R 8R)(d30机动目录上页下页返回结束1. 二重积分的定义n lim f(i ,)y dd (xdy) 0 i1D(与定积分性质相似)2. 二重积分的性质3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法机动目录上页下页返回结束1. 比较下列积分值的大小关系:yxyyxy121111y1 yxy31 1被积函数相同, 且非负,解:I1II1x由它们的积分域范围可知I I I机动目录上页下页返回结束2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则12 x3 dDDx3x231D的大小顺序为 (D I)I1 II I I I I IACB) I;.) I31y11 y 22;提示:

11、因 0 y 1, 故又因 x3 ,0故在D上有D122 x3oyyxx机动目录上页下页返回结束 I 3.计算sin() dx dy .00I d解:y) dxsin(002 cos(2)d y00cos2sind y0 2 2cossin0机动目录上页下页返回结束4. 证明: 1 22 ) d cos( sin.2, 其中D 为yD0 1,1解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有22 ) dcos( sino1 xD2 ) d 2 ) d 222) d) dcoscoscoscos1212( sin( sinDD222( sin( sinDD 2 ) d2cos2 )dsin(x2( sin4DD 0 x2 1 , 1 sin(x2 ) 1 , 又 D 的面积为 1 ,42故结论成立 .机动目录上页下页返回结束备用题1. 估计dI 的值, 其中 D 为y 1x.(xD0 1,21y解