各种分布的随机数的生成

1、各种分布的随机数的生成1基本方法在计算机中都备有可直接使用的均匀分布随机函数或程序，一般是用数值转换中的求余法得到的，这样产生的随机数列，是根据确定的算法递推出来的，严格地讲并不是随机的，因此称为伪随机数。不过如果计算方法选得恰当，它们近似于相互独立和均匀分布，在一定的置信度下，能通过统计检验中的参数检验、独立性检验、连检验等，因此可以把它们当作真正的随机数使用在一般情况下，计算机中的随机函数所产生的数列为0,1区间均匀分布的随机数列，有时就需要转换成其它分布的随机数列，如正态分布、瑞利分布等，下面讨论如何从0,1区间均匀分布的随机数列乳鼻，氛得到任意分布的随机变量抽样。设所求的任意分布的随机

2、变量的概率密度函数为f（x）,其累积分布函数为F（x）,且F（x）在0,1区间是单调递增的连续函数，则有随机变量?=F（）（1）是0,1区间上的均匀分布的随机变量。由（1）式可得F-（2）（2）式表示可用求累积分布函数的反函数的方法來产生任意分布的随机数。若F（）不是某种典型的分布函数而是由统计得到的数值表，则用数值法作随机抽样的计算。2均匀分布2.1定义当axb其它若连续随机变量？的概率密度为1f(x)=ba0,0则称服从均匀分布，记为加(a,b),数学期望=g，方差=t空。2122.2随机数列的生成如果歹为0,1区间均匀分布的随机数列，则令b-a于是得=(b-a)g+a即为a,b区间均匀分

3、布的随机数列。3指数分布3.1定义指数分布可以用來表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔。若连续随机变量？的概率密度为f(x)=/z)(XV)(A0)00则称？服从指数分布，记为ge“)，数学期望E$=+tA其累积分布函数为F(x)=(x“)(xo)则称？服从正态分布，并记为彳N(/厶6，并且E加，D=a2特别的，当“=0,b=l时，称为标准正态分布，记为？N(0Q,此时f(x)=we正态分布的概率密度函数曲线见图2o0.90.80-5山图2正态分布的概率密度函数（绿色为标准正态分布）标准正态分布的累积分布函数能够被一个叫做误差函数的特殊函数表示,、78y2Jc+1其中*尹第

4、話帀正态分布的累积分布函数图形曲线见图3o图3正态分布的累积分布函数（颜色与概率密度函数同）它的反函数被称为反误差函数，为F_i(x)=正态分布的累积分布函数F（x）没有初等函数表达式，它的值可以通过数值积分、泰勒级数或者渐进序列近似得到。虽然正态分布函数的积分不能用初等函数表达出來,但我们还可以釆用其它的方法來生成正态分布随机数。4.2根据中心极限定理生成正态分布随机数列中心极限定理为：设刍、%、鼻、为相互独立具有相同分布的随机变量序列，=“、=(n=0丄2,),则中心极限定理说明，无穷多个具有相同分布的随机变量之和是服从标准正态分布的。相应的，如果多个随机变量均为0,1区间的均匀分布，则生

5、成标准正态分布的式子为:其中，k为0,1区间均匀分布的随机变量的个数。k值可以根据计算精度來选取，若取k=12,贝丈盘_6。此时算得的将不超过(-6,6)的范围，这对于一般可靠度1=1的计算已达足够精度。4.3Box-Muller算法在4.2节给出的方法是一种近似算法，是用多项式估计正态分布，Box-Muller算法则给出了一种精确的生成方法。Box-Muller算法隐含的原理较为复杂，但结果却是相当简单：如果石、負是在0,1区间上均匀分布的随机变量，则%=(-2ln)2cos2硝22=(-2InG2sin2兀.均为服从N(0J)标准正态分布的独立随机变量，它在整个区域上都是精确的，只取决于尙

6、和負的随机性和独立性。4.4标准正态分布转换为一般正态分布如果随机变量服从标准正态分布，则令x就是服从N(/厶6分布的随机变量的抽样o5对数正态分布S.1定义若连续随机变量？的概率密度为f(x)=X(Jy17rQ0)a2则称？服从对数正态分布，记为gLii(/2)，并且Eg二严了，DM=(e“-l)戶加概率密度函数图4对数正态分布的概率密度函数和累积分布函数5.2随机数列的生成对数正态分布的随机数列的可由正态分布的随机数列生成，对数正态分布和正态分布的关系为：如果X是正态分布的随机变量，则e*为对数正态分布；同样，如果Y是对数正态分布，则InY为正态分布。首先应根据对数正态分布的随机数列的数学期望和方差，求出正态分布的数学期望和方差。设X服从对数正态分布，均值为x，方差为云,则Y=liiX服从正态分布，设其均值为y，方差为C7；。由X和Y的关系，可得方程云=(0_i)e珂屈解得0)TOC o 1-5 h z0,(x0)则称？服从对数正态分布，记为歹R()，并且E加丹,Y22瑞利分布是最常见的用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统计时变特性的一种分布类型。两个正交高斯